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1、第一章 1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是 0.3，0.2，0.1 和 0.4。如果 她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是 0.25，0.4 和 0.1，但她乘飞机来则不会迟 到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：设事件 A 表示乘火车； 事件 B 表示乘轮船； 事件 C 表示乘汽车； 事件 D 表示乘飞机。 根据已知，可得： ( )0.3P A = ( )0.2P B = ( )0.1P C = ( )0.4P D = 事件E表示迟到，由已知可得 (|)0.25 (|)0.4 (|)0.1 (|)0 P E A P E B P E C P E D
2、 = = = = 根据全概率公式： ( )()()()()P EP EAP EBP ECP ED=+ 根据贝叶斯公式： ()(|)( )0.075 (|)0.455 ( )( )0.165 ()(|)( )0.08 (|)0.485 ( )( )0.165 ()(|)( )0.01 (|)0.06 ( )( )0.165 ()(|)() (|)0 ( )( ) P EAP E AP A P A E P EP E P EBP E BP B P B E P EP E P ECP E CP C P C E P EP E P EDP E DP D P D E P EP E = = = = 综上分析：
3、坐轮船迟到的概率最大， 因此她如果迟到， 最可能搭载的交通工具是轮船。 3、设随机变量 X 服从瑞利分布，其概率密度函数为 2 2 2 2 ,0 ( ) 0,0 X x x X x ex fx x = ，求期望()E X和方差()D X。 思路： 22 22 ()( ) ()( ) ()()() E Xx f x dx E Xxf x dx D XE XEX = = = 解： 2 2 2 2 2 0 ()( ) x x X x x E Xxfx dxedx = 令 x x t =，则 2222 2 2222 0 000 ()()()| tttt xxx E Xt ed tt edtteedt
4、=+ 第一项为 0，后一项由 2 2 0 2 t edt = ，可得 () 2 x E X = 2 2 3 222 2 0 ()( ) x x X x x E Xx fx dxedx = 令 x x t =，则 22 2 2222 22 00 ()() 2 tt xxx t E Xt t edtedt = 令 2 ty=，则 22222 2222 0 000 ()()|2 2 yyyy xxxx y E Xedyy edyxeedy =+= 222 ()()()(2) 2 x D XE XEX = 6、已知随机变量X与Y，有()1,( )3,()4,( )16,0.5 XY E XE YD X
5、D Y=，令 3,2 ,UXYVXY=+=试求( )E U、( )E V、()D U、( )D V和( ,)Cov U V。 解解题题思路：思路：考察随机变量函数的数字特征 协方差：(, )()()( )Co vX YE XYE XE Y= 相关系数： (, ) ()( ) XY Cov X Y D XD Y = 22 ()()( ) ()()( )2(, ) E aXbYaE XbE Y D aXbYa D Xb D YabCov X Y +=+ +=+ 解： ( )(3)3 ()( )3 136E UEXYE XE Y=+=+= += ( )(2 )()2 ( )1235E VE XYE
6、XE Y= = (, ) 0.5 ()( ) XY Cov X Y D XD Y =，()4D X =，( )16D Y =， (, )4Cov X Y= (, )()()( )Co vX YE XYE XE Y=又 ()7E XY= 22 ( )(3)3()1( )23 1(, )=76D UDXYD XD YCov X Y=+=+ 2 ( )(2 )()( 2)( )2 1 ( 2)(, )52D VD XYD XD YCo vX Y=+ + = 222 ()()()415E XD XEX=+=+=， 222 ()( )( )16325E YD YEY=+=+= 2222 ()(3)(2
7、)(352)3 ()5 ()2 ()70E UVEXYXYEXXYYE XE XYE Y=+= ( , )()( ) ( )40Co vU VE UVE U E V= 11、设随机变量X的均值为 3，方差为 2。令新的随机变量622YX= +，问：随机变量X 与Y是否正交、不相关？为什么？ 解解题思路：题思路：考察正交、不相关的概念 0 () 0 E XY = 0 正交，非 0 不正交 0 (, ) 0 XY Cov X Y = 或者 0 不相关，非 0 相关 解： 22 ()( 622)( 622)6 ()22 ()E XYE XXEXXE XE X=+=+= + 222 ()()()231
8、1E XD XEX=+=+= ()6 112230E XY= +=，X与Y正交 ( )( 622)6 ()224E YEXE X=+= += (, )()() ( )034120Co vX YE XYE X E Y= = X与Y不相关 第二章 1、已知随机信号 0 ( )cosX tAt=，其中 0 为常数，随机变量 A 服从标准高斯分布，求 00 2 0, 33 t =三个时刻( )X t的一维概率密度函数。 解： 00 22 00 ( )coscos ( )( )coscos x X mE X tE Att E A tD X tD Att D A = = A服从标准高斯分布 0 222 0
9、0 0, 1 cos0 ( ) coscos x X E AD A mE At tD Att = = = 一维高斯概率密度函数 22 22 0 ( ) 2cos2( ) 0 11 ( , ) 2( )2|cos| x X x mtx tt x X fx tee tt = 当0t =时， 2 2 1 ( ;0) 2 x x fxe = 当 0 3 t =时， 2 2 0 2 ( ;) 3 x x fxe = 当 0 2 3 t =时， 2 2 0 22 ( ;) 3 x x fxe = 3、随机变量X与Y相互统计独立，并且服从 2 (0,)N分布。它们构成随机信号 ( )+X tX Yt=， （
10、注意这里题目做了修改注意这里题目做了修改） 试问： (1)信号 X(t)的一维概率密度函数( ; ) x fx t； (2) t 时刻的随机变量是什么分布，求其均值和方差。 解： （1）,X Y服从 2 (0,)N分布 且( )X tXYt=+ ( )X t也服从正态分布 ( ) 0E X tE XYtE XtE Y=+=+= ,X Y相互统计独立 () 2 22 222 21 2 ( ) (1) 1 ( ; ) 2 (1) x t x D X tD XYtD Xt D Yt fx te t + =+=+=+ = + （2）t 时刻，随机变量是高斯分布 22 ( )0 ( )(1) E X t
11、 D X tt = =+ 其均值为 0，方差为 22 (1)t+ 4、假定随机正弦幅度信号 0 ( )cos()X tAt=+，其中频率 0 和相位为常数，幅度 A 是一个服从0,1均匀分布的随机变量，试求 t 时刻该信号加在 1 欧姆电阻上的交流功率平 均值。 解：t 时刻该信号加在 1 欧姆上的交流功率为( )D X t 0 ( )cos()D X tD At=+ 频率 0 和相位为常数 2 00 cos()cos () D AttD A+=+ A 服从0,1均匀分布 1,01 ( ) 0, A a fa other = 2 11 222 00 2 0 1 12 1 12 1 ( )cos
12、 () 12 D AE AEAa daa da D A D X tt = = =+ 5、已知随机信号( )X t的均值为( ) X mt，协方差函数为 12 ( , ) X Ct t，又知道( )f t是确定的时 间函数。试求随机信号( )( )( )Y tX tf t=+的均值以及协方差。 解： ( )( )( )( ) ( )E Y tE X tf tE X tE f t=+=+ ( )f t是确定信号 121212 121212121122 12122112 1 ( )( )( ) ( , ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )
13、( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) X Y E Y tmtf t Ct tE Y tY tE Y tE Y t E X t X tX tf tf t X tf tf tE X tf tE X tf t E X t X tf t E X tf tE X tf tf t E X t =+ = =+ =+ 2211212 1212 12 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( , ) X E X tf tE X tf t E X tf tf t E X t X tE X tE X t Ct t = = ( )Y t的
14、均值为( )( ) X mtf t+ ( )Y t 协方差为： 12 ( , ) X Ct t 9、 设接收机中频放大器的输出随机信号为( )( )( )X ts tN t=+， 其 中( )N t是均值为零， 方差为 2 的高斯噪声随机信号，而 00 ( )cos()s tt=+为确知信号，求随机信号( )X t在任 意时刻 1 t的一维概率密度函数。 解题思路：根据高斯信号的性质：高斯信号与确知信号之和仍是高斯信号，由此可以判 断( )X t仍是高斯信号。又因为高斯信号的一维概率密度函数可以由其数学期望和均值确定， 因此该题只需求出( )X t的数学期望和方差即可。 解： ( )( )( ) ( )( )( ) X ts tN t N tX ts t =+ = 00 ( )cos()S tt=+是确知信号 ( ) ( )( )( )( )E X tE s tN ts tE N t=+=+ ( )N t服从均值为 0，方差为 2 n 的高斯分布 2 00 2 00 2 cos() 2 ( )0 ( )( )co s () ( ) ( )( )( ) 1 ( , ) 2 n n xt X n E N t E X ts
