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1、第二章,数列,2.2 等差数列 2.2.1 等差数列(二),学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质. 2.能运用等差数列的性质解决有关问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 在等差数列an中，若已知首项a1和公差d的值，由通项公式ana1(n1)d可求出任意一项的值，如果已知am和公差d的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？,预习导引 1.等差数列的图象 等差数列的通项公式ana1(n1)d，当d0时，an是关于n的常函数；当d0时，点(n，an)分
2、布在以 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点. 2.等差数列的项与序号的关系 (1)等差数列通项公式的推广：在等差数列an中，已知a1，d, am, an(mn)，则d 从而有anam .,(nm)d,d,(2)项的运算性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN)，则 apaq. 3.等差数列的性质 (1)等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1ana2an1a3an2.,aman,(2)若an、bn分别是公差为d，d的等差数列，则有,(3)an的公差为d，则d0an为 数列；d0an为 数列；d0an为常数列.,递减,递
3、增,要点一 等差数列性质的应用 例1 (1)已知等差数列an中，a2a6a101，求a4a8. 解 方法一 根据等差数列的通项公式，得a2a6a10(a1d)(a15d)(a19d)3a115d.,由题意知，3a115d1，即a15d . a4a82a110d2(a15d) .,方法二 根据等差数列性质a2a10a4a82a6. 由a2a6a101，得3a61，解得a6 ，a4a82a6 .,(2)设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，求a11a12a13的值. 解 an是公差为正数的等差数列，设公差为d， a1a32a2， a1a2a3153a2，a25， 又a
4、1a2a380，a1a3(5d)(5d)16d3或d3(舍去)， a12a210d35，a11a12a133a12105.,规律方法 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列an的性质：若mnpq2w，则amanapaq2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.,跟踪演练1 在等差数列an中： (1)若a35，则a12a4_； 解析 a12a4a1(a3a5)(a1a5)a32a3a33a315. (2)若a1a2a324，a18a19a2078，则a1a20等于_. 解析 由已知可得(
5、a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54a1a2018.,15,18,要点二 等差数列的设法与求解 例2 三个数成等差数列，和为6，积为24，求这三个数. 解 方法一 设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为ad，a，ad. 依题意，3a6且a(ad)(ad)24，所以a2，代入a(ad)(ad)24， 化简得d216，于是d4，故三个数为2,2,6或6,2，2.,方法二 设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，ad，a2d， 依题意，3a3d6且a(ad)(a2d)24， 所以a2d，代入a(ad)(a2d)24， 得2(2d)(
6、2d)24,4d212， 即d216，于是d4，三个数为2,2,6或6,2,2.,规律方法 利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算.一般地有如下规律：当等差数列an的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：a2d，ad，a，ad，a2d，；当项数为偶数项时，可设中间两项为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设项： a3d，ad，ad，a3d，这样可减少计算量.,跟踪演练2 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为8，求这四个数. 解 方法一 设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)， 依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8， 即a1，a29d
7、 28， d21，d1或d1.又四个数成递增等差数列，所以d0，d1， 故所求的四个数为2,0,2,4.,方法二 若设这四个数为a，ad，a2d，a3d(公差为d)， 依题意，2a3d2，且a(a3d)8，把a1 d代入a(a3d)8， 得(1 d)(1 d)8， 即1 d 28， 化简得d24，所以d2或2. 又四个数成递增等差数列， 所以d0，所以d2， 故所求的四个数为2,0,2,4.,要点三 由递推关系式构造等差数列求通项 (1)求证：数列bn为等差数列.,bn是等差数列，且公差为4，首项为5.,(2)试问a1a2是否是数列an中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由. 解 由(
8、1)知bnb1(n1)d54(n1)4n1. 即a1a2a11，a1a2是数列an中的项，是第11项.,规律方法 已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列，需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分析问题的能力.,跟踪演练3 在数列an中，a12，an1an2n1. (1)求证：数列an2n为等差数列； 证明 (an12n1)(an2n)an1an2n1(与n无关)，故数列an2n为等差数列，且公差d1. (2)设数列bn满足bn2log2(an1n)，求bn的通项公式. 解 由(1)可知，an2n(a12)(n1)dn1， 故an2nn1，所以bn2lo
9、g2(an1n)2n.,要点四 等差数列的实际应用 例4 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.,请您根据提供的信息说明，求 (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； 解 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为an，公差为d1，且a11，a62；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为bn，公差为d2，且b130，b610； 从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列cn，则
10、cnanbn.,(1)由a11，a62，,由b130，b610，,所以c2a2b21.22631.2.,(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由. 解 c6a6b621020c1a1b130，所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了. (3)哪一年的规模最大？请说明理由. 解 an1(n1)0.20.2n0.8，bn30(n1)(4) 4n34(1n6)， cnanbn(0.2n0.8)(4n34)0.8n23.6n27.2(1n6).,2与 的距离最近， 当n2时，cn最大. 所以(1)第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；(2)到第6年这个
11、县的养鸡业比第1年缩小了；(3)第2年的规模最大. 规律方法 本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征.这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华.,跟踪演练4 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解 由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则anan120，(n2，nN)，每年获利构成等差数列an，且首项a1200，公差d20，
12、所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220. 若an11， 即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.,1.在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于( ) A.3 B.6 C.4 D.3 解析 由等差数列的性质，得a8a3(83)d5d， 所以d 6.,B,1,2,3,4,2.在等差数列an中，已知a42，a814，则a15等于( ) A.32 B.32 C.35 D.35 解析 由a8a4(84)d4d，得d3，所以a15a8(158)d147335.,C,2,3,4,1,3.在等差数列an中，a4a515，a712，则a2等于( ) A.3 B.3 C. D.
13、解析 由数列的性质，得a4a5a2a7，所以a215123.,1,2,3,4,A,4.某市出租车的起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费为10元，超出4 km(含4 km)的路程，按1.2元/km的标准计费.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？,1,2,3,4,解 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列an来计算车费.令a111.2表示4 km处的车费，公差d1.2.那么当出租车行至14 km处时，n11，此时需要支付车费为a11a110d11
14、.2101.223.2(元). 答 需要支付车费23.2元.,1,2,3,4,课堂小结 1.在等差数列an中，当mn时，d 为公差公式， 利用这个公式很容易求出公差，还可变形为aman(m n)d. 2.等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.,3.等差数列an中，若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN)，特别地，若mn2p，则anam2ap. 4.在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的方程(组)求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.,
