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1、机械工程控制基础机械工程控制基础 20122013学年学年 第第2章 系统的数学模型章 系统的数学模型 机械工程控制基础机械工程控制基础 向先波 船舶与海洋工程学院 2013.03 向先波 船舶与海洋工程学院 2013.03 机械工程控制基础机械工程控制基础 20122013学年学年 第第2章 系统的数学模型章 系统的数学模型 引言 系统的微分方程 相似原理 传递函数的概念 典型环节的传递函数 系统传递函数方框图的建立 传递函数方框图的等效简化 闭环控制系统的传递函数 本章主要内容本章主要内容 华中科技大学船舶与海洋工程学院华中科技大学船舶与海洋工程学院 2 机械工程控制基础机械工程控制基础
2、20122013学年学年 第第2章 系统的数学模型章 系统的数学模型 数学模型：描述系统特性，揭示变量间的关系数学模型：描述系统特性，揭示变量间的关系 时域数学模型：时域数学模型：微分方程（连续系统） 差分方程（离散系统） 状态方程 微分方程（连续系统） 差分方程（离散系统） 状态方程 复域数学模型：复域数学模型：传递函数（连续系统） 脉冲传递函数（离散系统） 传递函数（连续系统） 脉冲传递函数（离散系统） 频域数学模型：频域数学模型：频率特性频率特性 华中科技大学船舶与海洋工程学院华中科技大学船舶与海洋工程学院 3 2.1 引言2.1 引言 机械工程控制基础机械工程控制基础 20122013
3、学年学年 第第2章 系统的数学模型章 系统的数学模型 数学模型：描述系统特性，揭示变量间的关系数学模型：描述系统特性，揭示变量间的关系 数学建模的一般方法：数学建模的一般方法： 分析法：分析法： 根据系统或元件所遵循的有关定律来建立数学模型的方法。根据系统或元件所遵循的有关定律来建立数学模型的方法。 实验法：实验法： 根据实验数据进行整理，并拟合出比较接近实际的数学模型。根据实验数据进行整理，并拟合出比较接近实际的数学模型。 华中科技大学船舶与海洋工程学院华中科技大学船舶与海洋工程学院 4 机械工程控制基础机械工程控制基础 20122013学年学年 第第2章 系统的数学模型章 系统的数学模型
4、叠加原理叠加原理 线性系统与非线性系统：线性系统与非线性系统： 能用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为非线性系统。能用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为非线性系统。 线性定常系统：线性定常系统： 线性时变系统：线性时变系统： 非线性系统：非线性系统： 线性系统的叠加原理：线性系统的叠加原理： 线性系统在多个输入的作用下， 其总输出等于各个输入单独作用 而产生的输出之和。 线性系统在多个输入的作用下， 其总输出等于各个输入单独作用 而产生的输出之和。 华中科技大学船舶与海洋工程学院华中科技大学船舶与海洋工程学院 5 机械工程控制基础机械工程控制基础 20122013学年学年 第第2章
5、 系统的数学模型章 系统的数学模型 微分方程：时域中描述系统动态特性的数学模型微分方程：时域中描述系统动态特性的数学模型 列写微分方程的一般方法：列写微分方程的一般方法： 1. 确定系统的确定系统的输入量输入量和和输出量输出量。（注意：输入量包括 给定输入量和扰动量）。（注意：输入量包括 给定输入量和扰动量） 2. 从系统输入端出发，根据各变量所遵循的物理定律，按信息传递的从系统输入端出发，根据各变量所遵循的物理定律，按信息传递的顺序顺序 列写列写系统中各个环节的动态微分方程。系统中各个环节的动态微分方程。 注意：负载效应，非线性项的线性化注意：负载效应，非线性项的线性化 3. 消除中间变量消
6、除中间变量，得到只包含输入量与输出量的微分方程。，得到只包含输入量与输出量的微分方程。 4. 整理所得到的微分方程。将与输入有关的项放在方程的左侧，与输入有 关的项放在方程的右侧，各项导数项按 整理所得到的微分方程。将与输入有关的项放在方程的左侧，与输入有 关的项放在方程的右侧，各项导数项按降幂排列降幂排列。 华中科技大学船舶与海洋工程学院华中科技大学船舶与海洋工程学院 6 2.2 系统的微分方程2.2 系统的微分方程 机械工程控制基础机械工程控制基础 20122013学年学年 第第2章 系统的数学模型章 系统的数学模型 典型元件所遵循的物理定律典型元件所遵循的物理定律 机械系统：机械系统：
7、质量元件：质量元件： 弹性元件：弹性元件： 阻尼元件：阻尼元件： 华中科技大学船舶与海洋工程学院华中科技大学船舶与海洋工程学院 7 dt dv MF 21 dt dF k v 1 21 21 bvF dt dv Ci 21 dt di Lv 21 21 1 v R i 电网络系统：电网络系统： 容性元件：容性元件： 感性元件：感性元件： 阻性元件：阻性元件： 机械工程控制基础机械工程控制基础 20122013学年学年 第第2章 系统的数学模型章 系统的数学模型 微分方程列写举例微分方程列写举例 例例21:列写如图所示机械系统的微分方程。列写如图所示机械系统的微分方程。 1. 明确系统的输入与输
8、出：明确系统的输入与输出： 输入为输入为 f（t），输出为），输出为 x（t） 2. 列写原始微分方程： 3. 整理： 2. 列写原始微分方程： 3. 整理： 华中科技大学船舶与海洋工程学院华中科技大学船舶与海洋工程学院 8 x m x ckxf fkx x c x m 图26 质块受力分析 图25 机械系统 机械工程控制基础机械工程控制基础 20122013学年学年 第第2章 系统的数学模型章 系统的数学模型 微分方程列写举例微分方程列写举例 例例22:列写如图所示机械系统的微分方程。列写如图所示机械系统的微分方程。 华中科技大学船舶与海洋工程学院华中科技大学船舶与海洋工程学院 9 rx x
9、kxB x mf rfBJk kT 0 0 22 11 1 )( )( rTxrkxBBxmrJ 2 221 2 )()( 图25 机械系统 1. 明确系统的输入与输出：明确系统的输入与输出： 输入为输入为T，输出为，输出为 x（t） 2.列写原始微分方程： 3.整理： 2.列写原始微分方程： 3.整理： 机械工程控制基础机械工程控制基础 20122013学年学年 第第2章 系统的数学模型章 系统的数学模型 微分方程列写举例微分方程列写举例 例例23:列写如图所示电网络系统的微分方程。列写如图所示电网络系统的微分方程。 1. 明确系统的输入与输出：明确系统的输入与输出： 输入为输入为u（t），
10、输出为电容器的电量），输出为电容器的电量q 2.列写原始微分方程： 3.消除中间变量，并整理： 2.列写原始微分方程： 3.消除中间变量，并整理： 华中科技大学船舶与海洋工程学院华中科技大学船舶与海洋工程学院 10 dt dq i dti C iR dt di Lu 1 uq C qRqL 1 图28 RLC网络 机械工程控制基础机械工程控制基础 20122013学年学年 第第2章 系统的数学模型章 系统的数学模型 微分方程列写举例微分方程列写举例 例例24:列写如图所示电网络系统的微分方程。列写如图所示电网络系统的微分方程。 1. 明确系统的输入与输出：明确系统的输入与输出： 输入为输入为
11、u1，输出为，输出为u2 2. 列写原始微分方程： 3. 消除中间变量，并整理： 2. 列写原始微分方程： 3. 消除中间变量，并整理： 华中科技大学船舶与海洋工程学院华中科技大学船舶与海洋工程学院 11 22 2 21 1 2 2 22 121 1 11 1 )( 11 )( 1 udti C dtii C dti C Ri udtii C Ri 12 2 212211 2 2 2 2211 uu dt du CRCRCR dt ud CRCR 图29 两级RC网络 机械工程控制基础机械工程控制基础 20122013学年学年 第第2章 系统的数学模型章 系统的数学模型 微分方程列写举例微分方
12、程列写举例 例例25: 直流发动机直流发动机 1.明确系统的输入与输出：1.明确系统的输入与输出： 输入为输入为ua和和ML，输出量为，输出量为 2.列写原始微分方程： 3.消除中间变量，并整理： 2.列写原始微分方程： 3.消除中间变量，并整理： 华中科技大学船舶与海洋工程学院华中科技大学船舶与海洋工程学院 12 am L dd ada a ikM MM dt d J ke ueRi dt di L Lm L amadmma MC dt dM TCuC dt d T dt d TT 2 2 图210 电枢控制式直流发动机 J T C k C KK RJ T R L T m m d d md
13、ma , 1 ,令 机械工程控制基础机械工程控制基础 20122013学年学年 第第2章 系统的数学模型章 系统的数学模型 微分方程的增量化表示微分方程的增量化表示 例例25: 直流发动机 设若电动机处于平衡状态，有 设平衡点为，即有 直流发动机 设若电动机处于平衡状态，有 设平衡点为，即有 华中科技大学船舶与海洋工程学院华中科技大学船舶与海洋工程学院 13 图210 （a） 电枢控制式直流发动机 Lm L amadmma MC dt dM TCuC dt d T dt d TT 2 2 Lmad MCuC(静态模型静态模型) ),( 000 La Mu 000Lmad MCuC 000 ,
14、LLLaaa MMMuuu )()()( )()()( 0 00 0 0 “ 0 LLmLLamaad mma MMCMMTCuuC TTT LmLamadmma MCMTCuCTTT “ )()()( （增量方程）（增量方程） 当偏离平衡点时，有 则 即 当偏离平衡点时，有 则 即 讨论：讨论：1.增量方程与实际坐标方程形式相同；1.增量方程与实际坐标方程形式相同； 2.当平衡点为坐标原点时，二者相等；否则，二者不等价。2.当平衡点为坐标原点时，二者相等；否则，二者不等价。 机械工程控制基础机械工程控制基础 20122013学年学年 第第2章 系统的数学模型章 系统的数学模型 非线性微分方程
15、在一定条件下，可以进行线性化处理非线性微分方程在一定条件下，可以进行线性化处理 华中科技大学船舶与海洋工程学院华中科技大学船舶与海洋工程学院 14 非线性方程线性化的条件：非线性方程线性化的条件： 1.非线性函数是连续函数（即非线性不是本质非线性） 2.系统在预定工作点附近作小偏差运动，即变量的变化范围很小。 1.非线性函数是连续函数（即非线性不是本质非线性） 2.系统在预定工作点附近作小偏差运动，即变量的变化范围很小。 非线性方程线性化的方法 ：非线性方程线性化的方法 ： 1.确定预定工作点。 2.在工作点附近将非线性方程展开成Taylor级数形式。 3.忽略高于一阶项。 4.表示成增量方程的形式。 1.确定预定工作点。 2.在工作点附近将非线性方程展开成Taylor级数形式。 3.忽略高于一阶项。 4.表示成增量方程的形式。 机械工程控制基础机械工程控制基础 20122013学年学年 第第2章 系统的数学模型章 系统的数学模型 非线性微分方程在一定条件下，可以进行线性化处理非线性微分方程在一定条件下，可以进行线性化处理 华中科技大学船舶与海洋工程学院华中科技大学船舶与海洋工程学院 15 例2-6：液压伺服机构例2-6：液压伺服机构 1.明确系统的输入与输出
