【2017年整理】第四章一阶偏微分方程

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1、第四章 一阶偏微分方程这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。4.1 一阶常微分方程组的首次积分4.1.1 首次积分的定义从第三章我们知道， 阶常微分方程n， 1,nyxfy（4.1.1）在变换112,nyy（4.1.2）之下，等价于下面的一阶微分方程组112212,.nnndyfxydyfxy（4.1.3）在第三章中，已经介绍过方程组（4.1.3）通解的概念和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的（4.1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下

2、面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（4.1.3）的问题。先看几个例子。例 1 求解微分方程组（4.1.4）2 21, 1.dxdyyxyt t解：将第一式的两端同乘 ，第二式的两端同乘 ，然后相加，得到x， 22t。211dyxydt这个微分方程关于变量 t 和 是可以分离，因此不难求得其解为x， （4.1.5）122Ceyt为积分常数。 （4.1.5）叫做（4.1.4）的首次积分。1C注意首次积分（4.1.5）的左端 作为 x， y，和 t 的函数并不等于常,Vxyt数；从上面的推导可见，当 时微分方程组（4.1.

3、4）的解时，(),()t才等于常数 ，这里的常数 应随解而异。因为式（4.1.4）是一个二,Vxyt1C1C阶方程组，一个首次积分（4.1.5）不足以确定它的解。为了确定（4.1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。将第一式两端同乘 ，第二式两端同乘 ，然后用第一式减去第二式，得yx到，2ydtx即，2xty亦即。1arctndx积分得， （4.1.6）2arctnCtxy其中 为积分常数。2C利用首次积分（4.1.5）和（4.1.6）可以确定（4.1.4）的通解。为此，采用极坐标 ，这样由（4.1.5）和（4.1.6）推得cos,inxryr2121,.teCtr或 .tt221,因此我们

4、得到方程组（4.1.4）的通解为， . （4.1.7）teCx21costeCy21sin例 2 求解微分方程组 （4.1.8）,.duvwtduvt其中 是给定的常数。0解 利用方程组的对称性，可得,0duvdwttt从而得到首次积分, （4.1.9）221C其中积分常数 。同样我们有10C,2220duvdwttt由此又得另一个首次积分, 222C（4.1.10）其中积分常数 。有了首次积分（4.1.9）和（4.1.10） ，我们就可以将 u 和20Cv 用 w 表示，代入原方程组（4.1.8）的第三式，得到, 22dwaAwbBt（4.1.11）其中常数 a，b 依赖于常数 ，而常数12

5、C和0,0.AB注意（4.1.11）是变量可分离方程，分离变量并积分得到第三个首次积分, （4.1.12）322()dwtCab其中 是积分常数。因为方程组（4.1.8）是三阶的，所以三个首次积分3C（4.1.9） 、 （4.1.10）和（4.1.12）在理论上足以确定它的通解123123123,.utCvtCwtC但是由于在式（4.1.12）中出现了椭圆积分，因此不能写出上述通解的具体表达式。现在我们考虑一般的 阶常微分方程n， , nii yxfdy,21ni2,1（4.1.13）其中右端函数 在 内对 连续，而且对ni yxf,21 1nRD12,nxy是连续可微的。ny,21定义 1

6、设函数 在 的某个子域 内连续，而且对12,nVxy G是连续可微的。又设 不为常数，但沿着微分方程12,nxy 12,ny（4.1.3）在区域 G 内的任意积分曲线12:,nyxxxJ函数 V 取常值；亦即， 12,nyC 常 数或当 时，有12(,)nxy=常数， 12,nVxy这里的常数随积分曲线 而定，则称=C （4.1.14）12,n为微分方程（4.1.13）在区域 G 内的首次积分。其中 C 是一个任意常数，有时也称这里的函数 为（4.1.13）的首次积分。12,nVxy例如（4.1.5）和（4.1.6）都是微分方程（4.1.4）在某个区域内的首次积分。这里对区域 G 有限制，是要

7、求首次积分（4.1.5）和（ 4.1.6）必须是单值的连续可微函数。因此区域 G 内不能包括原点，而且也不能有包含原点的回路。同理，式（4.1.9） 、 （4.1.10）和（4.1.12）都是方程（4.1.8）的首次积分。对于高阶微分方程（4.1.1） ，只要做变换（4.1.2） ，就可以把它化成一个与其等价的微分方程组。因此，首次积分的定义可以自然地移植到 n 阶方程（4.1.1） 。而其首次积分的一般形式可以写为。 （4.1.15）1,nVxyC例如，设二阶微分方程组，2si0daat为 常 数用 乘方程的两端，可得dxt，2sin0dxdxatt然后积分，得到一个首次积分。21cosxx

8、Cdt一般的， 阶常微分方程有 个独立的首次积分，如果求得 阶常微分方程nnn组的 个独立的首次积分，则可求 阶常微分方程组的通解。4.1.2 首次积分的性质和存在性关于首次积分的性质，我们不加证明地列出下面的定理。定理 1 设函数 在区域 G 内是连续可微的，而且它不是12,nxy常数，则12,nyC（4.1.16）是微分方程（4.1.13）在区域 G 内的首次积分的充分必要条件是（4.1.17）10nffxyy是关于变量 的一个恒等式。12,nxy这个定理实际上为我们提供了一个判别一个函数是否是微分方程（4.1.13）首次积分的有效方法。因为根据首次积分的定义，为了判别函数是否是微分方程（

9、4.1.13）在 G 内的首次积分，我们需要知道12,nVxy（4.1.13）在 G 内的所有积分曲线。这在实际上是由困难的。而定理 1 避免了这一缺点。定理 2 若已知微分方程（4.1.13）的一个首次积分（4.1.14） ，则可以把微分方程（4.1.13）降低一阶。设微分方程组（4.1.13）有 n 个首次积分， 12,1,2i ixyCn （4.1.18）如果在某个区域 G 内它们的 Jacobi 行列式， 12,0nDy（4.1.19）则称它们在区域 G 内是相互独立的。定理 3 设已知微分方程（4.1.13）的 n 个相互独立的首次积分（4.1.18） ，则可由它们得到（4.1.13

10、）在区域 G 内的通解， 12,1,2ii nyxCin （4.1.20）其中 为 n 个任意常数（在允许范围内） ，而且上述通解表示了微分12,C方程（4.1.13）在 G 内的所有解。关于首次积分的存在性，我们有定理 4 设 ，则存在 的一个邻域 ，使得微分001,npxy 0p0G方程（4.1.13）在区域 内有 n 个相互独立的首次积分。0定理 5 微分方程（4.1.13）最多只有 n 个相互独立的首次积分。定理 6 设（4.1.18）是微分方程（4.1.13）在区域 G 内的 n 个相互独立的首次积分，则在区域 G 内微分方程（4.1.13）的任何首次积分=C， 12,nVxy可以用

11、（4.1.18）来表达，亦即，121212,n nnnVxyhyxy 其中 是某个连续可微的函数。*h为了求首次积分，也为了下一节的应用，人们常把方程组（4.1.3）改写成对称的形式，121ndydyxff这时自变量和未知函数的地位是完全平等的。更一般地，人们常把上述对称式写成12122112, ,nnnndydydyYYY （4.1.21）并设 内部不同时为零，例如如果设 则,GR 在 区 域 0,nY（4.1.21）等价于。 （4.1.22）12,1,2,ininYydin 请注意，式（4.1.22）中的 相当于自变量， 相当于未知函数，,1ix所以在方程组（4.1.21）中只有 n-1

12、个未知函数，连同自变量一起，共有 n 个变元。不难验证，对于系统（4.1.21） ，定理 1 相应地改写为：设函数连续可微，并且不恒等于常数，则 =C 是12,ny 12,ny（4.1.21）的首次积分的充分必要条件是关系式12121212, ,0nnnnnYyyYyy （4.1.23）在 G 内成为恒等式。如果能得到（4.1.21）的 n-1 个独立的首次积分，则将它们联立，就得到（4.1.21）的通积分。方程写成对称的形式后，可以利用比例的性质，给求首次积分带来方便。例 3 求 的通积分。dxyz解 将前两个式子分离变量并积分，得到方程组的一个首次积分（4.1.24）21xyC其中 是任意

13、常数，再用比例的性质，得1C，dxyz两边积分，又得到一个首次积分， （4.1.25）2Cz其中 是任意常数。 （4.1.24）和（4.1.25）是相互独立的，将它们联立，便得2C到原方程组得通积分， .21xy2xyz例 4 求 的通积分。ddzcybzacba解 利用比例的性质，可以得到.00xzxyzdaxbycdzcyzc于是有,.xdyzabc分别积分，就得到两个首次积分2212,.xyzCxyzC将它们联立，就得到原系统的通积分，其中 为任意常数。和 例 5 求解二体问题，即求解方程组2322322320,0.dxxtyztxdzzty其中常数 是相对静止的这个天体的质量。现在求二,GM是 引 力 常 数 ，体问题的运动轨线。以 x 乘第二式两边，以 y 乘第三式两边，然后相减，得220,dzztt即，zydtt积分便得到（4.1.26）1,zyCt这里 是任意常数，用类似的方法，可以得到1C23,.dxztyC4.1278其中 都是任意常数。分别用 x、 y、 z 乘（4.1.26） ， （4.1.27）和23,C（4.1.28）的两边，然后三式相加，得到1230.（4.1.29）这时一个平面方程。说明二体问题的运动轨迹 位于,xtytz