《【2017年整理】第5章 插值法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2017年整理】第5章 插值法（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 五 章 代数插值在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的。虽然其 函数关系y=f(x) 在某个区间a，b上是客观存在的，但是却不知道具体的解析表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间a，b上一些离散点上的函数值、导数值等， 因此，希望对这样的函数用一个比较简单的函数表达式来近似地给出整体上的描述。还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希 望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。插值法就是寻求近似函数的方法之一。在用插值法寻求近似函数的过程中，根据所讨论问题的特点，对简单函数的类
2、型可有不同的 选取，如多项式、有理式、三角函数等，其中多项式结构简单，并有良好的性质，便于数值计算和理论分析，因此被广泛采用。本章主要介绍多项式插值、分段多项式插值和样条插值 。第一节 插值多项式的存在唯一性5.1.1 插值问题设函数 y=f(x)在区间a,b上有定义 ny,.10且已知函数在区间a,b上 n+1 个互异点 nx,.10上的函数值，若存在一个简单函数y=p(x )，使其经过 y=f(x)上的 这n+1 个已知点( 0,),( 1,x),，( nyx,) （图 5-1），即p( ix)= iy, i=0,1,n那么，函数 p(x)称为插值函数，点 nx,.10称为插节点， 点(
3、0,yx),(1,yx),，( n,) 称为插值点，包含插值节点的区间a,b称为插值区间,求 p (x)的方法称为插值法，f(x)称为被插函数。若 p(x)是次数不超过 n 的多项式,用 Pn(x) 表示，即 nn xaxa.)(210则称 x为 n 次插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若 P(x)为分段多项式，称为分段插值，多项式插值和分段插值称为代数插值。5-15.1.2 5.1.2 插值多项式的存在唯一性定理 设节点 nx,.10互异，则在次数不超过 n 的多项式集合 nH中，满足条件（5.1.1）的插值多项式 )(p存在且唯一。证 将 nn xaap.)(210 代入式（1）得n
4、nyxaa.101001这是关于 na,.10的 n+1 元线性方程组，其系数行列式V( nx,.10)= nnx 1100是范得蒙(Vandermonde)行列式，故 V( nx,.10)=iijji10)(由于 nx,.10互异，所有因子 jix0(ij)，于是V( nx,.10)0再由克莱姆法则，方程组（2）存在唯一的一组解 na,.10,即满足条件（1） 的插值多项式 )(xpn存在且唯一。 第二节 拉格朗日插值多项式5.2.1 基函数由上一节的证明可以看到，要求插值多项式 )(xpn，可以通过求方程组（5.1.22）的解 na,.10得到，但这样不但计算复杂，且难于得到 )(xpn的
5、简单表达式。考虑简单的插值问题：设函数在区间a，b上 n1 个互异节点nx,.10上的函数值为 ,0ijyijjj=0,1,n求插值多项式 )(xli，满足条件 ij j=0,1,n, i=0,1,n由上式知， nix,.,.110是 )(li的根，且 )(xli nH，可令iiAxl)( .)(11ix再由 得 ).()().( 1110 niiiiiiii xx于是).()().()( 1110 niiiiiiii xxxxl n+1 个 n 次多项式 ,lln称为以为 ,0节点的 n 次插值基函数。n=1 时的一次基函数为（图 5-2）：. ,)(100xl011)(xln=2 时的二次
6、基函数为（图 5-3）： )()()()(12022120110xxlxl5-25-35.2.2 拉格朗日插值多项式现在考虑一般的插值问题：设函数在区间a,b上 n+1 个互异节点nx,.10上的函数值分别为 ny,.10，求 n 次插值多项式 )(xpn，满足条件 ,)(jjnxpj=0,1,n令 niinn xlyxlyxlylL010 )()(.)()()(（5.2.3）其中 ,.)(10xlx为以 n,为节点的 n 次插值基函数，则 )(xLn是一次数不超过 n 的多项式，且满足 jjyxL)(， j=0，1 ，n再由插值多项式的唯一性，得 )(pnn式（5.2.3）表示的插值多项式称
7、为拉格朗日（Lagrange）插值多项式。特别地，n=1 时称为线性插值（图 5-4（a），n=2 时称为抛物插值或二次插值（图 5-4（b）。值得注意的是，插值基函数 )(,.)(10xllxn仅由插值节点 nx,.10确定，与被插函数 f(x)无关。因此，若以 为插值节点对函数 f(x)1 作 插值多项式，则由式(5.2.3)立即得到基函数的一个性质 nixl0)(1还应注意，对于插值节点 nx,.10，只要求它们互异，与大小次序无关。5-4例 1 已知 y= x， 0=4， 1x=9，用线性插值求 7的近似值。解 0y=2， 1=3，基函数分别为 )4(5149)(,9(594)( 1
8、xxlxl插值多项式为 )6(51 )(3)(2)(10xxxlylL所以 6.2513)7(L例 2 求过点(-1，-2)，(1，0)，(3，-6)，(4，3)的三次插值多项式。 解 以 0x-1， 11， 2x3， 34 为节点的基函数分别为 )3(1)(15)34()1() 483)()( )(3)1(241) 40)(3(3210 xxxxl xxxxl 插值多项式为 34 )3(1)(153)4(1)(8)6( 42002)(2313 x xxxxlyLii5.2.3 插值余项插值多项式的余项 nR(x)=f(x)- nL(x)，也就是插值的截断误差或方法误差。关于余项有 如下的余项
9、定理：定理 设被插函数 f(x)在闭区间a，b上 n 阶导数连续， )(1xfn在开区间(a,b) 内存在， nx,.10是a，b上 n+1 个互异节点，记).()()( 101 nniin xxx 则插值多项式 nL(x)的余项为 ).,( ,),()!()( 11bax banffRnn其 中 （5.2.4）证明 由插值条件和 1xn 的定义，当 x= kx时式（5.2.4）显然成立， 并且有 0)(knRk=0,1,，n （5.2.5） 这表明 x,.10都是函数 n(x)的零点，从而 nR(x)可表示为n(x)=f(x)- L(x)=K(x) )(1x(5.2.6)其中 K(x)是待定
10、函数。对于任意固定的 xa,b，x k (k=0,1,，n)，构造自变量 t 的辅助函数 )()()( 1txKttfnn(5.2.7)由式（5.2.5）和式（5.2.6）可知 ,.0和 x 是 (t)在区间a,b上的n+2 个互异 零点，因此，根据罗尔（Rolle）定理，至少存在一点 (x)(a,b)，使得 0)(1n于是，由式（5.2.7）得到 )!()fxK代入式（5.2.6）即得式（5.2.4）。由于 (x)一般无法确定，因此式(5.2.4)只能用作余项估计。如果)(1xfn 在区 间(a,b)上有界，即存在常数 1nM 0，使得| )(1xfn| 1n x(a,b)则有余项估计 |)
11、(|)!(| 1xRnn (5.2.8)当 )(1xfn在闭区间a,b上连续时，可取|)(|1,1maxfnbxn 。推论 设节点 0x 1, f(x)在闭区间 0, 上连续，记ma),(2bxMf(x)，则过点( 0x,f( )，( 1,f( )的线性插 值余项为 ),)(),0101xfR(5.2.9)由于在 0, 1上，(x- 0)(x- 1x)在 x= 2)(01x达到 最大值 4)(201x，可得余项的一个上界估计： x , 有 ，的 抛 物 插 值 多 项 式求节 点例 三 设 由 上 式中在 本 节 例 )()(,4,5.2,1)( 097625.).(38|7|7| ,31|(
12、|,41)(8|)(| 231021 9,423021 maxLxfxxfLRxfxfMx 且计算 f(3)的近似值并估计误差。解 由于 5.0,.0)(,.)2( 210 fyfyfy ，插值多项式为5.4.5. )24(5.)4.(5.42 x xxxL于是f(3) 2L(x)=0 325因为83|)2(|)(|,6)(max4,2 ffxf代入式(5.2.8)得 03125.|)(5.3)(|8.61|2LfR例 4 已知sin0.32=0.314567 ，sin0.34=0.333487 有六位有效数字。(1)用线性插值求sin0.33 的近似值；(2)证明在区间0.32，0.34上用
13、线性插值计算 sinx 时至少有 4 位有效数字。解 (1)用线性插值 32407.)8.0314567.(2 32.04.387.0.156.(.sin L(2)由式(5.2.10)在区间0.32，0.34用线性插值计算 sinx 时的余项满足 34.0,2,105.).(8.|)(| 421 xxR因此结果至少有 4 位有效数字。第三节 牛顿插值多项式拉格朗日插值的优点是插值多项式特别容易建立，缺点是增加节点时原有多项式不能利 用，必须重新建立，即所有基函数都要重新计算，这就造成计算量的浪费；牛顿(Newton )插值多项式是代数插值的另一种表现形式，当增加节点时它具有所谓的“承袭性”，这
14、 要用到差商的概念。5.3.1 差商的定义与性质定义 已知函数 f(x)的 n+1 个插值点为 ),(jiyx， i=f( ix)，i=0,1, ,n， jixff)(称为 f(x)在点 ),(ji的一阶差商，记为 f jiy,，即f jiy,= jixff(5.3.1)一阶差商的差商 kiixf,称为 f(x) 在点 kjix,的二阶差商，记为f kjix,，即f kjix,= kijjixff,(5.2.2)一般地，k-1 阶差商的差商 kkxfxf02110 ,.,.称为 f(x)在点kx,.10的 k 阶差商，记为 f ,.，即f kx,.10= kkxf02110 ,.(5.3.3)差商具有以下性质：性质 1 n 阶差商可以表示成 n+1 个函数值 )(),.(10nff的线 性组合，即f kx,.10= ni niiiii xxx0 110 ).()().(事实上，由式(1)当 n=1 时， 0101010), fffff当 n=2 时， )()()()()1()( )()(1 , 12021012010 1200210 120120 021021020 xxfxfxf fff xfxfxf
