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1、离散数学第四版 课后答案第1章 习题解答 11 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9）， （10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。 分析 首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句， 所以它们都不是命题。 其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的 判断结果是不确定。又因为（1）， （2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们 都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且
2、仅当”联结起来的复合命题， （12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来 的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许 多表述法，例如，“虽然，但是”、“不仅，而且”、“一面， 一面”、“和”、“与”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结 的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或 “与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 12 （1）p: 2是无理数，p为真命题。 （2）p:5能被2整除，p为假命题。 （6）pq。其中，p:2
3、是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真 命题，因而pq为假命题。 （7）pq，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命 题，q为真命题，因而pq为假命题。 （8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月 13日）我们还不 知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。 （9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。 1 （10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。 （12）pq，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。由于q是假命题，所以，q 为假命题，pq为真命题。 （13）pq，其中，p:4是偶数，q:4是
4、奇数，由于q是假命题，所以，pq 为假命题。 （14） p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。 （15） p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。 分析 命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不 能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。 13 令p:2+2=4,q:3+3=6,则以下命题分别符号化为 （1）pq （2）pq （3）pq （4）pq （5）pq （6）pq （7）pq （8）pq 以上命题中，（1），（3），（4），（5），（8）为真命题，其余均为假命题。 分析 本题要求读者记住pq及pq的真值情况。pq为假当且仅当 p为真,q为假,
5、而pq为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题， 在4个蕴含式中，只有（2）pr，其中，p同（1），r：明天为3号。 在这里，当p为真时，r一定为假，pr为假，当p为假时，无论r为真 还是为假，pr为真。 2 15 （1）pq，其中，p：2是偶数，q：2是素数。此命题为真命题。 （2）pq，其中，p：小王聪明，q：小王用功 （3）pq，其中，p：天气冷，q：老王来了 （4）pq，其中，p：他吃饭，q：他看电视 （5）pq，其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班 （6）pq，其中，p，q的含义同（5） （7）pq，其中，p，q的含义同（5） （8）pq，其中，p：经一事，q：长一智 分
6、析 1在前4个复合命题中，都使用了合取联结词，都符号化为合取式， 这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。在符号化时，应该注意，不要将联结 词部分放入简单命题中。例如，在（2）中，不能这样写简单命题：p：小王不但 聪明，q：小王而且用功。在（4）中不能这样写：p：他一边吃饭， q：他一边 看电视。 2 后4个复合命题中，都使用了蕴含联结词，符号化为蕴含式，在这里， 关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。 pq所表达的基本逻辑关系为，p是q的充公条件，或者说q是p的必要 条件，这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。例如，“因为p，所以q”，“只要p， 就q”“p仅当q”“只有q才p”“除非q，否则p”“
7、没有q，就没有p”等都表 达了q是p的必要条件，因而都符号化为pq或pq的蕴含式。 在（5）中，q是p的必要条件，因而符号化为pq，而在（6）（7）中， p成了q的必要条件，因而符号化为qp。 在（8）中，虽然没有出现联结词，但因两个命题的因果关系可知，应该符 号化为蕴含式。 16 （1），（2）的真值为0，（3），（4）的真值为1。 分析 1 （1）中公式含3个命题变项，因而它应该有23=8个赋值：000， 3001，111题中指派p, q为0, r为1，于是就是考查001是该公式p(qr)的成真赋值，还是成假赋值，易知001是它的成假赋值。 2 在公式（2），（3），（4）中均含4个命题就
8、项，因而共有24=16个赋值：0000，0001，1111。现在考查0011是它的成假赋值。 1.7 （1），（2），（4），（9）均为重言式，（3），（7）为矛盾式，（5），（6），（8），（10）为非重言式的可满足式。 一般说来，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取范式）法等判断公式的类型。 （1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。 真值表法 表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重言式。 pqr p(pqr) p q r 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1
9、 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 等值演算法 p(pqr) p(ppr) （蕴含等值式） (pp)pr （结合律） 1qr （排中律） 1 （零律） 4 由最后一步可知，（1）为重言式。 （2）用等值演算法判（2）为重言式。 (pp)p (p)p （蕴含等值式） pp （等幂律） pp （蕴含等值式） 1 （排中律） （3）用等值演算法判（3）为矛盾式 (pq)q (pq)q （蕴含等值式） pqq （德摩根律） p(qq) （结合律） p0 （矛盾律） 0 （零律） 由最后一步可知，（3）为矛盾式。 （5）用两种方法判（5）为非重言式的可满足式。 真值表法p q p pq qp (p
10、q)(qp)0 0 1 0 1 10 1 1 1 1 11 0 0 1 1 11 1 0 1 0 0 由表1.3可知（5）为非重言式的可满足式。 主析取范式法 (pq)(qp) (pq)(qp) 5 (pq)(qp) (pq)qp pq (p1)(1q) (p(qq)(pp)q) (pq)(pq)(pq)(pq) (pq)(pq)(pq) m0m1m2. 在（3）的主析取范式中不含全部（4个）极小项，所以（3）为非重言式的可满足式，请读者在以上演算每一步的后面，填上所用基本的等值式。 其余各式的类型，请读者自己验证。 分析 1 真值表法判断公式的类别是万能。公式A为重言式当且仅当A的o真值表的
11、最后一旬全为1；A为矛盾式当且仅当A的真值表的最后一列全为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A的真值表最后一列至少有一个1，又至少有一个0。真值表法不易出错，但当命题变项较多时，真值表的行数较多。 2o 用等值演算法判断重言式与矛盾式比较方例，A为重言式当且仅当A与1等值；A为矛盾式当且仅当A与0等值，当A为非重言式的可满足式时，经过等值演算可将A化简，然后用观察法找到一个成真赋值，再找到一个成假赋值，就可判断A为非重言式的可满足式了。例如，对（6）用等值演算判断它的类型。 (pp)q 0q （矛盾律） (pq)(q0) （等价等值式） (0q)(q0) （蕴含等值式） (1q)q （同一律） 1q （零律） 6 q （同一律） 到最后一步已将公式化得很简单。由此可知，无论p取0或1值，只要q取0值，原公式取值为1，即00或10都为原公式的成真赋值，而01，11为成假赋值，于是公式为非重言式的可满足式。
