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1、上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ） ：17521075874. 第 1页（共 22页） 高中数学知识点汇总（高三）高中数学知识点汇总（高三） 高中数学知识点汇总（高三）.1 十四、空间直线与平面.2 十五、简单几何体.10 十六：排列组合与二项式定理.16 （一）排列组合.16 （二）二项式定理.18 十七：概率论初步.19 十八、基本统计方法.21 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ） ：17521075874. 第 2页（共 22页） 十四、空间直线与平面十四、空间直线与平面 1、平面、平面及其基本性质：及其基本性质： （1）平面的定义： 平面概念是现实中平面形象抽象的结果，无厚
2、度，无边界，在空间延伸至无限 一般地，平面用一个大写的英文字母或小写的希腊字母表示，如平面M、平面N或平面、 平面，也可以用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示 （2）点与直线的关系： 点A在直线l上， 或直线l经过点A Al 点B不在直线l上Bl （3）点与平面的关系： 点A在平面上， 或平面经过点A A 点B不在平面上B （4）直线与平面的关系： 直线l在平面上 或平面经过直线l l 直线l与平面相交于点A， 或称A是直线l与平面的交 点 lA 直线l与平面平行， 或直线l与平面没有公共点 l 或l 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ） ：17521075874. 第 3页（共 22
3、页） （5）平面与平面的关系： 平面与平面相交 平面与平面平行 或 （6）公理 1： 如果直线l上有两个点在平面 上，那么直线l在平面上 若Al，Bl，且A，B，则l （7）公理 2： 如果不同的两个平面、有一个公共点A，那么、 的交集是过点A的直线l 对于不同的两个平面、，若存在A，则 l，其中l是直线，且Al （8）公理 3 及其推论： 公理 3 不在同一直线上的三点确定一个平面（这里 “确定一个平面”的含义是“有且只有一个 平面” ） 推论 1 一条直线和直线外的一点确定一个平面 推论 2 两条相交的直线确定一个平面 推论 3 两条平行的直线确定一个平面 上海数学培优孟老师联系电话（微信
4、，QQ） ：17521075874. 第 4页（共 22页） 2、空间直线与直线的位置关系：、空间直线与直线的位置关系： （1）空间两条直线的位置关系： 相交直线 共面直线 平行直线 异面直线 （2）公理 4： 平行于同一直线的两条直线相互平行 （3）定理 1： 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 （4）异面直线的定义：如果空间的两条直线 1 l、 2 l既不平行，也不相交，这时不可能存在一个平面， 使它既经过直线 1 l，又经过直线 2 l，我们把不能置于同一平面的两条直线 1 l、 2 l叫做异面直线 （5）异面直线所成的角： 对于异面直线a和b，在空间任取一
5、点P，过P分别作a和b的平行线 a 和 b ，我们把 a 与 b 所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角取值范围是(0, 2 （6）异面直线的性质： 过两条异面直线中的一条且平行于另一条的平面是唯一的 3、空间直线与平面的位置关系：、空间直线与平面的位置关系： （1）直线与平面垂直： 一般地，如果一条直线l与平面上的任何直线都垂直，那么我们就说直线l与平面垂直， 记作l，直线l叫做平面的垂线，l与的交点叫做垂足 判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ab，ac，b，c，bcA a 性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行 a，b，ab ab （2）直
6、线与平面平行： 判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 a，b，且ab a 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ） ：17521075874. 第 5页（共 22页） 性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a，a，b ab （4）直线与平面所成的角： 当直线l与平面相交且不垂直时，叫做直线l与平面斜交，直线l叫做平面的斜线 设直线l与平面斜交于点M，过l上任意点A，作平面的垂线，垂足为O，我们把点O 叫做点A在平面上的射影，直线OM叫做直线l在平面上的射影，并规定直线l与其在平面 上的射影OM所成的锐角叫做直线
7、l和平面所成的角 当直线l与平面垂直时，它们所成的角等于90；当直线l与平面平行或直线l在平面 上时，它们所成的角为0直线与平面所成的角的取值范围是0, 2 最小角定理： 已知的斜线l与所成的角为，l与内的一条直线所成的角为， 则， 此为最小角定理 已知OA是平面的斜线，OB是OA在内的射影，OM， 1 AOB， 2 BOM，则 12 coscoscos （5）三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和 这条斜线垂直 三垂线定理逆定理： 如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内 的射影 4、空间平面
8、与平面的位置关系：、空间平面与平面的位置关系： （1）空间平面与平面平行： 判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a，b，abP，a，b 性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ，a，b，求证ab （2）空间平面与平面垂直： 判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 a，a 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ，l，ml，m m 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ） ：17521075874. 第 6页（共 22页） （3）二面角： 设两个平面、相交于直线AB，AB将、分别分
9、割成两个半平面，由、的半平面 及其交线AB所组成的空间图形叫做二面角，记作AB交线AB叫做二面角的棱，两个半 平面、叫做二面角的面如果半平面上有点Q，半平面上有点P，那么该二面角也可记 作PABQ （4）二面角的平面角： 在二面角的棱AB上任取一点O，过O分别在面和上作棱AB的垂线OM和ON，射线OM 和ON所成的角叫做二面角AB的平面角二面角的大小就用它的平面角来度量，当二面 角的平面角是时，就说这个二面角是（0） 特别地，当 2 时，称平面与平面垂直，记作 （5）二面角的平面角大小的求解方法： 定义法：在二面角AB的交线AB上找到一点O，然后分别在这两个面内作AB的垂 线OM、ON，然后求
10、解MON即可； 射影法：cos S S 射影的面积 原几何图形的面积 ，其中为二面角的平面角的大小 注意：注意：当射影在二面角的外面时，射影的面积取负值 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ） ：17521075874. 第 7页（共 22页） 5、空间图形中的有关距离：、空间图形中的有关距离： 点M和平面的距 离 设M是平面外一点，过点M作平面的 垂线，垂足为N，我们把点M到垂足N之 间的距离叫做点M和平面的距离 直线l和平面的距 离 设直线l平行于平面，在直线l上任取一 点M，我们把点M到平面的距离叫做直 线l和平面的距离 平面和平面的距 离 设平面平行于平面， 在平面上任取一 点M，我
11、们把点M到平面的距离叫做平 面和平面的距离 异面直线a、b的距 离 设直线a与直线b是异面直线， 当点M、N 分别在a、b上，且直线MN既垂直于直线 a，又垂直于直线b时，我们把直线MN叫 做异面直线a、b的公垂线，垂足M、N之 间的距离叫做异面直线a和b的距离 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ） ：17521075874. 第 8页（共 22页） 6、立体向量的相关问题：、立体向量的相关问题： （1）中点坐标公式： 已知 111 ( ,)A x y z， 222 (,)B xyz，若( , , )M x y z是线段AB的中点，则有 12 12 12 2 2 2 xx x yy y z
12、z z （2）异面直线所成的角： 已知直线m的方向向量为 111 ( ,)ax y z ，直线n的方向向量为 222 (,)bxyz ，则 直线m与直线n所成的角满足： 121212 222222 111222 cos xxyyzza b abxyzxyz （3）平面的法向量： 已知平面的两个方向向量为 1111 ( ,)dx y z 、 2222 (,)dxyz ，法向量为( , , )nx y z ，则 1 2 0 0 dn dn ，即 111 222 0 0 x xy yz z x xy yz z ，得到:x y z即可 （4）直线与平面所成的角： 已知直线AP的方向向量为 111 (
13、,)dx y z ，平面的法向量为 222 (,)nxyz ，则 直线AP与平面所成的角满足： 121212 222222 111222 sin xxyyzzd n dnxyzxyz （5）二面角（平面与平面所成的角） ： 基向量法： 二面角ABDC中，AEBD，CFBD，AC、EF、AE、CF长度已知，则由 2 2 ()ACAEEFFC ，可求出cos,AE FC ，从而求得,AE FC ， 则二面角ABDC的大小为,AE FC 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ） ：17521075874. 第 9页（共 22页） 法向量法： 已知平面的法向量为 1111 ( ,)nx y z ，平面
14、的法向量为 2222 (,)nxyz ，则 平面与平面所成的二面角满足： 12121212 222222 12 111222 cos n nxxyyzz nnxyzxyz 其中号，可以结合具体情形加以判断，或者令 1 n 与 2 n 对于二面角的朝向相反 （6）点到平面的距离： 已知点P，平面的法向量为 111 ( ,)nx y z ，则任取平面上的点M，于是 点P到平面的距离为 n PM n （7）异面直线间的距离： 设异面直线AB、CD间的距离为d，则 BC nBD nAC nAD n d nnnn 其中，n 满足0n AB ，且0n CD 注意注意：异面直线间的距离问题在新课标中有所淡化，此公式仅作了解即可要注意体会点到平面的 距离公式
