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1、集合间的基本运算一、知识概述1、交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB2、并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集记作：AB（读作A并B），即AB =x|xA，或xB3、补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，即=性质：.全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用S，U表示4、运算性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；
2、二、例题讲解例1、设集合A=4，2m1，m2，B=9，m5，1m，又AB=9，求实数m的值解：AB=9，2m1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=3若m=5，则A=4，9，25，B=9，0，4与AB=9矛盾；若m=3，则B中元素m5=1m=2，与B中元素互异矛盾；若m=3，则A=4，7，9，B=9，8，4满足AB=9m=3例2、设A=x|x2axb=0，B=x|x2cx15=0，又AB=3，5，AB=3，求实数a，b，c的值解：AB=3，3B，323c15=0，c=8，由方程x28x15=0解得x=3或x=5B=3，5由A（AB）=3，5知，3A，5A（否则5AB，与AB=3矛盾）.故必有
3、A=3，方程x2axb=0有两相同的根3由韦达定理得33=a，33=b，即a=6，b=9，c=8例3、已知A=x|x33x22x0，B=x|x2axb0，且AB=x|0x2，ABxx2，求a、b的值解：A=x|2x1或x0，设B=x1，x2，由AB=（0，2知x22，且1x10，由AB=（2，）知2x11.由知x11，x22，a（x1x2）1，bx1x22例4、已知A=x|x2axa219=0，B=x|x25x8=2，C=x|x22x8=0.若AB，且AC=，求a的值解：B=x|(x3)(x2)=0=3，2，C=x|(x4)(x2)=0=4，2，又AB，AB又AC=，可知4A，2A，3A由93
4、aa219=0，解得a=5或a=2当a=5时，A=2，3，此时AC=2，矛盾，a5；当a=2时，A=5，3，此时AC=，AB=3，符合条件综上知a=2例5、已知全集U=不大于20的质数，M，N是U的两个子集，且满足M（）=3，5，（）N=7，19，（）（）=2，17，求M、N解：用图示法表示集合U，M，N（如图），将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内，由图可知：M=3，5，11，13，N=7，11，13，19.点评：本题用填图的方法使问题轻松地解决，但要注意的是在填图时，应从已知区域填起，从已知区域推测未知区域的元素特别提示：下列四个区域：对应的集合分别是：；一、选择题1、下列命题中，正确
5、的是（）A若U=R，AU，；B若U为全集，表示空集，则=；C若A=1，2，则2A；D若A=1，2，3，B=x|xA，则AB2、设数集且M、N都是集合x|0x1的子集，如果把ba叫做集合x|axb的“长度”，那么集合MN的“长度”的最小值是（）A BC D3、设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为MN=x|xM且xN，则M（MN）等于（）AN BMNCMN DM4、已知全集，集合M和的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A3个 B2个C1个 D无穷个1、=U，2A，2单独看是一个集合，但它又是A中的一个元素2、集合M的“长度”为，集合N的“长度”为，而集合x
6、|0x1的“长度”为1，故MN的“长度”最小值为3、MN=x|xM且xN是指图（1）中的阴影部分同样M（MN）是指图（2）中的阴影部分4、图形中的阴影部分表示的是集合，由解得集合，而N是正奇数的集合，故选B二、填空题5、已知集合A=x|x23x2=0，集合B=x|ax2=0（其中a为实数），且AB=A，则集合C=a|a使得AB=A=_5、0，1，2解析：A=1，2，由AB=A，得BA1A，即得a=2；或2A，即得a=1；或B=，此时a=0.C=0，1，26、非空集合S1，2，3，4，5，且若aS，则6aS，这样的S共有_个6、6解析：S=1，5或2，4或3，或1，3，5，或2，4，3，或1，5
7、，2，4三、解答题7、设集合.（1）若，求实数a的值（2）若，求实数a的值7、解：（1）9，9A.则a2=9或.解得a=3或5.当时，（舍）；当时，（符合）；当时，（符合）.综上知或.（2）由（1）知.8、已知全集UR，0，或x，若，求实数的取值范围8、解：依题设可知全集且05，由题设可知.分类如下：若，则m12m1m2.若，则m12m1，且，解得2m3.由可得：m3.实数m的取值范围为m|m3.9、已知全集U=|a1|，(a2)(a1)，4，6（1）若求实数a的值；（2）若求实数a的值9、解：（1）且BU，|a1|=0，且(a2)(a1)=1，或|a1|=1，且(a2)(a1)=0；第一种情
8、况显然不成立，在第二种情况中由|a1|=1得a=0或a=2，a=2.（2）依题意知|a1|=3，或(a2)(a1)=3，若|a1|=3，则a=4，或a=2；若(a2)(a1)=3，则经检验知a=4时，(42)(41)=6，与元素的互异性矛盾a=2或10、设集合A =|，B =|，若AB=B，求实数的值10、解：先化简集合A=. 由AB=B，则BA，可知集合B可为，或为0，或4，或(i)若B=，则，解得；(ii)若B，代入得=0=1或=，当=1时，B=A，符合题意；当=时，B=0A，也符合题意(iii)若4B，代入得=7或=1，当=1时，已经讨论，符合题意；当=7时，B=12，4，不符合题意综上
9、可得，=1或11、已知集合A=x|x24mx2m6=0，B=x|x0，若AB，求实数m的取值范围11、解：设全集若方程x24mx2m6=0的两根x1，x2均非负，则解得m|关于U的补集是m|m1，实数m的取值范围是m|m11、（全国I，1）设集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，则集合中的元素共有（）A3个B4个C5个D6个答案：A解析：2、（福建，2）已知全集U=R，集合A=x|x22x0，则等于（）Ax|0x2Bx|0x2Cx|x2 Dx|x0或x2答案：A解析：x22x0，x(x2)0，得x2，A=x|x2，.3、（山东，1）集合A=0，2，a，B=1，a2若AB
10、=0，1，2，4，16，则a的值为（）A0B1C2D4答案：D解析：AB=0，1，2，a，a2，又AB=0，1，2，4，16，a，a2=4，16，a=4，故选D集合中的交、并、补等运算，可以借助图形进行思考。图形不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了，同时也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合运算能建立在直观的形象思维基础上.因此图形既是迅速理解题意的工具，又是正确解题的手段.例1、某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49，电视机拥有率为85，洗衣机拥有率为44，至少拥有上述三种电器中两种以上的占63，三种电器齐全的为25，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为（）A10B12C
11、15D27分析：这是一个小型应用题把各种人群看做集合，本题就是已知全集元素个数，求其某个子集的元素个数，可借助Venn图解法解：不妨设调查了100户农户，U被调查的100户农户，A100户中拥有电冰箱的农户，B100户中拥有电视机的农户，C100户中拥有洗衣机的农户，由图知，的元素个数为498544632590则的元素个数为10090=10答案：A一般此类题利用Venn图直观手段，使集合中元素的个数，以及集合间的关系更直接的显示，进而根据图逐一把文字陈述的语句“翻译”为数学符号语言，通过解方程和限制条件的运用解决问题。变式延伸某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：(1)只乘电车的人数；(2)不乘电车的人数； (3)乘车的人数；(4)不乘车的人数；(5)只乘一种车的人数解：设只乘电车的人数为人，不乘电车的人数为人，乘车的人数为人，不乘车的人数为人，只乘一种车的人数为人，如图所示：(1)66人，(2)36人，(3)98人，（4）人，（5）人.
