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1、高中数学第十五章 复数考试内容： 复数的概念复数的加法和减法复数的乘法和除法数系的扩充考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想15. 复 数 知识要点1. 复数的单位为i，它的平方等于1，即.复数及其相关概念： 复数形如a + bi的数（其中）； 实数当b = 0时的复数a + bi，即a； 虚数当时的复数a + bi； 纯虚数当a = 0且时的复数a + bi，即bi. 复数a + bi的实部与虚部a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实
2、数） 复数集C全体复数的集合，一般用字母C表示.两个复数相等的定义：.两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：若为复数，则若，则.（）为复数，而不是实数若，则.（）若，则是的必要不充分条件.（当，时，上式成立）2. 复平面内的两点间距离公式：.其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.曲线方程的复数形式：为圆心，r为半径的圆的方程.表示线段的垂直平分线的方程.为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.绝对值不等式：设是不等于零的复数，则.左边取等号的条件是
3、，右边取等号的条件是.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.注：.3. 共轭复数的性质： ，（a + bi） （） 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （）之差可能为零，此时两个复数是相等的4 复数的乘方：对任何，及有 注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.在实数集成立的. 当为虚数时，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.常用的结论： 若是1的立方虚数根，即，则 .5. 复数是实数及纯虚数的充要条件：.若，是纯虚数.模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：
4、. 6. 复数的三角形式：.辐角主值：适合于0的值，记作.注：为零时，可取内任意值.辐角是多值的，都相差2的整数倍.设则.复数的代数形式与三角形式的互化：，.几类三角式的标准形式：7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：当时，若0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若0，则有二相等复数根（为共轭复数）.当不全为实数时，不能用方程根的情况.不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8. 复数的三角形式运算：棣莫弗定理：复 数一本章知识结构二学习内容和要求（一）学习目标1了解引进复数的必要性，数集的扩展过程及复数的分类表；2理解复数的有
5、关概念；3掌握复数的代数形式；4掌握复数的代数形式的运算法则；5能进行复数的加、减、乘、除运算；6掌握某些特殊复数的运算特征7能在复数集中因式分解、解一元二次方程等。（二）本章知识精要1复数的概念：（1）虚数单位i；（2）复数的代数形式z=a+bi，(a, bR)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2复数集 3复数的四则运算 若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（2）减法：z1z2=(a1a2)+(b1b2)i；（3）乘法：z1z2=(a1a2b1b2)+(a1b2+a2b1)i；（4）除法：；（5）四则运算的交换率、
6、结合率；分配率都适合于复数的情况。（6）特殊复数的运算： (n为整数)的周期性运算； (1i)2=2i； 若=+i，则3=1，1+2=0.4共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi，则，为实数，为纯虚数(b0).（2）复数z=a+bi的模，|a|=, 且=a2+b2.三学习方法与指导（一）学习方法点拨：1数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程得需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。要求熟悉我们已经学过的各种数集
7、之间的内在联系。理解复数在其中所起到的重要作用，和各种数集之间的包含关系。2复数a+bi(a, bR)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b0时，a+bi是虚数，其中a=0且b0时称为纯虚数。应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。3根据两个复数相等的定义，设a, b, c, dR，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题
8、转化为实数问题的方法，是求复数值、在复数集中解方程得重要依据。4复数a+bi的共轭复数是abi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。5复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=1结合到实际运算过程中去。如(a+bi)(abi)=a2(bi)2=a2b2i2=a2+b2. 6复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即.7复数a+bi的模
9、的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。（二）典型例题讲解1复数的概念例1实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z在第三象限？解：复数z=m+1+(m1)i中，因为mR，所以m+1，m1都是实数，它们分别是z的实部和虚部， （1）m=1时，z是实数； （2）m1时，z是虚数；（3）当时，即m=1时，z是纯虚数；（4）当时，即m1时，z对应的点Z在第三象限。例2已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x, yR，求x, y.解：根据复数相等的意义，得方程组，得x=, y=4.例3已知x与y实部相等，虚部互为相反数，且(x+y)2
10、3xyi=46i，求x, y.解：由题意设x=a+bi，y=abi (a, bR)，则代入原式得(2a)23(a2+b2)i=4bi，或或或， 或或或.例4当m为何实数时，复数z+(m2+3m10)i；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数 解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法 （1）z为实数，则虚部m2+3m10=0，即，解得m=2， m=2时，z为实数。（2）z为虚数，则虚部m2+3m100，即，解得m2且m5. 当m2且m5时，z为虚数，解得m=, 当m=时，z为纯虚数 诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求例5计
11、算：ii2i3+i2005. 解：此题主要考查in的周期性ii2i3+i2005=(i+i2+i3+i4)+(i2001+i2002+ i2003i2004)i2005 =(i1i+1)+ (i1i+1)+(i1i+1)+i 000+ii. 或者可利用等比数列的求和公式来求解（略） 诠释：本题应抓住in的周期及合理分组例8使不等式m2(m23m)i(m24m3)i10成立的实数m .解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法 m2(m23m)i(m24m3)i10, 且虚数不能比较大小，解得， m=3.当m3时，原不等式成立诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。
12、例9已知z=xyi(x，yR)，且 ，求z解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法 ，解得或, z2i或z12i诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）例10已知x为纯虚数，y是实数，且2x1iy(3y)i，求x、y的值解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法设xti (tR，且t0），则2x1iy(3y)i可化为2ti1iy(3y)i，即(2t1)i1=y(3y)i，, y=1, t=, x=i.2复数的四则运算例1计算：（1），nN+； （2）若=+i，3=1，计算；（3）；（4）S=1+2
13、i+3i2+4i3+100i99.解：（1）= =.（2）= =2.（3）由于, , = =8.（4）S=1+2i+3i2+4i3+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+(97i96+98i97+99i98+100i99)=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(97+98i99100i)=25(22i)=5050i.例2已知复数z满足|z2|=2，z+R，求z.解：设z=x+yi, x, yR，则z+=z+， z+R， =0， 又|z2|=2, (x2)2+y2=4,联立解得，当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0)，当y0时, , z=1, 综上所得 z1=4，z2=1+i，z3=1i.例3设z为虚数，求证：z+为实数的充要条件是|z|=1.证明
