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抛物线中的最值问题

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抛物线中的最值问题_第1页
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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,抛物线中的最值问题,例一、,点,P,在抛物线,y,2,=x,上,定点,A(3,0),求,|PA|,的最小值法一、目标函数法,法二、判别式法,过作同心圆,当圆与抛物线相切时,到点的距离最小,设为,r,练习:,若,P,为抛物线,y,2,=x,上一动点,,Q,为圆(,x-3),2,+y,2,=1,上一动点,求,|PQ|,的最小值,例二、,设,P,为抛物线,y=x,2,上的一动点,求,P,点到直线,L:,3x-4y-6=0,的距离的最小值法一、目标函数法,y=x,2,P(x,y,),x,y,o,法二、判别式法,解:当,L,平移到与抛物线,y=x,2,只有一个公共点时,设此时的直线为,L1,,其方程为,3x-4y-b=0,则,L,与,L1,的距离即为所求3x-4y+b=0 ,y=x,2,代入可得:,4x,2,-3x+b=0,=(-3),2,-44b=0,可得,L,y=x,2,x,y,o,L1,练习:,已知抛物线,y,2,=4x,,以抛物线上两点,A(4,4),、,B(1,-2),的连线为底边,ABP,,其顶点,P,在抛物线的弧,AB,上运动,求:,ABP,的最大面积及此时点,P,的坐标。

A(4,4),B(1,-2),x,y,o,分析,1,:,动点在弧,AB,上运动,可以设出点,P,的坐标,只要求出点,P,到线段,AB,所在直线,AB,的最大距离即为点,P,到线段,AB,的最大距离,也就求出了,ABP,的最大面积分析,2,:,我们可以连接,AB,,作平行,AB,的直线,L,与抛物线相切,求出直线,L,的方程,即可求出直线,L,与,AB,间的距离,从而求出,ABP,面积的最大值和点,P,的坐标L,P,小结:,对于抛物线上一点到定点或者是定直线的最值问题,可以由两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数,再用函数最值的方法求解;也可以通过一些几何性质和已知条件,构造一个含有某一变量的一元二次方程,通过判断方程的判别式寻求题目的答案已知定点,M,(,3,,,2,),,F,是抛物线,y,2,=2x,的焦点,在此抛物线上求一点,P,,,使,|PM|+|PF|,取得最小值,求点,P,的坐标,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等即,|PF|=|PN|,|PM|+|PF|=|PM|+|PN|,当,M,、,P,、,N,三点共线时距离之和最小F,M,例三、,如图,由抛物线的定义:,分析:,F,M,P,N,解:,如图所示,|PF|=|PN|,即:,|PF|+|PM|=|PN|+|PM|,|PM|+|PN|PM|+|PN|=|PM|+|PF|,又点,P,的纵坐标等于点,M,的纵坐标,即,y=2,所以,点,P,的坐标为(,2,,,2,),在抛物线,y,2,=2x,上任取一点,P,(x,y,),作,P,N,准线,L,,作,MN,L,,,MN,交抛物线于,P,(,x,,,y,),由抛物线的定义得:,当,P,和,P,重合时,即,PNL,,,N,、,P,、,M,三点共线,,F,M,P,N,P,N,y,x,O,F,A,P,y,x,O,F,A,P,Q,练习、,P,为抛物线,x,2,=4y,上的一动点,定点,A,(,8,7,),求,P,到,x,轴与到点,A,的距离之和的最小值,所求,p,点位置,9,几何法,运用数形结合的思想,利用抛物线的定义,将到焦点的距离转化为到准线的距离,将图形局部进行转化,使最值问题得以求解,小结:,练习:,2,、求抛物线,y,2,=64x,上的点到直线,4x+3y+46=0,距离最小值,并求取得最小值时抛物线上的点的坐标,课堂小结:,在解析几何中,常见的最值问题的求解方法主要有以下几种:,函数法:,选择恰当的变量,根据题意建立目标函数,再探求目标函数的最值方法。

几何法:,利用数形结合的思想,借助于几何图形中的一些特点,将图形局部进行转化,使最值问题得以求解判别式法:,利用已知条件构造一个含有某一变量的一元二次方程,通过判断方程的判别式寻求题目的答案。

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