单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第,13,章 轴对称,13.4,最短路径问题,第一课时 将军饮马问题,1.,如图，连接,A,、,B,两点的所有连线中，哪条最短？你的依据是什么？,A,B,最短，依据,“,两点之间，线段最短,”,2.,如图，,P,是直线,l,外一点，点,P,与该直线,l,上各点连接的所有线段中，哪条最短？,你的依据是什么？,P,l,A,B,C,D,PC,最短，依据,“,垂线段最短,”,3.,如图，直线,l,是线段,AB,的对称轴，,C,是直线,l,上任意一点，则,AC,和,BC,的大小关系是什么？你的依据是什么？,AC,=,BC,.,依据,“,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,”.,A,B,l,C,4.,如图，如何做点,A,关于直线,l,的对称点？,作法：（,1,）,过点,A,作直线,l,的垂线，垂足为,O,；,l,A,A,O,（,2,）在垂线上截取,OA,=,OA.,点,A,就是点,A,关于直线,l,的对称点,.,可简记为：作垂线；取等长,探索新知,引例,将军要先带马去河边喝水，再去单位上班请问：马在河边何处喝水时，将军所走的路线最短？,知识点,1,将军,饮马问题,实际问题,数学问题,？转化？,引例,A,B,l,将军要先带马去河边喝水，再去单位上班。
请问：马在河边何处喝水时，将军所走的路线最短？,实际问题,数学问题,将两地抽象为A、B两个点，将河抽象为直线l,引例,将两地抽象为A、B两个点，将河抽象为直线l,A,B,l,问题一,你能用自己的语言把问题抽象为数学问题吗？,在直线l 上找一点C，使AC+BC最短,问题二,点C应该在哪里？,为什么呢？,连接AB，与l 交于C点,两点之间线段最短,C,将两地抽象为,A,、,B,两个点，将河抽象为直线,l,在直线,l,上找一点,C,，,使,AC,+,BC,最短,B,A,l,C,问题1,现在，单位搬到了将军府的同侧，将军还是要先带马去河边喝水，再去单位上班此时，将军应该如何走才能使所走路线最短？,知识点,1,将军,饮马问题,探索知,知识点,1,将军,饮马问题,A,B,l,B,B,C,A,l,B,C,引例,分析：,如果我们能把点,B,“,移,”到,l,的另一侧,B,处，同时对于直线,l,上的任一点,C,，都保持,CB,与,CB,的长度相等,，就能把这个“同侧”的问题转化为“异侧”的问题.,A,、,B,同侧,A,、,B,异侧,知识点,1,将军,饮马问题,A,B,l,作出点,B,关于直线,l,的对称点,B,，利用轴对称的性质，可以得到,CB,=,CB,.,B,C,问题转化二,:,当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,+,CB,最小,.,怎样找到满足条件的点,B,？,在连接,A,，,B,两点的线中，线段,AB,最短,.,因此线段,AB,与直线,l,的交点的位置即为所求,.,知识点,1,将军,饮马问题,A,B,l,B,C,怎样证明点,C,的位置即为所求？,作法：,（,1,）作点,B,关于直线,l,的对称点,B,;,点,C,即为所求作的点,.,（,2,）,连接,AB,交直线,l,于点,C,.,知识点,1,将军,饮马问题,A,B,l,在直线上另外任取一点,C,，,连接,A,C,，,B,C,，,BC,，证明,AC,+,CB,AC,+,CB,.,B,C,C,你能完成这个证明吗？,知识点,1,将军,饮马问题,A,B,l,B,C,C,由轴对称的性质知，,BC,=,BC,，,BC,=,BC,AC,+,BC,=,AC,+,BC,=,AB,，,AC,+,BC,=,AC,+,BC,在,ABC,中，,AB,AC,+,BC,，,AC,+,BC,AC,+,BC,即,AC,+,BC,最短,证明：如图，在直线,l,上任取一点,C,(与点,C,不重合)，连接,AC,，,BC,，,BC,知识点,1,将军,饮马问题,（,1,）定直线,l,；,利用,”,将军饮马,“,模型解决最值问题的应符合的条件,A,B,l,（,2,）两定点,A,，,B,，且两定点在,直线,l,的同侧,;,（3）所求作的,动点,C,在,直线,l,上,.,C,知识点,1,将军,饮马问题,（,1,）,找,：,由轴对称的性质，作其中一个定点（如,B,）关于,直线,l,的对称点（,B,）,；,（,2,）,连,：,连接另外一个定点（,A,),与对称点（,B,）；,解决,”,将军饮马,“,问题的步骤,A,B,l,B,C,C,（,3,）,交,：连线与,直线,l,的交点,（,C,）所在的位置,即为所求作的点（,C,）,.,探究新知,问题2,在单位旁边有一块草地，每天中午休息的时候，将军要赶着马先到草地吃草，再到河边喝水，最后回到单位，你能替将军设计出最短的放牧路线吗？,A,m,n,B,C,在直线,m,上找一点,B,，直线,n,上找一点,C,使,AB,+,BC,+,AC,最短,探究新知,m,n,在直线m上找一点B，直线n上找一点C,使AB+BC+AC最短,A,1,A,A,2,C,B,总结归纳,一点两线,作该点分别关于两线的对称点，连接对称点，与两线相交，两个交点与该点构成三角形，就是最短路,径。
两点之间，线段最短,求解思路,求解原理,m,n,A,1,A,A,2,C,B,（1）两直线内的一个定点,（2）两直线上各一个动点,（转化思想）,知识点,1,将军,饮马问题,例,1,如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）,A7.5 B5,C4 D不能确定,B,E,B,E,F,B,E,F,F,知识点,1,将军,饮马问题,例,1,如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）,A7.5 B5,C4 D不能确定,B,F,【解析】,ABC,为等边三角形，,D,是,BC,边的中点，,点,B,与点,C,关于直线,AD,对称,.,点,F,在,AD,上，故,BF=CF.,即,BF+EF,的最小值可转化为求,CF+EF,的最小值，故连接,CE,即可，线段,CE,的长即为,BF+EF,的最小值,.,知识点,1,将军,饮马问题,思考：作点,E,关于,AD,的对称点可以吗？为什么不选择这个方法？,将军饮马问题,将军饮马问题,步骤：找，连，交.,原理,两点之间，线段最短.,课堂练习,1.,如图，点,A,，,B,是直线,l,同侧不重合的两点，在直线,l,上求作一点,C,，使得,AC+BC,的长度最短,.,作法：作点,B,关于直线,l,的对称点,B,；,连接,A,B,，与直线,l,相交于点,C,，则点,C,为所求作的点,.,在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（）,A.,转化思想,B.,三角形两边之和大于第三边,C.,两点之间，线段最短,D.,三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角,A,B,l,C,B,D,课堂练习,2.,如图，直线,l,是一条河，,P,、,Q,是两个村庄,.,欲在,l,上的某处修建一个水泵站，向,P,、,Q,两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）,D,3.,如图，已知,MON,=40，,P,为,MON,内一定点，,OM,上有一点,A,，,ON,上有一点,B,，当,PAB,的周长取最小值时，求,APB,的度数.,解:如图，依题意,分别作点,P,关于,ON,、,OM,的对称点,P,1,、,P,2,连接,P,1,P,2,交,ON,于点,B,，交,OM,于点,A,，依次连接,A、B、P,，此时,PAB,的周长为最小值.,。