单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,0,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第,三级,第,四级,第,五级,2025,年春,人教版,数学,七年级下册,第,八,章,实数,8.3,实数及其简单运算,1.,理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数；,(,重点,),2.,进一步理解有理数和无理数的概念，会把实数进行分类；,(,重点,),3.,理解实数与数轴的关系，并进行相关运用；,(,难点,),4.,了解实数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义；,(,重点,),5.,了解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能利用,化简对实数进行简单的四则运算,.,(,难点,),学习目标,-1,1,2,4,平方根,立方根,1,1,不存在,-1,2,填一填,上表中所填的这些数都是有理数吗？,情境导入,-1,0,-1.0,0.0,-0.6,2.5,1.,有理数（整数、分数）可以写成,有限小数,或,无限循环小数,.,2.,反过来,，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数,.,3.,很多数的平方根和立方根都是,无限不循环小数,.,两种小数有什么区别？你发现了什么？,新知讲解,知识点一,实数的概念和分类,我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列各数写成小数的形式,.,-1,1,2,4,平方根,立方根,1,1,不存在,-1,2,无理数,无理数的概念,:,无限不循环小数叫作,无理数,.,你还能举出一些无理数的例子吗？,新知讲解,思考,：,是无理数吗？2.020 020 002 000 02,是无理数吗？,常见的一些无理数：,(1),化简后,含有,的数,；,(2),开不尽方的数,开方所得的结果,；,(3),有规律但不循环的小数,，如,1.01001000100001,.,它们都是无限不循环小数，是无理数,.,新知讲解,思考,：,我们将,有理数,和,无理数,统称为,实数,.,你能,仿照,有,理数,的分类给实数分类吗？,实数,有理数,无理数,正有理数,0,负有理数,正无理数,负无理数,有限小数或无限循环小数,无限不循环小数,新知讲解,负,实数,正,实数,数实,正有理数,负有理数,0,正无理数,负无理数,由于非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，,按大小对实数分类吗？,新知讲解,无理数：,有理数：,负实数：,正实数：,例,1.,将下列各数分别填入相应的括号内：,新知讲解,例,2.,下列说法中，正确的是（,）,.,A.,实数分为正实数和负实数,B.,无限小数都是无理数,C.,无理数都是无限小数,D.,带根号的数都是无理数,例,3.,有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的,x,为,81,时，输出的,y,是（,）,.,输入,x,取算术,平方根,输出,y,是无理数,是有理数,C,D,A.,9,B.,C.,3,D.,新知讲解,探究：,每个有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数是否也能用数轴上的点,表示出来呢,？,因为半径为,的圆的周长为,，,所以,数轴上点,A,表示的数是无理数,.,0,-,1,1,3,2,4,A,知识点二,实数与数轴上的点,能不能在数轴上找到表示,的点呢？,新知讲解,把两个边长为,1,的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，由大正方形的面积为,2,可知其边长为,，从而说明边长为,1,的小正方形的对角线长为,_,.,思考：,你能在数轴上表示出,和,-,吗？,新知讲解,2,1,0,1,2,-,每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；,反过来，数,轴上的每一点都表示一个实数,.,实数和数轴上的点是,一一对应,的,.,新知讲解,例,1.,如图所示，数轴上,A,，,B,两点表示的数分别为,1,和,，点,B,关于点,A,的,对称点为,C,，求点,C,所表示的实数,解析：数轴上,A,，,B,两点表示的数分别为1,和,，,点,B,到点,A,的距离为1,，则点,C,到点,A,的距离为,1,.,设点,C,表示的实数为,x,，则点,A,到点,C,的距离为1,x,，,1,x,1,，,x,2,.,新知讲解,比较大小,与有理数一样，实数也可以比较大小：,数轴上,右边,的点表示的实数比,左边,的点表示的实数,大,.,与有理数一样，在实数范围内：,正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数,.,新知讲解,例,2.,在数轴上表示下列各点，比较它们的大,小，,并用,“”,连接它们,.,-,2,-,1 0 1 2 3,1,-,2,新知讲解,估算,常见无理数的近似值：,有理数,中的几个重要概念,:,相反数,绝对值,倒数,思考：,无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？,有倒数吗？怎么表示？,新知讲解,(1),的相反数是,_,；,的相反数是,_,；,0,的相反数是,_,；,（,2,）,|-,|=,_,；,|-,|=,_.,知识点三,实数的性质,-,-,0,新知讲解,-,在实数范围内，,相反数、倒数、绝对值,的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义,完全一样,与,-,互为相反数,.,与,互为倒数,.,新知讲解,|,|=,，,|,|=,|,|=,知识点三,实数的性质,实数,a,的相反数是,-,a,.,实数,a,与,-,a,表示的点到原点的距离相等,.,总结：,一个正实数的绝对值是,它本身,；,一个负实数的绝对值是,它的相反数,；,0,的绝对值是,0,.,新知讲解,绝对值,例,1.,分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值：,解析：,(1),4,，,的相反数是,4,，倒数是,-,，绝对值是,4.,(2),15,，,的相反数是,-15,，倒数是,绝对值是,15.,(3),的相反数是,-,，倒数是,，绝对值是,.,新知讲解,知识点四,实数的运算,思考：,有理数的,运算律和运算性质,在实数范围内仍然成立吗？,有理数的运算法则及运算性质在实数范围内同样适用,.,新知讲解,填空：设,a,，,b,，,c,是任意实数，则,（,1,）,a,+,b,=,（加法交换律）；,（,2,）,(,a,+,b,)+,c,=,（加法结合律）；,（,3,）,a,+0=0+,a,=,；,（,4,）,a,+(-,a,)=,(,-,a,)+,a,=,；,（,5,）,ab,=,（乘法交换律）；,（,6,）,(,ab,),c,=,（乘法结合律）；,b,+,a,a,+(,b,+,c,),a,0,ba,a,(,bc,),（,7,）,1,a,=,a,1=,；,a,新知讲解,知识点四,实数的运算,（,8,）,a,(,b,+,c,)=,（乘法对于加法的分配律），,(,b,+,c,),a,=,（乘法对于加法的分配律）；,（,9,）实数的减法运算规定为,a,-,b,=,a,+,；,（,10,）对于每一个非零实数,a,，存在一个实数,b,，,满足,a,b,=,b,a,=1,，,我们把,b,叫作,a,的；,（,11,）实数的除法运算（除数,b,0,），规定为,a,b,=,a,；,（,12,）实数有一条重要性质：如果,a,0,，,b,0,，那么,ab,0.,ab,+,ac,ba,+,ca,(-,b,),倒数,新知讲解,1.,每个,正实数,有且只有两个平方根，它们互为相反数,.,0,的平方根是,0.,在,实数范围,内，负数没有平方根,.,2.,在实数范围内，每个实数有且只有,一个,立方根，,而且与它本身的,符号相同,.,实数,的平方根与立方根的性质：,此外，前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于,实数仍然成立,.,新知讲解,例,1.,计,算下列各式的值：,解析：,(1),原式,=,+,（,-,）,=,.,(2),原式,=,=,.,(1),+,-,;,(2),+2,.,新知讲解,1,.,下列说法正确的是（,）,A,.,a,一定是正实数,B,.,是有理数,C,.,是有理数,D,.,数轴上任一点都对应一个有理数,B,随堂练习,2.,下列各数中，互为相反数的是,(),A,.,3 与,B.2,与,(-2),2,C.,(-1),2,与,D.5,与,|,-5,|,C,3.,|,-3|-|2-,|,的值是,(),C,A,.,5,B.,-1,C.5-2,D.2,-5,原式,-(,-2)=,-,随堂练习,4.,若实数,a,，,b,互为相反数，,c,，,d,互为倒数，,m,是,9,的平方根,.,求,-,+,+,.,当,m,=3,时，原式,=0+1+(3,-,1),2,=1+4=5,；,当,m,=-3,时，原式,=0+1+(-3-1),2,=1+16=17.,解析：由已知得,a,+,b,=0,，,cd,=1,，,m,=,3.,随堂练习,5.,观察下图，每个小正方形的边长均为,1.,(1),图中阴影部分,(,正方形,),的面积是多少？,他的边长是多少？,(2),阴影部分,(,正方形,),的边长在哪两个整数之间？,解析：,(1),阴影部分的面积为,3,3,-4,1,2=9-4=5.,它的边长为,.,(2),因为,5,在,4,与,9,之间，所以,在,2,与,3,之间,.,即,阴影部分的边长在,2,与,3,之间,.,随堂练习,6.,如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间,t,(,单位：,s),与细线的长度,l,(,单位：,m),之间满足关系式,t=2,.,当细线的长度为,0.5 m,时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少,(3.14,，,0.22,结果保留小数点后一位,),？,随堂练习,解析：,当,l,=0.5,时，,答：,小重物来回摆动一次所用的时间是,1.4 s,t=2,=2,2,3.14,2,3.14,0.22=1.3816 1.4,（,s,）,随堂练习,实数,数轴,相反数,有理数,无理数,绝对值,倒数,实数的运算,课后小结,有限小数或无限循环小数,无限不循环小数,数与点的对应,谢谢,观看,。