虹口区高三数学本试卷共 4 页第 1页虹口区 2023 学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学试卷2023.12考考生生注注意意：1.本本试试卷卷共共 4 页页，21 道道试试题题，满满分分 150 分分，考考试试时时间间 120 分分钟钟.2.本本考考试试分分设设试试卷卷和和答答题题纸纸.作作答答必必须须涂涂（选选择择题题）或或写写（非非选选择择题题）在在答答题题纸纸上上的的相相应应位位置置，在在试试卷卷上上作作答答一一律律不不得得分分.一一、填填空空题题（本本大大题题共共有有 1 12 2 题题，满满分分 54 分分，第第 1 1-6 6 题题每每题题 4 4 分分，第第 7 7-1 12 2 题题每每题题 5 5 分分）考考生生应应在在答答题题纸纸的的相相应应位位置置直直接接填填写写结结果果.1.已知集合0,1,2,3,4,5,21,_.ABx xAB则2.函数1lg(2)5yxx的定义域为_.3设等比数列na的前n项和为nS，若21a，24S，则limnnS=_.4.已知一个圆锥的底面半径为 3，其侧面积为 15，则该圆锥的体积为_.5.在72()xx的二项展开式中x项的系数为_.6.已知1cos,3xx且为第三象限的角，则 tan2 x=_.7双曲线2214yx 的两条渐近线夹角的余弦值为_.8已知函数()cos()f xx(0,|2)的部分图像如右图所示，则()f x=_.9.已知()yf x是定义在(1,1)上的函数，若()3sinf xxx，且2(1)(1)0,fafa则实数a的取值范围为_.10.将甲、乙等 8 人安排在 4 天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为_.（结果用分数表示）11.设aR，若关于x的方程2210 x xaxxa 有 3 个不同的实数解，则实数a的取值范围为_.12.设123123,aaab bb 是平面上两两不相等的向量，若1223aaaa 312,aa 且对任意的,1,2,3,i j均有1,3,ijab 则122331bbbbbb _.二二、选选择择题题（本本大大题题共共有有 4 4 题题，满满分分 18 分分，第第 1 13 3-1 14 4 题题每每题题 4 4 分分，第第 1 15 5-1 16 6 题题每每题题 5 5 分分）（第 8 题图）虹口区高三数学本试卷共 4 页第 2页每每题题有有且且只只有有一一个个正正确确答答案案，考考生生应应在在答答题题纸纸的的相相应应位位置置上上，将将所所选选答答案案的的代代号号涂涂黑黑.13.设i为虚数单位，若2521ziii，则z（）（A）1 2 i（B）12 i（C）2i（D）2i14空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表:AQI指数值05051100101150151 200201300300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得 10 月 1日20 日AQI的数据并绘成折线图如下:下列叙述正确的是（）（A）这20天中AQI的中位数略大于150（B）10 月 4 日到 10 月 11 日，空气质量越来越好（C）这20天中的空气质量为优的天数占25%（D）10 月上旬AQI的极差大于中旬AQI的极差15.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如右上图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去 8 个三棱锥，得到 8 个面为正三角形、6 个面为正方形的一种半正多面体.若2AB，则此半正多面体外接球的表面积为（）（A）4 3（B）12（C）8 23（D）8 16.已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点,B C，使得O为ABC的重心，则称曲线为“自稳定曲线”.现有如下两个命题：任意椭圆都是“自稳定曲线”；存在双曲线是“自稳定曲线”.（第 15 题图）虹口区高三数学本试卷共 4 页第 3页则（）（A）是假命题，是真命题（B）是真命题，是假命题（C）都是假命题（D）都是真命题三三、解解答答题题（本本大大题题共共 5 题题，满满分分 78 分分）解解答答下下列列各各题题必必须须在在答答题题纸纸相相应应位位置置写写出出必必要要步步骤骤.1 17 7(本本题题满满分分 1 14 4 分分，第第 1 小小题题 7 分分，第第 2 小小题题 7 分分)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若sinsinsin,sinmABCA，,ncbca，且m/n（1）求角B的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，求sinsinyAC的取值范围虹口区高三数学本试卷共 4 页第 4页1 18 8(本本题题满满分分 1 14 4 分分，第第 1 1 小小题题 6 6 分分，第第 2 2 小小题题 8 8 分分)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 AA1C1C 为正方形，4ABAC；设 M 是 CC1的中点，满足11AMA B，N 是 BC 的中点，P 是线段 A1B1上的一点.(1)证明：AM平面 A1PN；(2)若14 2,1BCAP，求直线 AB1与平面 PMN 所成角的大小虹口区高三数学本试卷共 4 页第 5页1 19 9(本本题题满满分分 1 14 4 分分，第第 1 小小题题 6 分分，第第 2 小小题题 8 分分)2022 年 12 月底，某厂的废水池已储存废水 800 吨，以后每月新产生的 2 吨废水也存入废水池该厂2023 年开始对废水处理后进行排放，1 月底排放 10 吨处理后的废水,计划以后每月月底排放一次,每月排放处理后的废水比上月增加 2 吨.（1）若按计划排放,该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？（2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用.该厂从 2023 年 7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水 5 吨，以后每月比上月提高 20%的净化能力.试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？虹口区高三数学本试卷共 4 页第 6页20.（本本题题满满分分 18 分分，第第 1 小小题题 4 分分，第第 2 小小题题 6 分分，第第 3 小小题题 8 分分）已知点(,4)M m在抛物线：22(0)xpy p上，点 F 为的焦点，且5MF.过点 F 的直线 l 与及圆22(1)1xy依次相交于点,A B C D如图.（1）求抛物线的方程及点M的坐标；（2）求证：ACBD为定值；（3）过 A,B 两点分别作的切线12,ll且1l与2l相交于点 P，求ACP 与BDP 的面积之和的最小值虹口区高三数学本试卷共 4 页第 7页21.(本本题题满满分分 18 分分，第第 1 小小题题 4 分分，第第 2 小小题题 6 分分，第第 3 小小题题 8 分分)已知()yf x与()yg x都是定义在0，上的函数，若对任意12,0 x x，当12xx时，都有121212()()()()f xf xg xg xxx，则称()yg x是()yf x的一个“控制函数”.（1）判断2yx是否为函数20yxx的一个控制函数，并说明理由；（2）设 lnf xx的导数为 fx，0ab，求证：关于x的方程 f bf afxba在区间,a b上有实数解；（3）设 lnf xxx，函数 yf x是否存在控制函数？若存在，请求出 yf x的所有控制函数；若不存在，请说明理由.虹口区高三数学本试卷共 4 页第 8页虹口区 2023 学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学参考答案和评分标准2023 年 12 月一一、填填空空题题（本本大大题题共共 12 题题，满满分分 54 分分；第第 1 1-6 6 题题每每题题 4 4 分分;第第 7 7-1 12 2 题题每每题题 5 5 分分）11,2,32(2,5)3.9241255606.4 277.358cos(2)6x9.1,21017119,12.3二二、选选择择题题（本本大大题题共共 4 4 题题，满满分分 18 分分；第第 1 13 3-1 14 4 题题每每题题 4 4 分分，第第 1 15 5-1 16 6 题题每每题题 5 5 分分）13.A14.C15.D16.B三三、解解答答题题（本本大大题题共共 5 5 题题，满满分分 7 78 8 分分）17(本本题题满满分分 1 14 4 分分，第第 1 小小题题 7 分分，第第 2 小小题题 7 分分)解解：(1)因为m/n，所以 sinsinsinsinABCbcacA ，2 分由正弦定理，可得 abcbcaac ，即222acacb.4 分于是，由余弦定理得2221cos22acbBac，又0,B，所以3B 7 分（2）由（1）可知2,3AC所以233sinsinsinsin()sincos3 sin()3226yACAAAAA 11 分由ABC 为锐角,得20,0,232AA且所以,62A从而362.3A所以sinsin3sin()6yACA的取值范围为32,3.14 分1 18 8(本本题题满满分分 1 14 4 分分，第第 1 1 小小题题 6 6 分分，第第 2 2 小小题题 8 8 分分)证证：(1)取 AC 中点 D，连接 DN，A1D.因 AA1AC，ADCM，A1AD ACM90，故A1ADACM.2 分从而AA1DCAM，又因AA1DA1DA90，故CAMA1DA90.所以 AMA1D.由于 AMA1B1及 A1B111,A DA因此AM平面 A1B1D.4 分因 D,N 分别为 AC,BC 的中点，故 D N/AB，从而 D N/A1B1，于是 A1，P，B1，N，D 在同一平面内，故 AM面 A1PN.6 分虹口区高三数学本试卷共 4 页第 9页解解：(2)因为 ABAC4，BC42，所以 AB2AC2BC2,故 ABAC.因 AMA1B1，A1B1AB，故 AMAB；又因 AM ACA，所以 AB面 ACC1A1，从而 ABAA1；因此 AB，AC，AA1两两垂直.以 A 为原点，以 AB，AC，AA1分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，如图.8 分则由条件，相关点的坐标为M(0，4，2)，N(2，2，0)，P(1，0，4)，B1(4，0，4).设平面 MNP 的一个法向量为(,),nx y z则(,)(2,2,2)2220,2,(,)(1,4,2)420,n MNx y zxyzyzxzn MPx y zxyz 即取1,(2,1,1).zn得11 分因1AB(4，0，4)，设直线1AB与平面 PMN 所成的角为，则111(4,0,4)(2,1,1)123sincos,.(4,0,4)(2,1,1)24 26ABnAB nABn 故直线1AB与平面 PMN 所成角的大小为.314 分19(本本题题满满分分 1 14 4 分分，第第 1 小小题题 6 分分，第第 2 小小题题 8 分分)解：（1）设从 2023 年 1 月起第n个月处理后的废水排放量为na吨，则由已知条件知：数列na是首项为 10，公差为2的等差数列，故28nan.2 分当18002nnian时，即10(28)80022nnn，4 分化简得278000nn，解得25,32;nn 或或由n是正整数，则25n.故该厂在 2025 年 1 月底第一次将废水池中的废水排放完毕.6 分（2）设从 2023 年 1 月起第n个月深度净化的废水量为nb吨.由已知条件，1260bbb，当7n 时，数列 nb是首项为5，公比为1.2的等比数列，故70,16,5 1.2,7,nnnbn（n 为正整数）.8 分显然，当16n时，nnab.虹口区高三数学本试卷共 4 页第 10页当7nnnab时时,由由得7285 1.2nn.（*）10 分设7285 1.2nncn ，则812 1.2nnncc，所以当711n时，数列 nc是严格增数列，且0;nc。