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1、湖北省云学名校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷考试时间：2023年11月23号14：3016：30 时长：120分钟满分：150分一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1“”是“直线与直线平行”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件2如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（ ）ABCD3已知双曲线，F为其右焦点，过F点的直线与双曲线相交于A，B两点，若，则这样的直线l的条数为（ ）A1条B2条C3条D4条4设l，m，n表示不同的直线，表示不同
2、的平面，下列命题中正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则5点P是椭圆C：上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（ ）A1B3CD6若实数x、y满足条件，则的范围是（ ）ABCD7已知圆C：，AB是圆C上的一条动弦，且，O为坐标原点，则的最小值为（ ）ABCD8已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，则C的渐近线为（ ）ABCD二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的2分，有选错的得0分）9下列说法中正确的有（ ）A在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为B直线的一个方
3、向向量为C若点和点关于直线对称，则D过点的直线l分别交x，y的正半轴于A，B，则面积的最小值为810甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）A事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件B事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件C事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件D事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件11如图所示，正方体的棱长为1，E、F、G分别为BC、的中点，则下列说法正确的是（ ）A直线与直线所成角的余弦值为B点到距离为C直线与平面AEF平行D三棱锥的体积为12已知，是椭圆C：的左右焦点，点M在C上，且，
4、则下列说法正确的是（ ）A的面积是B的内切圆的半径为CM的纵坐标为2D若点P是C上的一动点，则的最大值为6三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为_14已知空间向量，若，共面，则实数_15已知直线l：与x轴交于点M，圆O：，P为直线l上一动点，过P点引圆O的两条切线，切点分别为A，B，则点M到直线AB的距离最大值为_16已知椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：点变为；直线斜率k变为，对应直线的斜率比不变；图形面积S变为，对应图形面积比不变；点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依
5、然是中点，相切依然是相切等）过椭圆内一点作一直线与椭圆相交于C两点，则的面积的最大值为_四、解答题：（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题10分）已知直线l：，（1）证明：直线l过定点P，并求出P点的坐标；（2）直线l与坐标轴的分别交于点A，B，当截距相等时，求直线l的方程18（本小题12分）已知圆O：及点，动点P在圆O上运动，线段MP的中点为Q（1）求点Q的轨迹方程；（2）过点作直线l与Q的轨迹交于A，B两点，满足，求直线l的方程19（本小题12分）2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举
6、办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者现计划从第一组和第二组抽取的人中，再随机抽取2名作为组长求选出的两人来自不同组的概率若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四
7、组面试者所有人的方差20（本小题12分）已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上（1）求双曲线的标准方程（2）过点的直线l与双曲线相交于A，B两点；若A，B两点分别位于双曲线的两支上，求直线l的斜率的取值范围；若，求此时直线l的方程21（本小题12分）如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，E，F分别为，PC的中点（1）证明：；（2）若PC与AB所成角的正切值为，求二面角的大小22（本小题12分）已知椭圆C的方程为，其离心率为，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为（1）求椭圆C的方程；（2）过B作x轴的垂线交椭圆于点D试讨论直线AD
8、是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由求面积的最大值湖北省云学名校2023-2024学年高二上学期期中联考数学评分细则1A 解析：由题可得：当直线平行时，当时，两直线重合，故：，选A2A 解析：上半部分电路畅通的概率为：，下半部分电路畅通的概率为，上下两部分并联，畅通的概率为：，故选A3C解析：当弦AB在双曲线同一支上时，通径最短为3，当弦AB在双曲线的两支上时，长轴最短为4，在同一支上时有两条直线，在两支上时有一条直线，故C4C 解析：对于选项A，若，则与可能会相交或平行，故选项A错误；对于选项B，若，则m，n可能会平行、相交或异面，故选项B错误；对于选项C，若，且，根据线面垂
9、直可知，故选项C正确；对于选项D，若，则与可能会相交或平行，故选项D错误故选：B5D 解析：为左焦点，故选D6B解析：，由斜率的几何意义和变化情况，选择B7A 解析：设弦AB的中点为H，则，且，所以：，所以，点H在以C为圆心，1为半径的圆上，所以：故选A8A 解析：如图设，则，在中有勾股定理：，解得：，在中有勾股定理：解得：，所以，故选A9BC 解析：A选项中的直线不能表示截距为0的直线，故A选项错误B选项中的直线的一个方向向量为，与年行故B选项确C选项中AB被已知直线垂直平分，满足，即，故C选项正确D选项中直线l方程可设为：，过，所以：，故：，故D选项错误10AC 解析：显然，A选项正确，B
10、选项错误，C选项正确D选项中至少一人投6点的事件为M，则，甲投6点且乙没投得6点事件为N，则为，故D选项错误11ACD 解析：在棱长为1的正方体中，建立D以为原点，以DA，DC，所在的直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示，E、F、G分别为BC、，的中点，则、，A选项，故A正确B选项，、，点到AF距离为，故B错误，C选项，连接、，A、E、F四点共面，、，四边形为平行四边形，又平面AEF，平面AEF，平面AEF，故C正确，D选项，因为平面AEF，故D正确12ABD 解析：如图所示，令A选项，中的直线不能表示截距为，故A选项正确B选项，由，可得：，故B选项正确C选项，由，可得：，故C选项
11、错误D选项，故D选项正确13解析：当双曲线为时，当双曲线为时，综上：或14解析：由题可得：，故：，解得15解析：设，则过P点作圆的两条切线，切点AB弦的直线方程为，又因为：P在直线l上，故：，故：切点弦AB的直线恒过定点，点到直线AB的最大距离为16解析：，有仿射变换，椭圆方程变换为：，变换为，如图所示：所以：而：，所以：，即的最大面积为117解析：（1），变形为：所以：解得，所以直线l恒过定点（2）解法1：当截距为0时，即直线l过原点，设直线l方程为：，所以，此时直线l方程为：当截距不为0时，设直线l方程为：，直线过点，故：，此时直线l的方程为：综上：满足条件的直线l的方程为：或解法2：由题
12、意可得，且，令，得令，得，由题意得，或当时，直线l的方程为；当时，直线l的方程为18解析：（1）解法1：设，由中点坐标公式可得：解得：由于点P在圆O：上，所以：，代入可得：化简可得点Q的轨迹方程为：解法2：设线段OM的中点为N，连接NQQ为的中点，点Q的轨迹为以N为圆心，1为半径的圆，则点Q的轨迹方程为：（2）当k不存在时，直线l的方程为此时圆心Q到直线l的距离为所以：满足条件当k存在时，直线l的方程为，设圆心Q到直线l的距离为d则，所以：而Q到直线l的距离为，解得：此时直线l方程为：综上：满足条件的直线l的方程为：或，19解析：（1）由题意可知：，解得，可知每组的频率依次为，所以平均数等于，
13、因为，设第25百分位数为，则，解得，第25百分位数为63（2）根据分层抽样，和的频率比为，故在和中分别选取1人和5人，分别编号为A和1，2，3，4，5，则在这6人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有：，A5，12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共15个，即，记事件B“两人来自不同组”，则B包含的样本点有，共5个，即，所以设第二组、第四组的平均数与方差分别为，且两组频率之比为，成绩在第二组、第四组的平均数成绩在第二组、第四组的方差，故估计成绩在第二组、第四组的方差是20解析：（1）双曲线的渐近线为，可设双曲线的方程为：又点在双曲线上，所以：双曲线的方程为：（2）当k不存
14、在时，直线l交双曲线于左支上两点，不符合题意当k存在时，直线l的方程可设为：，设，联立双曲线方程：，由题：由，可得：当直线l与x轴重合时，此时，不满足条件；直线l的方程设为：，联立方程可得：，由，可得：代入上式可得：，解得：，故：此时直线l的方程为：或21解析：（1）因为，面面ABCD面ABCD，所以：面PAD面PAD，所以：（2）因为，所以又面面ABCD，面面ABCD所以面ABCD，面ABCD故：又：，故：四边形DEBC为平行四边形，故：以E原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，设，设异面直线AB与PC所成的角为，由题：，则，因为面ABCD，故：面ABE的法向量为设：面FBE的法向最为，取
