《2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷[含答案]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷[含答案]（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x+y12=0的倾斜角是()A. 4B. 2C. 34D. 32.已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则OB等于A. 5B. 34C. 41D. 5 23.长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为A. x29+y2=1B. x281+y29=1C. x29+y2=1或y281+x29=1D. y29+x2=1或x281+y29=14.已知方程x22+my2m+1=1表示双曲线，则m的取值范围为A. (2,1
2、)B. (,2)(1,+)C. (1,2)D. (,1)(2,+)5.在正四棱锥PABCD中，PA=4,AB=2,E是棱PD的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值是()A. 612B. 68C. 38D. 5 6246.已知椭圆C:x29+y25=1的右焦点为F,P是椭圆上任意一点，点A0,2 3，则APF的周长的最大值为A. 9+ 21B. 14C. 7+2 3+ 5D. 15+ 37.已知A(3,0),B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为A. 2 10B. 6C. 26D. 2 68.已知A,B两点的坐标分别是(
3、1,0),(1,0)，直线AM,BM相交于点M，且直线 AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为A. y=x2+1(x1)B. y=x2+1(x1)C. x=y2+1(y1)D. x=y2+1(y1)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知A(3,4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则a的值可取A. 13B. 13C. 79D. 7910.已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左右焦点分别为F1F2，过点F1的直线与C的左支相交于P,Q两点，若PQ
4、PF2，且4PQ=3PF2，则()A. PQ=4aB. 3PF1=PQC. 双曲线C的渐近线方程为y=2 23xD. 直线PQ的斜率为411.已知椭圆C1:x29+y25=1，将C1绕原点O沿逆时针方向旋转2得到椭圆C2，将C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆C3，动点P,Q在C1上，且直线PQ的斜率为12，则A. 顺次连接C1,C2的四个焦点构成一个正方形B. C3的面积为C1的4倍C. C3的方程为4x29+4y25=1D. 线段PQ的中点R始终在直线y=109x上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1:2x+y8
5、=0和l2:x3y+10=0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_.13.直线y=x2与抛物线y2=2x相交于A,B两点，则OAOB=_14.设F是双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若FOH的内切圆与x轴切于点B，且BF=OB，则C的离心率为_.四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在平面直角坐标系中，已知点A(1,0),B(1,0)，动点 P满足PAPB.(1)求动点P的轨迹方程；(2)将点A和点B并入点P的轨迹得曲线C，若过点Q(1,2)的直线l与曲线C有且
6、只有一个公共点，求直线l的方程16.(本小题12分)如图，在棱长为a的正方体OABCOABC中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF.(1)求证：AFCE;(2)当三棱锥BBEF的体积取得最大值时，求平面BEF与平面BEF的夹角正切值.17.(本小题12分)已知顶点为O的抛物线y2=12x的焦点为F，直线 l与抛物线交于A,B两点.(1)若直线l过点M(5,0)，且其倾斜角6,3,求SOAB的取值范围；(2)是否存在斜率为1的直线l，使得FAFB?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.18.(本小题12分)如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， AC为底面直径，ABD为
7、底面圆O的内接正三角形，且ABD的边长为 3，点 E在母线 PC上，且AE= 3,CE=1.(1)求证：直线PO/平面BDE;(2)若点M为线段PO上的动点，当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面ABE的距离.19.(本小题12分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率e= 22，点 O为坐标原点，点P,Q分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ的边PQ上的中线长为 32.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点H(2,0)的直线交椭圆于A,B两点，若AF1BF1，求直线 AB的方程；(3)直线l1,l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为12，设l
8、1和l2分别与椭圆交于点C,D和E，F.若M,N分别是线段CD和EF的中点，求OMN面积的最大值.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角【解答】解：因为直线x+y12=0的斜率是1，所以tan=1，它的倾斜角为34.故选：C.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间直角坐标系，考查空间向量的模，是基础题.结合题意可得到B的坐标，根据向量的模计算公式得到结果【解答】解：点B是A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，B点的坐标是(3,4,0)，|OB|= 32+42+02=5.故选A.3.【答案】C【解析】【分析
9、】本题考查椭圆的标准方程，分类讨论思想的应用，属于基础题根据题意分两种情况讨论，设椭圆方程的两种形式，然后根据题意求出结果【解答】解：当焦点在x轴上时，设其方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，由椭圆过点P(3,0)，知9a2+0b2=1，又a=3b，解得b2=1，a2=9，故椭圆的方程为x29+y2=1；当焦点在y轴上时，设其方程为y2a2+x2b2=1(ab0)，由椭圆过点P(3,0)，知0a2+9b2=1，又a=3b，联立解得a2=81，b2=9，故椭圆的方程为y281+x29=1；故椭圆的标准方程为：x29+y2=1或y281+x29=1.故选C.4.【答案】B【解析】【分析】本题考
10、查双曲线的概念及标准方程，属于基础题利用方程表示双曲线，列出不等式求解即可【解答】解：方程x22+my2m+1=1表示双曲线，可得(2+m)(m+1)0，解得m1，即m(,2)(1,+).故选B.5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查异面直线所成角的求法，属于中档题.建立，以O为原点，OB，OC，OP方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，由异面直线夹角向量法即可求解.【解答】解：由题意知，PA=4，AB=2，PO= 42 22= 14.设AC，BD交于点O，以O为原点，OB，OC，OP方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图，所以P(0
11、,0, 14)，A(0, 2,0)，C(0, 2,0)，D( 2,0,0)，E( 22,0, 142)，AE=( 22, 2, 142)，PC=(0, 2, 14)，所以cosAE,PC=( 22, 2, 142)0, 2, 14 64=5 624.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的性质及几何意义，属于中档题.利用椭圆定义及三角形两边之差小于第三边即可求解.【解答】解：如图所示，设椭圆的左焦点为F，|AF|= 22+(2 3)2=4=|AF|，|PF|+|PF|=2a=6.|PA|PF|AF|，APF的周长=|AF|+|PA|+|PF|=|AF|+|PA|+6|PF|4+6+4=14
12、，当且仅当A，F，P三点共线时取等号(点P位于图中的P处).APF周长的最大值等于14.故选B.7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对称问题，重点考查了两点的距离公式，属中档题由对称问题，结合两点的距离公式求解【解答】解：设P关于x轴的对称点为P1，PP1与x轴交于M，则P1的坐标为(0,2)，根据对称性，设P1关于直线AB对称的点为P2，P1P2与AB直线交点为N，根据对称性|P1N|=|NP2|，又直线AB的方程为x3+y3=1，即xy+3=0，设P(m,n)，则n+2m=1m+02n22+3=0，则m=5n=3，即P2(5,3)，故光线所经过的路程为|PM|+|MN|+|PN|=|P
13、1M|+|MN|+|PN|=|P1N|+|PN|=|P2N|+|PN|=|PP2|= (50)2+(32)2= 26.故选：C.8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查轨迹方程的求法，考查计算能力，注意斜率存在的条件，属于基础题设M(x,y)，先表示直线AM、BM的斜率，再利用斜率之差可得所求方程【解答】解：设M(x,y)，则kBM=yx1(x1)，kAM=yx+1(x1)，因为直线AM与直线BM的斜率之差是2，即kAMkBM=2，所以yx+1yx1=2，(x1)，整理得y=x2+1(x1)，故点M的轨迹方程为y=x2+1(x1).故选A.9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了点到直线的
14、距离公式的应用，属于基础题.利用点到直线的距离公式即可得出.【解答】两点A(3,4)，B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等，|3a4+1| a2+1=|6a+3+1| a2+1，化为|3a+3|=|6a+4|.6a+4=(3a+3)，解得a=79或13.故选AC.10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线，考查直线与双曲线的位置关系及其应用，双曲线的焦点三角形问题，属于中档题.根据给定条件，结合双曲线的定义求得|PF1|=2a3，|QF1|=4a3，再逐项计算判断即可.双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax，而双曲线y2a2x2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=abx(即x=bay)，应注意其区别与联系.【解答】解：由4PQ=3PF2，设PQ=3m，PF2=4m，由PQPF2，得QF2=5m，则PF1=4m2a，QF1=5m2a，而|PF1|+|QF1|=|PQ|，解得m=2a3，因此|PF1|=2a3，|QF
