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1、河北省张家口市尚义县20242025学年高二上学期10月阶段测试数学试卷一、单选题（本大题共2小题）1在空间直角坐标系中，点的坐标为，点关于平面对称的点是（）ABCD2已知，且与共线，则的坐标是（）ABCD二、多选题（本大题共1小题）3一组样本数据为6，11，12，16，17，19，31，则错误的选项为（）A该组数据的极差为25B该组数据的分位数为17C该组数据的平均数为16D若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等三、单选题（本大题共5小题）4在三棱柱中， （）ABCD5若空间中有三点，则点到平面的距离为（）ABCD6已知点，又点在平面内，则的值为（）A1B2C3D4
2、7如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，且，则CD的长等于（）ABCD8已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（）ABCD四、多选题（本大题共3小题）9下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是（）A若两个不重合的平面法向量平行，则这两个平面平行B若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行C两条不重合直线的方向向量分别是，则D直线的方向向量，平面的法向量是，则10下列说法正确的是（）A向量与向量共面B若与共面，则，使得C若是空间的一个基底，则能构成空间一个基底D若，则共面，反之不正确11棱长为1的正
3、方体中，点在棱CD上运动，点在侧面上运动，满足平面，则（）A点在侧面对角线上B点在侧面对角线上C线段PQ的最小值为D线段PQ的最小值为五、填空题（本大题共3小题）12已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为 .13如图，两个开关串联再与开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是能够闭合的概率为0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率为 .14空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则当变化时，直线与平面所成角的正弦值最大时，平面的方程为 .六、解答题（
4、本大题共5小题）15在第29个“世界读书日”到来之际，树人中学举办了读书知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取100名同学并将其成绩(百分制，均为整数)分成六组:第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组90,100，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值，并估计这100名学生成绩的第85百分位数（保留一位小数）；(2)若先用分层抽样方法从得分在和的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，调查其读书情况，求此2人得分不在同一组的概率.16如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且与的夹角都等于在棱PD上，设，.(1)试用表示向量；(2)求与的夹角.
5、17如图，在长方体中，.(1)证明：平面；(2)求到平面的距离.18如图1，等腰中，底分别为的中点，为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.(1)求证：平面；(2)为线段上靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值.19如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，且底面，点P、Q分别是棱的中点.(1)在底面内是否存在点，满足平面?若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由；(2)设平面交棱于点T，平面将四棱台分成上，下两部分，求与平面所成角的正弦值.参考答案1【答案】C【详解】在空间直角坐标系中，关于平面的对称点的特征为坐标不变，取相反数，因为点的坐标为，所以点关于平面对
6、称的点是.故选：C.2【答案】B【详解】因为，且与共线，所以，解得，所以.故选：B.3【答案】ACD【详解】对于A，根据极差定义，该组数据的极差为，故A正确；对于B，因为，所以该组数据的分位数为，故B错误；对于C，该组数据的平均数为，故C正确；对于D，若该组数据去掉得到一组新数据，则新数据6，11，12， 17，19，31的平均数为，所以这两组数据的平均数相等，故D正确.故选：ACD.4【答案】C【详解】如图所示根据题意知又因三棱柱，所以可知平面都是矩形，则，所以，根据向量的平行四边形法则可得故选：C5【答案】D【详解】，设平面的一个法向量为，由得，令得，所以，则点到平面的距离为.故选：D.6
7、【答案】C【详解】，由于，所以三点不共线，可得， 即可得，解得.故选：C.7【答案】A【详解】由二面角的平面角的定义知向量，所以，得，由得，因为，所以，可得.故选：A.8【答案】A【详解】由题意知，平面，平面，所以，又，故以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则，得所以，记，则，所以F到直线BC的距离为.故选：A9【答案】ABC【详解】解：对于A，因为两个不重合的平面法向量平行，则其中一个平面的法向量也垂直于另一个平面，即可得一平面的法向量垂直于两个不同平面，所以这两个平面平行，故正确；对于B，因为两直线的方向向量不平行，所以这两直线不平行，故正确；对于C，因为，所以，所以，故
8、正确；对于D，因为，所以，所以，所以或，故错误.故选：ABC.10【答案】AB【详解】对于A，令，则，解得，可得，故A正确；对于B，若与共面，则，使得，故B正确；对于C，因为是空间的一个基底，所以不共面，假设共面，则存在实数，使得，即，解得，所以假设成立，所以不能构成空间一个基底，故C错误；对于D，若，则共面，反之也正确，故D错误.故选：AB.11【答案】BD【详解】如图建立以为坐标原点空间直角坐标系，设，则，所以因为平面，所以，可得，由可知点在侧面对角线上，故A错误，B正确；，可得，所以，故当时，故D正确.故选：BD.12【答案】【详解】由题意可知，根据点到平面的距离为.故答案为：13【答案
9、】0.775/【详解】由题意，开关在某段时间均正常工作的概率，开关在某段时间正常工作的概率，这段时间内线路正常工作的概率为：.故答案为：0.775.14【答案】【详解】由题设知：平面的法向量，直线的方向向量，且平面与直线相交于，所以直线与平面所成角的正弦值为，对于二次函数，其是图象一条开口向上的抛物线，对称轴为，当时，函数取到最小值，且最小值为，此时直线l与平面所成角的正弦值取到最大值，最大值为，对应平面的方程为.故答案为：.15【答案】(1)，(2)【详解】（1）由频率分布直方图可得：，解得；因为成绩在的频率为，所以，第百分位数位于，设其为，则，解得，所以，第百分位数约为.（2）由频率分布直
10、方图可知：得分在和内的频率分别为0.04和0.06，采用分层抽样知，抽取的5人，在内的人数为2人，在内的人数为3人，设分数在 40，50 )内的2人为，分数在 50，60 )内的3人为，则在这5人中抽取2人的情况有：，共有10种情况，其中得分不在同一组的2人有：，有6种情况，所以概率为.16【答案】(1)(2)【详解】（1）；（2）因为，所以，所以，因为，所以与的夹角为.17【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在长方体中，以D为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，所以，又因，平面，平面，所以平面；（2）设平面的法向量为n=x,y,z，到平面的距离为，由，所以，令，可求得
11、则，所以.18【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面；（2）如图，由（1）知平面，取的中点，连接，则，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为，所以，可得，由得，则，设n=x,y,z为平面的一个法向量，则，即，令，则，所以，为平面的一个法向量，所以，由图可得平面与平面夹角的余弦值为.19【答案】(1)存在点(2)【详解】（1）因底面，且是正方形，故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.则因点P、Q分别是棱的中点，则, ,假设在底面内存在点，使得平面，则则由，解得，故存在点，满足平面；（2）按照（1）建系，设点，依题意，四点共面，故必有,即，则得，解得，即，又,设平面的法向量为，则，故可取.因，设与平面所成角为，则.即与平面所成角的正弦值为.
