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1、2024-2025学年度高一上学期期中考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式，分析函数的单调性，进而可将转化为：或，解得答案【详解】函数，函数在，上为减函数，在(0,+)上函数值保持不变，若，则或，解得：，故选：【点睛】本题主要考查的知识点是分段函数的解析式、单调性，函数单调性的应用，难度中档2. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x应为（ ）A. 10 mB
2、. 15 mC. 20 mD. 25 m【答案】C【解析】【分析】设出矩形花园的宽为y m，根据相似得到方程，求出，从而表达出矩形花园的面积，配方求出最大值，并得到相应的.【详解】设矩形花园的宽为ym，则，即，矩形花园的面积，其中，故当m时，面积最大.故选：C3. 若是定义在R上的单调递增函数，则下列四个命题中正确的有（1）若，则；（2）若，则；（3）若是奇函数，则也是奇函数；（4）若是奇函数，则A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】A【解析】【分析】利用单调性判断；利用单调性与反证法判断；利用奇偶性的定义判断;利用奇偶性以及单调性判断.【详解】对于,是定义在R上的单调递增函数,若,
3、则,故正确;对于,当时,若,由是定义在R上的单调递增函数得与已知矛盾,故正确;对于,若是奇函数,则,也是奇函数,故正确;对于,当是奇函数,且是定义在R上的单调递增函数时,若,则,若,故正确;故选A.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.4. 已知实数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用一元二
4、次方程有解，可得判别式大于等于零可求解.【详解】由题意知，关于x的一元二次方程有解，则，即，解得或.所以的取值范围是.故选：C.5. 设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】用赋值法，取不同的x与y代入，可排除A、C、D.【详解】对于A，当时，满足，但命题不成立；对于C，D，当时，满足，但命题不成立.故选：B.6. 当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据恒成立问题结合二次函数最值分析求解.【详解】记，则而，当时，所以实数a的取值范围是.故选C7. 已知函数是上的奇函数，对
5、任意的，设，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】确定数在上单调递增，是上的偶数，变换得到，根据单调性得到答案.【详解】，即，故函数在上单调递增，是上的奇函数，故是上的偶数，.，故.故选：A8. 若定义在上的函数同时满足：为奇函数；对任意的，且，都有，则称函数具有性质已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数，由题意可以推出函数的奇偶性、单调性，然后对进行分类讨论解不等式即可.【详解】因为对任意的，且，都有，即对任意两个不相等的正实数不妨设，都有，所以有，所以函数是上的减函数，又因为为奇函数，即有
6、，有，所以有，所以为偶函数，所以在上单调递增当，即时，有,由，得，所以，解得，此时无解；当，即时，由，得，所以，解得或综上所述，不等式的解集为故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数，并结合已知导出其函数性质，从而分类讨论解不等式即可.二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9. 设函数的定义域为，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”.若给定函数，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】结合“界函数”的定
7、义可确定函数解析式，再结合分段函数性质可得函数值，进而判断各选项.【详解】因为，令，即，解得，则，A选项：，即，A选项正确；B选项：，即，B选项错误；C选项：，即，C选项正确；D选项：，即， D选项正确；故选：ACD.10. 以数学家约翰卡尔弗里德里希高斯的名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数，例如，则（ ）A. ，B. 不等式的解集为C. 当，的最小值为D. 方程的解集为【答案】AB【解析】【分析】设的整数部分为，小数部分为，则，则得到A正确，解不等式得到，计算B正确，均值不等式等号条件不成立，C错误，举反例得到D错误，得到答案.【详解】对选项A：设的整数部分为，小数部分为，
8、则，的整数部分为，故，正确；对选项B：，则，故，正确；对选项C：，当且仅当，即时成立，不成立，故等号不成立，错误；对选项D：取，则，代入验证成立，错误；故选：AB11. 若存在常数k和b使得函数和分别对其定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，若使直线为函数和之间的隔离直线，则实数b的取值可以为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 5【答案】BC【解析】【分析】根据题意得到，计算得到一个范围，再根据双勾函数的单调性得到函数的最大值，综合得到答案.【详解】，即恒成立，故，解得；，即，函数在上单调递增，在上单调递减，故，故.综上所述：.故选：BC.（2023浙江
9、省余姚中学期中）12. 已知，则（ ）A. 的最大值为B. 的最小值为4C. 的最小值为D. 的最小值为16【答案】BCD【解析】【分析】A选项，对不等式变形为，利用基本不等式得到，求出的最大值；B选项，将不等式变形为，利用基本不等式得到，求出的最小值；C选项，对不等式变形为，利用求解的最小值；D选项，不等式变形为，利用基本不等式求出和的最小值.【详解】由得：，因为，所以，所以，由基本不等式可得：当且仅当时，等号成立，此时，解得：或，因为，所以舍去，故的最大值为2，A错误；由得：，因为，所以，所以，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，即，解得：或，因为，所以舍去，故的最小值为4，B正确；由
10、变形为，则，由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，此时，令，则由，解得：或（舍去）所以的最小值为，C正确；由可得：，从而当且仅当时，即，等号成立，故最小值为16.故选：BCD，三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知实数，且，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用可得，根据和基本不等式求出的最小值，从而可得解.【详解】根据题意得到，变形为，则,因为，故得到,当且仅当时等号成立.故故答案为：.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题14. 若关于的一元二次方程没有实数解，则不等式的解集_【答案】【解析】【详解】试题分析：因为关于的一元二次方程没有实数解，所
11、以，可得，故答案为考点：1、一元二次方程根与系数的关系；2、不等式的性质15. 若，则的最小值为_.【答案】4【解析】【详解】 ，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.16. 若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值为，最小值为，则_，的值为_【答案】 . 2023 . 4046
12、【解析】【分析】根据题意，取特殊点，结合单调性的定义，可得答案.【详解】对于任意的，都有，令，得，再令，将代入可得，设，则，又，可得，即函数是严格增函数，又，的值为4046故答案为：2023；4046四、解答题：写出必要的文字描述、解题过程.共6题.17. 经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到）（2）为保证在该时段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？【答案】（1）当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约千辆/小时； （2）汽车的平均
13、速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）.【解析】【分析】（1）利用基本不等式可求得的最大值，及其对应的值，即可得出结论；（2）解不等式即可得解.【小问1详解】解：，（千辆/小时），当且仅当时，即当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时.【小问2详解】解：据题意有，即，即，解得，所以汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）.18. （1）若，求的取值范围；（2）若（），求关于的不等式的解集.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）对分两种情况讨论，结合二次函数的图像和性质求出的取值范围；（2）原不等式等价于.再对分类讨论解不等式得解.【详解】（1）当时，不等
14、式可化为，显然在R上不恒成立，所以.当时，则有解得.故的取值范围为.（2）等价于.当时，原不等式的解集为,1.当时，原不等式的解集为.当时，.若，原不等式的解集为R；若，原不等式的解集为；若，原不等式的解集为.【点睛】本题主要考查二次型不等式的恒成立问题，考查解二次型的不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19. 已知关于的不等式的解集为，试求关于的不等式的解集【答案】或x1【解析】【分析】由题意可知，关于的方程的两个根为、，利用韦达定理可求得、的值，进而可求得不等式的解集.【详解】由题意可知，关于的方程的两个根为、，由韦达定理得，即，所以，不等式，即，解得或.因此，不等式的解集为或x1【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，同时也考查了利用一元二次不等式的解集求参数，考查计算能力，属于基础题.20. 已知函数.（1）用分段函数的形式表示函数f(x)；（2
