《湖南省三湘名校教育联盟2025学年数学高二上期末检测试题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省三湘名校教育联盟2025学年数学高二上期末检测试题含解析（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、湖南省三湘名校教育联盟2025学年数学高二上期末检测试题注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1记等差数列的前n项和为，若，则等于（ ）A.5B.31C.38D.412设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）A.6B.8C.9D.103音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三
2、分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“微”，“微”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”依此规律损益交替变化，获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（ ）A.“商”“羽”“角”的频率成公比为的等比数列B.“宫”“微”“商”的频率成公比为的等比数列C.“宫”“商”“角”的频率成公比为的等比数列D.“角”“商”“宫”的频率成公比为的等比数列4过点且斜率为的直线方程为（ ）A.B.C D.5已知且，则下列不等式恒成立的是A.B.C.D.6已知事件A，B相互独立，则（）A.0.24B.0.8C.0.3D.0.167双曲线的左、右焦点分别为、，点
3、P在双曲线右支上，则C的离心率为（）A.B.2C.D.8经过点A(0，3)且斜率为2的直线方程为（）A.B.C.D.9若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（）A.B.C.D.10焦点坐标为（1，0）抛物线的标准方程是（）A.y2=-4xB.y2=4xC.x2=-4yD.x2=4y11已知圆和椭圆直线与圆交于、两点，与椭圆交于、两点若时，的取值范围是，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.12已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则符合题意的直线的条数共有（）A.4条B.3条C.2条D.1条二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13过直线上一动点P作圆的两条切线，切点分别为
4、A，B，则四边形PACB面积的最小值为_14过点，且周长最小的圆的标准方程为_15点到直线的距离为_.16高二某位同学参加物理、政治科目的学考，已知这位同学在物理、政治科目考试中得A的概率分别为、，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知抛物线上一点到其焦点F的距离为2.（1）求拋物线方程；（2）直线与拋物线相交于两点，求的长.18（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，证明19（12分）已知数列是等差数列，其前n项和为，数列满足(且)，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n
5、项和.20（12分）已知抛物线：上的点到其准线的距离为5.（1）求抛物线的方程；（2）已知为原点，点在抛物线上，若的面积为6，求点的坐标.21（12分）如图，在正四棱锥中，为底面中心，为中点，（1）求证：平面；（2）求：（）直线到平面的距离；（）求直线与平面所成角的正弦值22（10分）已知定义域为的函数是奇函数，其中为指数函数且的图象过点（1）求的表达式；（2）若对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围；参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设等差数列的公差为d，首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案.【详解
6、】解：设等差数列的公差为d，由题知：，解得.故选：A.2、A【解析】计算抛物线的准线，根据距离结合抛物线的定义得到答案.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，到轴的距离是4，故到准线的距离是，故点到该抛物线焦点的距离是.故选：A.3、C【解析】根据文化知识，分别求出相对应的频率，即可判断出结果【详解】设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，且公比为，故选：C【点睛】本题考查等比数
7、列的定义，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题4、B【解析】利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】由题意可知所求直线的方程为，即.故选：B.5、C【解析】且，选C6、B【解析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解.【详解】因为事件A，B相互独立，所以，所以故选：B7、C【解析】由，所以为直角三角形，根据双曲线的定义结合勾股定理可得答案.【详解】由，所以为直角三角形.,根据双曲线的定义可得所以，即，即，所以故选：C8、A【解析】直接代入点斜式方程求解即可详解】因为直线经过点且斜率为2，所以直线的方程为，即，故选：9、A【解析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹
8、方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且84，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，所以，所以椭圆方程为.故选：A10、B【解析】由题意设抛物线方程为y2=2px（p0），结合焦点坐标求得p，则答案可求【详解】由题意可设抛物线方程为y2=2px（p0），由焦点坐标为（1，0），得，即p=2抛物的标准方程是y2=4x故选B【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题11、C【解析】由题设，根据圆与椭圆的对称性，假设在第一象限可得，结合已知有，进
9、而求椭圆的离心率.【详解】由题设，圆与椭圆的如下图示：又时，的取值范围是，结合圆与椭圆的对称性，不妨假设在第一象限，从0逐渐增大至无穷大时，故，故选：C.12、A【解析】利用双曲线渐近线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】解：双曲线的渐近线方程为，右顶点为.直线与双曲线只有一个公共点；过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点；设过的切线方程为与双曲线联立，可得，由，即，解得，直线的条数为1.综上可得，直线的条数为4.故选：A,.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】当圆心与点的距离最小时，切线长，最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂
10、线段.然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可.【详解】解：根据题意可知：当圆心与点的距离最小时，切线长，最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段.圆心到直线的距离为四边形面积的最小值为故答案为：14、【解析】方法一：根据当线段为圆的直径时，圆周长最小，由线段的中点为圆心，其长一半为半径求解； 方法二：根据当线段为圆的直径时，圆周长最小，根据以AB为直径的圆的方程求解.【详解】方法一：当线段为圆的直径时，过点，的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段的中点，半径则所求圆的标准方程为方法二：当线段为圆的直径时，过点，的圆的半径最小，从而周
11、长最小又，故所求圆的方程为，整理得，所以所求圆的标准方程为15、【解析】利用点到直线的距离公式即可得出【详解】利用点到直线的距离可得：故答案为:16、【解析】根据给定条件利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.【详解】依题意，这位考生至少得1个A对立事件为物理、政治科目考试都没有得A，其概率为，所以这位考生至少得1个A的概率为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据抛物线焦半径公式即可得解；（2）联立方程组求出交点坐标，即可得到弦长.【小问1详解】由题：抛物线上一点到其焦点F的距离为2，即，所以抛物线方程：【小问2详解
12、】联立直线和得，解得，18、（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】（1）求导得，进而分和两种情况讨论求解即可；（2）根据题意证明，进而令，再结合（1）得，研究函数的性质得，进而得时， ，即不等式成立.【小问1详解】解：函数的定义域为， ，当时，在上恒成立，故函数在区间上单调递增；当时，由得，由得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】证明：因为时，证明，只需证明，由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；所以.令，则，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以.所以时， ，所以当时，19、（
13、1），；（2）.【解析】(1)根据，列方程组即可求解数列的通项公式，根据可求数列的通项公式；(2)化简，利用裂项相消法求该数列前n项和.【小问1详解】设等差数列公差为d，公差，.由得，即，数列是首项为，公比为2的等比数列，；【小问2详解】，.20、（1）（2）或【解析】（1）结合抛物线的定义求得，由此求得抛物线的方程.（2）设，根据三角形的面积列方程，求得的值，进而求得点的坐标.【小问1详解】由抛物线的方程可得其准线方程，依抛物线的性质得，解得.抛物线的方程为.【小问2详解】将代入，得.所以，直线的方程为，即.设，则点到直线的距离，又，由题意得，解得或.点的坐标是或.21、（1）证明见解析；（
14、2）（i）；（ii）.【解析】（1）连接，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）（i）利用空间向量法可求得直线到平面的距离；（ii）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】证明：连接，则为的中点，且，在正四棱锥中，平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示空间直角坐标系，则、，设平面的法向量为，则，取，则，因为，则，又因为平面，所以，平面.【小问2详解】解：（i），所以，直线到平面的距离为.（ii），则，因此，直线与平面所成角的正弦值为.22、（1）；（2）.【解析】（1）设（且），因为的图象过点，求得a的值，再根据函数f(x)是奇函数，利用f(0)=0即可求得n的值，得到f(x)的解析式，检验是奇函数即可；（2）将分式分离常数后，利用指数函数的性质可以判定f(x)在R上单调递减，进而结合奇函数的性质将不等式转化为二次不等式，根据二次函数的图象和性质，求得对于对任意的恒成立
