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1、一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.1.定义定义: :2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :3.3.和函数和函数: :二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义: :2.2.收敛性收敛性: :证明证明由由(1)结论结论几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域推论推论定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.收敛收敛区间可以是下列四种情形之一区间可以是下列四种情形之一:规定规定则则这个幂级数的收敛半径为这个幂级数的收敛半径为证明证明由比值审敛法
2、由比值审敛法,定理证毕定理证毕.例例2 2 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:解解缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项级数收敛级数收敛,级数发散级数发散,级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛区间为原级数的收敛区间为三、幂级数的运算三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质: :(1) 加减法加减法(其中其中(2) 乘法乘法(其中其中柯柯西西乘乘积积2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: : 注意注意:如果收敛区间包含端点如果收敛区间包含端点,则和函数在区间则和函数在区间的端点处单侧连续的端点处单侧连续.逐项积分后所得的幂级数与原级数有相同的收逐项积分后所得的幂
3、级数与原级数有相同的收敛半径敛半径.逐项求导后所得的幂级数与原级数有相同的收逐项求导后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径敛半径.解解两边积分得两边积分得解解收敛区间收敛区间(-1,1),常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数四、小结四、小结2.幂级数的收敛性幂级数的收敛性:收敛半径收敛半径R3.幂级数的运算幂级数的运算:分析运算性质分析运算性质1.函数项级数的概念函数项级数的概念:思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？么它的收敛域是否也不变？思考题解答思考题解答不一定不一定.例例它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是练练 习习 题题练习题答案练习题答案
