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1、第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容主要内容:一、一、 弧微分弧微分 二、二、 曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率 第三三章 一、一、 弧微弧微分分设在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,弧长机动 目录 上页 下页 返回 结束 则弧长微分公式为或几何意义几何意义:若曲线由参数方程表示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为对应切线定义弧段 上的平均曲率点 M 处的曲率注意注意: 直线上任意点
2、处的曲率为 0 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为例例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率曲率K 的计算公式的计算公式二阶可导,设曲线弧则由机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: (1) 若曲线由参数方程给出, 则(2) 若曲线方程为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放暂停说明说明:铁路转弯时为保证行车
3、平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须连续变化 , 因此铁道的曲率应连续变化 . 例例2. 我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且 l R. 处的曲率.其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:显然例例3. 求椭圆在何处曲率最大?解解:故曲率为K 最大最小机动 目录 上页 下页 返回 结束 求驻点: 设从而 K 取最大值 .这说明椭圆在点处曲率机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算驻点处的函数值:最大.三、三、 曲率
4、圆与曲率半径曲率圆与曲率半径设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ) ,R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使机动 目录 上页 下页 返回 结束 设曲线方程为且求曲线上点M 处的曲率半径及曲率中心设点M 处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此可得曲率中心公式(注意与异号 )当点 M (x , y) 沿曲线 移动
5、时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线渐屈线 ,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线渐伸线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停例例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为由例3可知, 椭圆在处曲率最大 ,即曲率半径最小, 且为显然, 砂轮半径不超过时, 才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.例3 目录 上页 下页 返回 结束 ( 仍为摆线 )例例5. 求摆线的渐屈线方程 . 解解:代入曲率中心公式 , 得摆线 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 弧长微分或2. 曲率公式3. 曲率圆曲率半径曲率中心机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答答: 有公切线 ;凹向一致 ;曲率相同.2. 求双曲线的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?解解:则利用机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业第八节 目录 上页 下页 返回 结束 P175 4 ； 5 ； 7 ； 8 ； 9
