《数列通项公式的求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列通项公式的求法（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、等差数列与差比数列的通项公式类型一：等差数列与等比数列的通项：公式 练习：类型二：类等差（比）数列,方法：累加(乘)一、若数列有形如an1anf(n)的解析式，而f(1)f(2)f(n)的和是可求的，则可用多式累(迭)加法求得an. (_年厦门质检)已知数列an中，a120，an1an2n1，nN*，则数列an的通项公式an_.解析：由条件an1an2n1，nN*，即an1an2n1，得a2a11，a3a23，a4a35，an1an22n5，anan12n3，以上n1个式子相加并化简，得ana1(n1)2n22n21.答案：n22n21变式探究变式探究1已知数列an中，a11，an1an2n，
2、求an.解析：当n2时， a2a12，a3a222，a4a323，anan12n1.将这n1个式子累加起来可得ana12222n1，ana12222n112222n12n1.当n1时，a1适合上式，故an2n1.二、若数列有形如anf(n)an1的解析关系，而f(1)f(2)f(n)的积是可求的，则可用多式累(迭)乘法求得an. 设an的首项为1的正项数列，且 n an1an0，求它的通项公式解析：由题意a11 , an0，(n1,2,3，)，方法二:练习由整理得再用累乘法 也可以练习类型五：待定系数法求数列的通项：则可考虑待定系数法设 构造新的辅助数列 是首项为 公比为q的等比数列，求出 ,
3、再进一步求通项 若数列有形如anpan1q(n2，p，q为常数，pq0，p1)的线性递推关系，则可用待定系数法求得an.具体思路：设递推式可化为an1Ap(anA)， 得an1pan(p1)A，与已知递推式比较，解得A ，故可将递推式化为an p（an-1+ ），构造数列bn，其中bnan ， 则bn1pbn，即 p，所以bn为等比数列故可求出bnf(n)，再将bnan 代入即可得an. 已知数列an中，a11，an1 an1，求an.解析：解法一：数列bn为等比数列，又a132，点评：(1)注意数列解题中的换元思想的运用，如bnan3.(2)对数列递推式an1panq，我们通常将其化为 p
4、，设bnanA，构造数列bn为等比数列， 练习四、递推式如anpan1rqn(n2，pqr0，p，q，r为常数)型的通项的求法具体思路：1.等式两边同除以qn， 已知数列an满足an4an12n(n2，nN*)，且a12.求an.解析：解法一： an4an12n , 解法二： an4an12n，令an2n4(an12n1)，(n2)，得an4an12n，与已知递推式比较得1，an2n4 ，又a12214，an2n是首项为4，公比为4的等比数列an2n44n1，an4n2n22n2n.练习变式探究变式探究5(_年盐城模拟)在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*)，其中0.求数列a
5、n的通项公式解析：由an1ann1(2)2n(nN*)，0，得an1ann12n12n，所以数列an的通项公式为an(n1)n2n.五、递推式如anpan1qnr(n2，pq0，p，q为常数)型数列的通项求法具体思路：等价转化为anxnyp(an1x(n1)y)，再化为anpan1(p1)xn(p1)y，比较对应系数，解出x，y，进而转化为例3的数列 (_年济宁模拟)已知数列an中，a1 ，点(n,2an1an)在直线yx上，其中n1,2,3，.求数列an的通项解析：点(n,2an1an)在直线yx上，2an1ann.令an1x(n1)y (annxy)，可化为2an1anxn2xy0与比较系
6、数得x1，y2. 可化为an1(n1)2 (ann2)，变式探究变式探究6(_年丰台区模拟)在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)设bnann，求数列 的通项；(2)求数列an的前n项和Sn.解析：(1)由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.bnann，bn1an1(n1)，bn14bn.又b1a111，所以数列 是首项为1，且公比为4的等比数列bn4n1.(2)由(1)可知ann4n1，于是数列an的通项公式为an4n1n.七、倒数法求通项(1)对于递推式如an1panqan1an(p，q为常数，pq0)型的数列，求其通项公式具体思路：两端除以an
7、1an得： p q，若p1，则构成以首项为 ，公差为q的等差数列 ；若p1,转化为例3求解 (_年保定摸底)已知数列an满足a11，n2时，an1an2an1an，求通项公式an.解析：an1an2an1an，变式探究变式探究答案：an(2)若数列an有形如an1 的关系，求其通项的具体思路是：取倒数后得 ，即化为例3的数列，求出 ，再求得an. 设数列an满足a12，an1 (nN*)，求an.解析：由an1取倒数，类型六：特征根法求数列通。（条件：若的相邻两项关系式可化为可用这种方法；(其中方程该数列的特征根）的根称为（一）有两特根与，可令构造等比数列，则可进而求出等比数列通项公式求出特征
8、根为0与1略解：依题意可得该数列特征根为0与1练习(改编)构造辅助数列 ,分析（二）有一根时,可令 易得 是等差数列，求进而求出唯一特征根1解：依题意可得该数列有惟一特征根为1该题也可以先求出前几项，再猜想归纳出其通项，但要特别注意要用数学归纳法证明。练习（三）没有特征根，则可由递推关系式得出若干项可判断是周期数列（题型）若数列相邻三项的关系可化为 且方程 有解，则可用待定系数法设 公比的辅助等比数列 构造新的以y为 ，转化相邻两项处理； 若 有两组值，也可得到两个等比数列，分别求其通项, 再由方程组求出 两种情况一起考虑，即累加方程思想分别得到：由得练习【解析】（1）由求根公式，不妨设 递推式如递推式如的数列通项的求法的数列通项的求法【具体思路具体思路】 若p=1，则等式两边取常用对数或自然对数，化为： ，得到首项为 ，公比为r的等比数列 ，所以 = ，得 若p1，则等式两边取以p为底的对数得： 转化为题型三求通项。 （11年石家庄市模拟年石家庄市模拟）若数列an中， 且 ，则数列的通项公式为_ 【解析】 及 知 两边取常用对数得： 是以首项为 ，公比为2的 等比数列。 其他方法：有构造常数数列，取对数（注意真数大于零），取倒数，归纳法（注意要用数学归纳法证明）左边能否因式分式？累乘法特征根法
