高中理科数学解题方法篇排列组合ppt课件

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1、1 1、根本概念和考点、根本概念和考点、根本概念和考点、根本概念和考点2、合理分类和准确分步、合理分类和准确分步3 3、特殊元素和特殊位置、特殊元素和特殊位置、特殊元素和特殊位置、特殊元素和特殊位置问题问题4 4、相、相、相、相邻邻相相相相间问题间问题5、定序问题、定序问题6、分房问题、分房问题7、环排、多排问题、环排、多排问题1212、小集、小集、小集、小集团问题团问题10、先选后排问题、先选后排问题9 9、平均分组问题、平均分组问题11、构造模型战略、构造模型战略8、实验法枚举法、实验法枚举法13、其它特殊方法、其它特殊方法陈列组合运用题解法综述目录陈列组合运用题解法综述目录陈列组合运用题

2、解法综述 计数数问题中中陈列列组合合问题是最常是最常见的，的，由于其解法往往是构造性的由于其解法往往是构造性的, , 因此方法灵敏因此方法灵敏多多样, , 不同解法不同解法导致致问题难易易变化也化也较大，大，而且解而且解题过程出程出现“反复和反复和“脱漏的脱漏的错误较难自自检发现。因此。因此对这类问题归纳总结，并把握一些常并把握一些常见解解题模型是必要的。模型是必要的。前往目录前往目录基基本本原原理理组合合陈列列陈列数公式列数公式组合数公式合数公式组合数性合数性质应用用问题 知知识构造网构造网络图：前往目录前往目录 名称名称内容内容分类原理分类原理分步原理分步原理定定义义相同相同点点不同不同点

3、点两个原理的区别与联络：两个原理的区别与联络：做一件事或完成一做一件事或完成一项任任务的方法数的方法数直接分直接分类完成完成间接分步接分步骤完成完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类方法，方法，第一第一类方法中有方法中有m1种不同的方法，种不同的方法，第二第二类方法中有方法中有m2种不同的方法种不同的方法，第第n类方法中有方法中有mn种不同的方法，种不同的方法， 那么完成那么完成这件事共有件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法种不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n个步个步骤，做第一步中有做第一步中有m1种不同的方法，种不同的方法，做第二步中有做第二

4、步中有m2种不同的方法种不同的方法，做第做第n步中有步中有mn种不同的方法，种不同的方法， 那么完成那么完成这件事共有件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法种不同的方法.回目录回目录1. 1.陈列和组合的区别和联络：陈列和组合的区别和联络：名名称称排排列列组组合合定义定义种数种数符号符号计算计算公式公式关系关系性质性质 ，从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，按一定的素，按一定的顺序排成一列序排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，把它并成一素，把它并成一组一切一切陈列的的个数列的的个数一切一切组合的个数合的个数回目录回目录2.掌握掌握处理理陈列列组合合

5、问题的常用的常用战略略;能运能运 用解用解题战略略处理理简单的的综合运用合运用题。提高。提高学生学生处理理问题分析分析问题的才干。的才干。 3.学会运用数学思想和方法学会运用数学思想和方法处理理陈列列组合合问题.教学目的教学目的1.进一步了解和运用分步计数原理和分类计数原理。前往目录前往目录完成一件事，有完成一件事，有n类方法，在第方法，在第1类方法中有方法中有m1种不同的方法，种不同的方法，在第在第2类方法中有方法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类方法中有方法中有mn种不种不同的方法，那么完成同的方法，那么完成这件事共有：件事共有：种不同的方法种不同的方法1.1.分分类计数原

6、理数原理( (加法原理加法原理) )前往目录前往目录 完成一件事，需求分成完成一件事，需求分成n个步个步骤，做第，做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2 种不种不同的方法，同的方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成那么完成这件事共有：件事共有：种不同的方法种不同的方法2.分步计数原理乘法原理 分步分步计数原理各步相互依存，每步中的数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事段，不能完成整个事件件3.分类计数原理分步计数原理区别 分分类计数原理方法相互独立，任何一种数原理方法相互独立，任何一种方法都

7、可以独立地完成方法都可以独立地完成这件事。件事。前往目录前往目录1、某校组织学生分、某校组织学生分4个组从个组从3处风景点中选一处风景点中选一处去春游处去春游,那么不同的春游方案的种数是那么不同的春游方案的种数是 A. B. C. D. C回目录回目录2、将数字、将数字1、2、3、4 填入标号为填入标号为1、2、3、4 的的四个方格里四个方格里 , 每格填一个数字，那么每个方格的每格填一个数字，那么每个方格的标号与所填的数字都不一样的填法共有标号与所填的数字都不一样的填法共有 。 A. 6 种种 B. 9种种 C.11种种 D.23种种 331= 9. 可用框可用框图详细填写填写 B考点分析考

8、点分析 从从 看：高考对这部分的要求还是比看：高考对这部分的要求还是比较高的较高的. .要注重两个计数原理、陈列、组合在处理实要注重两个计数原理、陈列、组合在处理实践问题上的运用践问题上的运用. .值得提示地是：计数模型不一定是值得提示地是：计数模型不一定是陈列或组合陈列或组合. .画一画，数一数，算一算，是根本的计画一画，数一数，算一算，是根本的计数方法，不可废弃数方法，不可废弃. . 例例20192019年新课程卷年新课程卷 某赛季足球竞赛的计分规那某赛季足球竞赛的计分规那么是：胜一场，得么是：胜一场，得3 3分；平一场，得分；平一场，得1 1分；负一场，得分；负一场，得0 0分分. .一

9、球队打完一球队打完1515场，积场，积3333分分. .假设不思索顺序，该假设不思索顺序，该队胜、负、平的情况共有：队胜、负、平的情况共有： A 3 A 3种种 B 4 B 4种种 C 5 C 5种种 D 6 D 6种种. .回目录回目录处理理陈列列组合合综合性合性问题的普的普经过程如下程如下:1.仔仔细审题弄清要做什么事弄清要做什么事2.怎怎样做才干完成所要做的事做才干完成所要做的事,即采取分步即采取分步还 是分是分类,或是分步与分或是分步与分类同同时进展展,确定分多确定分多 少步及多少少步及多少类。3.确定每一步或每一确定每一步或每一类是是陈列列问题(有序有序)还是是 组合合(无序无序)问

10、题,元素元素总数是多少及取出多数是多少及取出多 少个元素少个元素.处理理陈列列组合合综合性合性问题，往往，往往类与步交与步交 叉，因此必需掌握一些常用的解叉，因此必需掌握一些常用的解题战略略回目录回目录判判别以下以下问题是是组合合问题还是是陈列列问题?(1)设集合集合A=a,b,c,d,e，那么集合，那么集合A的含有的含有3个元素的子集有多少个个元素的子集有多少个?(2)某某铁道路上有道路上有5个个车站，那么站，那么这条条铁道路上道路上共需共需预备多少种多少种车票票?有多少种不同的火有多少种不同的火车票价？票价？组合合问题陈列列问题(3)10名同窗分成人数一名同窗分成人数一样的数学和的数学和英

11、英语两个学两个学习小小组，共有多少种分法，共有多少种分法?组合合问题(4)10人聚会，人聚会，见面后每两人之面后每两人之间要要握手相互握手相互问候，共需握手多少次候，共需握手多少次?组合合问题(5)从从4个个风景点中景点中选出出2个安排游个安排游览,有有多少种不同的方法多少种不同的方法?组合合问题(6)从从4个个风景点中景点中选出出2个个,并确定并确定这2个个风景点景点的游的游览顺序序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?陈列列问题组合合问题回目录回目录合理分类和准确分步合理分类和准确分步 解解陈列或列或组合合问题，应按元素的性按元素的性质进展分展分类，分，分类规范明确，不重不漏；按事情的范

12、明确，不重不漏；按事情的发生的延生的延续过程分步，做程分步，做到分步到分步层次清楚次清楚.回目录回目录总的原那么的原那么合理分合理分类和准确分和准确分步步 解解陈列或列或组合合问题，应按元素的性按元素的性质进展分展分类，事，事情的情的发生的延生的延续过程分步，做到分程分步，做到分类规范明确，分步范明确，分步层次清次清楚，不重不漏。楚，不重不漏。解法解法1 分析：先安排甲，按照要求分析：先安排甲，按照要求对其其进展分展分类，分两，分两类：根据分步及分根据分步及分类计数原理，不同的站法共有数原理，不同的站法共有例例16个同窗和个同窗和2个教个教师排成一排照相，排成一排照相，2个个教教师站中站中间，

13、学生甲不站排，学生甲不站排头，学生乙不站排，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？尾，共有多少种不同的排法？1假设甲在排尾上，那么剩下的假设甲在排尾上，那么剩下的5人可自在安排，有人可自在安排，有种方法种方法.2)假设甲在第假设甲在第2、3、6、7位，那么排尾的排法有位，那么排尾的排法有 种，种，1位的位的排法有排法有 种种, 第第2、3、6、7位的排法有位的排法有 种，根据分步计种，根据分步计数原理，不同的站法有数原理，不同的站法有 种。种。再安排教再安排教师，有，有2种方法。种方法。回目录回目录把握分把握分类原理、分步原理是根底原理、分步原理是根底例例1如如图，某，某电子器件是由三个子器件

14、是由三个电阻阻组成的回路成的回路,其中有其中有6个个焊接接点点A，B，C，D，E，F，假，假设某个某个焊接接点零落，整个点零落，整个电路就会不通。路就会不通。现发现电路不通了路不通了, 那么那么焊接点零落的能接点零落的能够性共性共有有 A.63种种 B.64种种 C.6种种 D.36种种分析分析:由加法原理可知由加法原理可知由乘法原理可知：由乘法原理可知：222222-1=63回目录回目录10，1，2，3，4，5可可组成多少个无反复数字成多少个无反复数字且能被五整除的五位数？且能被五整除的五位数？练习1分分类：个位数字：个位数字为5或或0：个位数个位数为0：个位数个位数为5：回目录回目录20，

15、1，2，3，4，5可可组成多少个无反复数成多少个无反复数字且大于字且大于31250的五位数？的五位数？分分类：引申引申1：31250是由是由0，1，2，3，4，5组成的无反成的无反复数字的五位数中从小到大第几个数？复数字的五位数中从小到大第几个数？方法一：排除法方法一：排除法方法二：直接法方法二：直接法引申引申2：由：由0，1，2，3，4，5组成的无反复数字的成的无反复数字的五位数中大于五位数中大于31250，小于，小于50124的数共有多少个？的数共有多少个？(2019全国全国12)在由数字在由数字1，2，3，4，5组成的一切成的一切没有反复的没有反复的5位数中，大于位数中，大于23145且

16、小于且小于43512的的数共有数共有个个58回目录回目录合理分类与分步战略例例. .在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演名演员, ,其中其中8 8人能唱歌人能唱歌,5,5人会跳舞人会跳舞, ,现要上演一个要上演一个2 2人唱歌人唱歌2 2人伴舞的人伴舞的节目目, ,有多少有多少选派方法派方法? ?解： 1010演演员中有中有5 5人只会唱歌，人只会唱歌，2 2人只会跳舞人只会跳舞 3 3人人为全能演全能演员。 以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人能否人能否选上唱歌人员为规范进展研讨选上唱歌人员为规范进展研讨 只会唱只会唱的的5 5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_种种,

17、 ,只会唱的只会唱的5 5人中只需人中只需1 1人选上唱歌人人选上唱歌人员员_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只需人中只需2 2人人选上唱歌人员有选上唱歌人员有_种，由分类计数种，由分类计数原理共有原理共有_种。种。+ + +回目录回目录此此题还有如下分有如下分类规范：范：* *以以3 3个全能演个全能演员能否能否选上唱歌人上唱歌人员为规范范* *以以3 3个全能演个全能演员能否能否选上跳舞人上跳舞人员为规范范* *以只会跳舞的以只会跳舞的2 2人能否人能否选上跳舞人上跳舞人员为规范范都可都可经得到正确得到正确结果果解含有解含有约束条件的束条件的陈列列组合合问题，可按元素，可按元素的性的性

18、质进展分展分类，按事件，按事件发生的延生的延续过程分程分步，做到步，做到规范明确。分步范明确。分步层次清楚，不重不次清楚，不重不漏，分漏，分类规范一旦确定要范一旦确定要贯穿于解穿于解题过程的程的一直。一直。回目录回目录有不同的数学书有不同的数学书7本，语文书本，语文书5本，本，英语书英语书4本，由其中取出不是同一本，由其中取出不是同一学科的书学科的书2本，共有多少种不同的本，共有多少种不同的取法？取法？75 + 74 + 54 = 83回目录回目录42019福建福建理从理从6人中人中选4人分人分别到巴黎、到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一，要求每

19、个城市有一人游人游览，每人只游，每人只游览一个城市，且一个城市，且这6人中甲、乙两人人中甲、乙两人不去巴黎游不去巴黎游览，那么不同的，那么不同的选择方案共有方案共有A300种种B240种种 C144种种 D96种种B直接法分三种情况：直接法分三种情况：情况一情况一,不选甲、乙两个去游览不选甲、乙两个去游览:那么有那么有种选择方案种选择方案,情况二情况二:甲、乙中有一人去游览：有甲、乙中有一人去游览：有种选择方案种选择方案;情况三：甲、乙两人都去游览情况三：甲、乙两人都去游览,有有种选择方案种选择方案,综上不同的选择方案共有综上不同的选择方案共有+=240间接法回目录回目录1.从从4名男生和名男

20、生和3名女生中名女生中选出出4人参与某个座人参与某个座 谈会，假会，假设这4人中必需既有男生又有女生，人中必需既有男生又有女生，那么不同的那么不同的选法共有法共有_ 34 34 练习题2. 3成人2小孩乘船玩耍,1号船最多乘3人, 2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这5人共有多少乘船方法.2727回目录回目录特殊元素和特殊位置特殊元素和特殊位置优先先战略略例例1.由由0,1,2,3,4,5可以可以组成多少个没有反复数字成多少个没有反复数字 五位奇数五位奇数. 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安先安 排排,以

21、免不合要求的元素占了以免不合要求的元素占了这两个位置两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_由分步计数原理得由分步计数原理得=288位置分析法和元素分析法是位置分析法和元素分析法是处理理陈列列组合合问题最常最常用也是最根本的方法用也是最根本的方法, ,假假设以元素分析以元素分析为主主, ,需先安需先安排特殊元素排特殊元素, ,再再处置其它元素置其它元素. .假假设以位置分析以位置分析为主主, ,需先需先满足特殊位置的要求足特殊位置的要求, ,再再处置其它位置。假置其它位置。假设有多个有多个约束条件，往往是思索一个束条件，往往是思索

22、一个约束条件的同束条件的同时还要兼要兼顾其它条件其它条件回目录回目录“特殊元素、特殊位置特殊元素、特殊位置优先安排法先安排法 对于特殊元素的陈列组合问题，普通应先思索特殊元素，再思索其它元素。 例2 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有反复数字的三位数，其中偶数共有 A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必需是偶数， 又由于0不能排首位，故0就是其中的“特殊元素，应优先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；1)0排在末尾时，有排在末尾时，有 个；个；2)0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位

23、有十位有 个；个；3)由分类计数原理，共有偶数由分类计数原理，共有偶数 30 个个.B解题技巧解题技巧回目录回目录学生要从六门课中选学两门：学生要从六门课中选学两门： 1有两门课时间冲突，不能有两门课时间冲突，不能同时学，有几种选法？同时学，有几种选法？ 2有两门特别的课，至少选有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？学其中的一门，有几种选法？回目录回目录解法一：解法二： 1有两门课时间冲突有两门课时间冲突,不能不能同时学，有几种选法？同时学，有几种选法？回目录回目录解法一：解法一：解法二：解法二： 2有两门特别的课，至少有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？选学其中的一门，

24、有几种选法？特殊元素或位置特殊元素或位置优先安排先安排例例 将将5 5列列车停停在在5 5条条不不同同的的轨道道上上，其其中中a a列列车不不停停在在第第一一轨道道上上，b b列列车不不停停在在第第二二轨道道上上，那么不同的停放方法有那么不同的停放方法有 A A120120种种 B B9696种种 C C7878种种 D D7272种种解：解：1.1.7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里, ,假假设两两种葵花不种在中种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？有多少不同的种法？练习题 10,1,2,3,4,5这六个数字可组成多

25、少个无反复数字的五位数？20，1，2，3，4，5可可组成多少个无反成多少个无反复数字的五位奇数？复数字的五位奇数？练习3(2019北京北京文文)五个工程五个工程队承建某承建某项工程的工程的5个不同的子工程，每个工程个不同的子工程，每个工程队承建承建1项，其中甲，其中甲工程工程队不能承建不能承建1号子工程，那么不同的承建方号子工程，那么不同的承建方案共有案共有种。种。4(2019全国全国II理理)在由数字在由数字0，1，2，3，4，5所所组成的没有反复数字的四位数中，不能被成的没有反复数字的四位数中，不能被整除的数共有整除的数共有_个个 解：不能被5整除的有两种情况：情况1、首位为5有 种，情况

26、2、首位不是5的有 种，故在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有反复数字的四位数中，不能被整除的数共有 + =192(个) 192小小结：1 1、“在与在与“不在可以相互不在可以相互转化。化。处理某些元素在某些位置上用理某些元素在某些位置上用“定位法，定位法，处理理某些元素不在某些位置上普通用某些元素不在某些位置上普通用“间接法或接法或转化化为“在的在的问题求解。求解。2 2、陈列列组合运用合运用题极易出极易出现“重、重、“漏景漏景象，而重、象，而重、“漏漏错误常常发生在生在该不不该分分类、有无次序的有无次序的问题上。上。为了更好地防了更好地防“重堵重堵“漏，在做漏，在做题时需仔需仔细分析

27、本人做分析本人做题思思绪，也可改也可改动解解题角度，利用一角度，利用一题多解核多解核对答案答案回目录回目录相邻元素捆绑战略例例. 7. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相其中甲乙相邻且丙丁相且丙丁相 邻, , 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法=480解：可先将甲乙两元素捆解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成整体并看成成 一个复合元素，同一个复合元素，同时丙丁也看成一丙丁也看成一个个 复合元素，再与其它元素复合元素，再与其它元素进展展陈列，列， 同同时对相相邻元素内部元素内部进展自排。展自排。

28、 要求某几个元素必需排在一同的要求某几个元素必需排在一同的问题, ,可以用可以用捆捆绑法来法来处理理问题. .即将需求相即将需求相邻的元素合并的元素合并为一个元素一个元素, ,再与其它元素一同作再与其它元素一同作陈列列, ,同同时要留意合并元素内部也必需要留意合并元素内部也必需陈列列. .回目录回目录例例 5 5个男生个男生3 3个女生排成一排个女生排成一排,3,3个女生要排在一同个女生要排在一同, ,有有多少种不同的排法多少种不同的排法? ? 解解 由于女生要排在一同由于女生要排在一同, ,所以可以将所以可以将3 3个女生看成个女生看成是一个人是一个人, ,与与5 5个男生作全个男生作全陈列

29、列, ,有有 种排法种排法, ,其中女生其中女生内部也有内部也有 种排法种排法, ,根据乘法原理根据乘法原理, ,共有共有 种不同的排种不同的排法法. .结论 捆捆绑法法: :要求某几个元素必需排在一同的要求某几个元素必需排在一同的问题, ,可以用捆可以用捆绑法来法来处理理问题. .即将需求相即将需求相邻的元素合并的元素合并为一个元素一个元素, ,再与其它元素一同作再与其它元素一同作陈列列, ,同同时要留意合并要留意合并元素内部也可以作元素内部也可以作陈列列. .分析分析 此此题涉及到的是排涉及到的是排队问题, ,对于女生有特殊的限制于女生有特殊的限制, ,因此因此, ,女生是特殊元素女生是特

30、殊元素, ,并且要求她并且要求她们要相要相邻, ,因此可以将因此可以将她她们看成是一个元素来看成是一个元素来处理理问题. .回目录回目录某人射某人射击8 8枪，命中，命中4 4枪，4 4枪命中恰好有命中恰好有3 3枪连在一同的情形的不同种数在一同的情形的不同种数为 练习题20回目录回目录有有8本互不一样的书本互不一样的书,其中数学书其中数学书3本本,外文书外文书2本本,其他书其他书3本本.假设将这些假设将这些书排成一列放在书架上书排成一列放在书架上,那么数学书那么数学书恰好排在一同恰好排在一同,外文书也恰好排在一外文书也恰好排在一同的排法共有同的排法共有_ 种种 (结果用数结果用数 值值表示表

31、示).回目录回目录不相不相邻问题插空插空战略略例例3 3. .解解: :分两步分两步进展第一步排展第一步排2 2个相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共 有有 种，种， 第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种 不同的方法不同的方法 由分步计数原理由分步计数原理, ,节目的节目的不同顺序共有不同顺序共有 种种相相相相独独独独独独元素相离元素相离问题可先把没有位置要求的元素可先把没有位置要求的元素进展排展排队再把不相再把不相邻元素插入中元素插入中间和两端和两端回目录回目录不相不相邻问题插空法插空法 对于某几

32、个元素不相邻得陈列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。例例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分分别有多少种站法？有多少种站法？分析：可先分析：可先让其他其他4人站好，共有人站好，共有 种排法，再在种排法，再在这4人之人之间及两端的及两端的5个个“空隙中空隙中选三个位置三个位置让甲、甲、乙、丙插入，那么有乙、丙插入，那么有 种方法，种方法，这样共有共有 种种不同的排法。不同的排法。回目录回目录某班新年某班新年联欢会原定的会原定的5 5个个节目已排成目已排成节目目单，开演前又添加了两个新，开演

33、前又添加了两个新节目目. .假假设将将这两个新两个新节目插入原目插入原节目目单中，且两中，且两个新个新节目不相目不相邻，那么不同插法的种数，那么不同插法的种数为 30练习题回目录回目录1三个男生，四个女生排成一排，男生、女生三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一同，有几种不同方法？各站一同，有几种不同方法？2三个男生，四个女生排成一排，男生之三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之女生之间不相不相邻，有几种不同排法？，有几种不同排法？捆捆绑法：法：插空法：插空法：3(2019 辽宁宁)用、用、组成没有反复数字的八位数，要求与相成没有反复数字的八位数，要求与相邻，与，与相相邻，与相，与

34、相邻，而与不相，而与不相邻，这样的八位数共的八位数共有有_个用数字作答个用数字作答 练习回目录回目录(3)(2019辽宁宁)用、用、组成没有反复数字的八位数，要求与相成没有反复数字的八位数，要求与相邻，与相与相邻，与相，与相邻，而与不相，而与不相邻，这样的八位数共有的八位数共有_个用数字作答个用数字作答将与，与，与捆绑在一同排成一列将与，与，与捆绑在一同排成一列有有种，再将、插入种，再将、插入4个空位中的两个个空位中的两个有有种，故有种，故有种种引申引申:用、用、组成没有反复数字成没有反复数字的六位数，要求与相的六位数，要求与相邻，与相，与相邻，与，与相相邻，现将将7、8插插进去，仍要求与相去

35、，仍要求与相邻，与，与相相邻，与相，与相邻，那么插法共有，那么插法共有_种种用数字作答用数字作答回目录回目录“相相邻用用“捆捆绑，“不不邻就就“插空插空例例 七人排成一排，甲、乙两人必需相邻，且甲、乙七人排成一排，甲、乙两人必需相邻，且甲、乙都不与丙相邻，那么不同的排法有都不与丙相邻，那么不同的排法有 种种960960种种 B B840840种种 C C720720种种 D D600600种种解：解：另解：另解：回目录回目录练习 某城新建的一条道路上有某城新建的一条道路上有1212只路灯，只路灯，为了了节省用省用电而不影响正常的照明，可以熄而不影响正常的照明，可以熄灭其中三其中三盏灯，但两端的

36、灯不能熄灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄，也不能熄灭相相邻的两的两盏灯，可以熄灯，可以熄灭的方法共有的方法共有 A A 种种B B 种种 C C 种种 D D 种种解：回目录回目录例例 学校学校组织教教师学生一同看学生一同看电影，同一排影，同一排电影票影票1212张。8 8个学生，个学生，4 4个教个教师，要求教，要求教师在学生中在学生中间，且教，且教师互不互不相相邻，共有多少种不同的坐法？，共有多少种不同的坐法？解解 先排学生共有先排学生共有 种排法种排法, ,然后把教然后把教师插入学生之插入学生之间的空档，共有的空档，共有7 7个空档可插个空档可插, ,选其中的其中的4 4个空档个空档,

37、,共有共有 种种选法法. .根据乘法原理根据乘法原理, ,共有的不同坐法共有的不同坐法为 种种. .结论 插入法插入法: :对于某两个元素或者几个元素要求不相于某两个元素或者几个元素要求不相邻的的问题, ,可以用插入法可以用插入法. .即先排好没有限制条件的元即先排好没有限制条件的元素素, ,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可空档之中即可. .分析分析 此此题涉及到的是不相涉及到的是不相邻问题, ,并且是并且是对教教师有特殊有特殊的要求的要求, ,因此教因此教师是特殊元素是特殊元素, ,在在处理理时就要特殊就要特殊对待待. .所所涉

38、及涉及问题是是陈列列问题. .回目录回目录小小结：以元素相：以元素相邻为附加条件的附加条件的应把相把相邻元素元素视为一个整体，即一个整体，即采用采用“捆捆绑法；以某些元素不法；以某些元素不能相能相邻为附加条件的附加条件的, ,可采用可采用“插插空法。空法。“插空有同插空有同时“插空插空和有逐一和有逐一“插空插空, ,并要留意条件并要留意条件的限定的限定. .回目录回目录例例6 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生高矮互不等，名女生高矮互不等，将将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高陈列，有多少种排法？列，有多少种排法？顺序固定序固定

39、问题用用“除法除法 对于某几个元素顺序一定的陈列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进展陈列，然后用总的陈列数除以这几个元素的全陈列数.所以共有所以共有 种。种。 分析：先在分析：先在7个位置上作全个位置上作全陈列，有列，有 种排法。其中种排法。其中3个女生因要求个女生因要求“从矮到高排，只需一种从矮到高排，只需一种顺序故序故 只只对应一种排法，一种排法，回目录回目录定序定序问题倍倍缩空位插入空位插入战略略例例4.74.7人排人排队, ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人人顺序一定共有多序一定共有多 少不同的排法少不同的排法解:( (倍倍缩法法) )对于某几个元素于某几个元素顺序一定的序一定的陈列列

40、问题, ,可先把可先把这几个元素与其他元素一同几个元素与其他元素一同进展展陈列列, ,然后用然后用总陈列数除以列数除以这几个元几个元素之素之间的全的全陈列数列数, ,那么共有不同排法种数那么共有不同排法种数是：是： 空位法想象有空位法想象有7把椅子把椅子让除甲乙丙以外除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其他的三个种方法，其他的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，那么共有种坐法，那么共有 种种 方法。方法。 1思索思索: :可以先可以先让甲乙丙就坐甲乙丙就坐吗? ?回目录回目录例例6 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生高矮互不等，名女生高矮互不等，将将7名学生排

41、成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高陈列，有多少种排法？列，有多少种排法？顺序固定序固定问题用用“除法除法 对于某几个元素顺序一定的陈列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进展陈列，然后用总的陈列数除以这几个元素的全陈列数.所以共有所以共有 种。种。 分析：先在分析：先在7个位置上作全个位置上作全陈列，有列，有 种排法。其中种排法。其中3个女生因要求个女生因要求“从矮到高排，只需一种从矮到高排，只需一种顺序故序故 只只对应一种排法，一种排法，回目录回目录插入法插入法) )先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人, ,共有共有1 1种排法种排法, ,再再 把其他把

42、其他4 4四人依次插入共有四人依次插入共有 方法方法4*5*6*74*5*6*7定序定序问题可以用倍可以用倍缩法，法，还可可转化化为占位插占位插空模型空模型处置置练习题1010人身高各不相等人身高各不相等, ,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人, ,要要求从左至右身高逐求从左至右身高逐渐添加，共有多少排法？添加，共有多少排法？回目录回目录例例 期中安排考期中安排考试科目科目9 9门, ,语文要在数学之前考文要在数学之前考, ,有多有多少种不同的安排少种不同的安排顺序序? ?解解 不加任何限制条件不加任何限制条件, ,整个排法有整个排法有 种种,“,“语文安排在文安排在数学之前考数学之前

43、考, ,与与“数学安排在数学安排在语文之前考的排法是文之前考的排法是相等的相等的, ,所以所以语文安排在数学之前考的排法共有文安排在数学之前考的排法共有 种种. .结论 对等法等法: :在有些在有些标题中中, ,它的限制条件的一定与否它的限制条件的一定与否认是是对等的等的, ,各占全体的二分之一各占全体的二分之一. .在求解中只需求出在求解中只需求出全体全体, ,就可以得到所求就可以得到所求. .分析分析 对于任何一个于任何一个陈列列问题, ,就其中的两个元素来就其中的两个元素来讲的的话, ,他他们的的陈列列顺序只需两种情况序只需两种情况, ,并且在整个并且在整个陈列中列中, ,他他们出出现的

44、的时机是均等的机是均等的, ,因此要求其中的某一种情况因此要求其中的某一种情况, ,可可以得到全体以得到全体, ,那么那么问题就可以就可以处理了理了. .并且也防止了并且也防止了问题的复的复杂性性. .回目录回目录住店法住店法处理理“允允许反复反复陈列列问题要留意区分两要留意区分两类元素：元素： 一类元素可以反复，另一类不能反复，把不能反复的元素看作“客，能反复的元素看作“店，再利用乘法原理直接求解。例例10 七名学生争七名学生争夺五五项冠冠军，每，每项冠冠军只能由一只能由一人人获得，得，获得冠得冠军的能的能够的种数有的种数有 A. B. C D.分析：因同一学生可以同分析：因同一学生可以同时

45、夺得得n项冠冠军，故学生可反复，故学生可反复陈列，列，将七名学生看作将七名学生看作7家家“店，五店，五项冠冠军看作看作5名名“客，每个客，每个“客客有有7种住宿法，由乘法原理得种住宿法，由乘法原理得 种。种。注：注：对此此类问题，常有疑惑，常有疑惑，为什么不是什么不是 呢？呢？用分步用分步计数原理看，数原理看，5是步是步骤数，自然是指数。数，自然是指数。回目录回目录A重排重排问题求求幂战略略例例. .把把6 6名名实习生分配到生分配到7 7个个车间实习, ,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名把第一名实习生分配生分配 到到车间有有

46、种分法种分法. .7 7把第二名实习生分配把第二名实习生分配 到车间也有到车间也有7 7种分法，种分法， 依此依此类推推, ,由分步由分步计数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法允许反复的陈列问题的特点是以元素为研讨允许反复的陈列问题的特点是以元素为研讨对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，普通地各个元素的位置，普通地n不同的元素没有限不同的元素没有限制地安排在制地安排在m个位置上的陈列数为个位置上的陈列数为 种种n nm m回目录回目录1. 1. 某班新年某班新年联欢会原定的会原定的5 5个个节目已排成目已排成节目目单，开演前又添

47、加了两个新，开演前又添加了两个新节目目. .假假设将将这两个两个节目插入原目插入原节目目单中，那么不同插法的种数中，那么不同插法的种数为 422. 2. 某某8 8层大楼一楼大楼一楼电梯上来梯上来8 8名乘客人名乘客人, ,他他们 到各自的一到各自的一层下下电梯梯, ,下下电梯的方法梯的方法 练习题回目录回目录环排排问题线排排战略略例例6. 56. 5人人围桌而坐桌而坐, ,共有多少种坐法共有多少种坐法? ? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 此位置把圆形展成直线其他4人共有_ 种排法即 A AB BC CE ED DD DA AA AB BC C

48、E E5-1)5-1)！普通地普通地,n,n个不同元素作个不同元素作圆形形陈列列, ,共有共有(n-1)!(n-1)!种排法种排法. .假假设从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素作个元素作圆形形陈列共有列共有回目录回目录练习题6 6颗颜色不同的色不同的钻石，可穿成几种石，可穿成几种钻石圈？石圈？120多排多排问题直排直排战略略例例7.87.8人排成前后两排人排成前后两排, ,每排每排4 4人人, ,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排, ,丁在后排丁在后排, ,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把

49、椅子排成一排. 先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其他的其他的5人在人在5个位置个位置上恣意陈列有上恣意陈列有_种种,那么共有那么共有_种种.前排后排后排普通地普通地,元素分成多排的元素分成多排的陈列列问题,可可归结为一排思索一排思索,再分段研再分段研讨.回目录回目录有两排座位，前排有两排座位，前排1111个座位，后排个座位，后排1212个座位，个座位，现安排安排2 2人就座人就座规定前排定前排中中间的的3 3个座位不能坐，并且个座位不能坐，并且这2 2人人不左右相不左右相邻，那么不同排法的种

50、数，那么不同排法的种数是是_346练习题回目录回目录小集小集团问题先整体部分先整体部分战略略例例9.9.用用1,2,3,4,51,2,3,4,5组成没有反复数字的五位数成没有反复数字的五位数 其中恰有两个偶数其中恰有两个偶数夹1,1,在两个奇数之在两个奇数之 间, ,这样的五位数有多少个？的五位数有多少个？解：把解：把,当作一个小集当作一个小集团与排与排队共有共有_种排法，再排小集种排法，再排小集团内部共有内部共有_种排法，由分步种排法，由分步计数原理共有数原理共有_种排法种排法.31524小集团小集团小集小集团陈列列问题中，先整体后部中，先整体后部分，再分，再结合其它合其它战略略进展展处置。

51、置。回目录回目录.方案展出方案展出10幅不同的画幅不同的画,其中其中1幅水彩画幅水彩画,幅油画幅油画,幅国画幅国画, 排成一行排成一行陈列列,要求同一要求同一种种类的必需的必需连在一同，并且水彩画不在两在一同，并且水彩画不在两端，那么共有端，那么共有陈列方式的种数列方式的种数为_2. 5男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像,男生相男生相邻,女女生也相生也相邻的排法有的排法有_种种回目录回目录元素一元素一样问题隔板隔板战略略运用背景：一运用背景：一样元素的名元素的名额分配分配问题 不定方程的正整数解不定方程的正整数解问题隔板法的运用特征：隔板法的运用特征：一一样的元素分成假的元素分成假设

52、干部分，每部分至少一干部分，每部分至少一个个元素一样问题隔板战略例例.有有10个运个运发动名名额，在分，在分给7个班，每个班，每班至少一个班至少一个,有多少种分配方案？有多少种分配方案？ 解：由于解：由于10个名个名额没有差没有差别，把它，把它们排成排成一排。相一排。相邻名名额之之间构成个空隙。构成个空隙。在个空档中在个空档中选个位置插个隔板，个位置插个隔板，可把名可把名额分成份，分成份，对应地分地分给个个班班级，每一种插板方法，每一种插板方法对应一种分法一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将n n个一个一样的元素分成的元素分成m m份份n n，m m为正整数正整数

53、, ,每份至少一个元素每份至少一个元素, ,可以用可以用m-1m-1块隔板，插入隔板，插入n n个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1个空隙中，一切分法数个空隙中，一切分法数为回目录回目录例例 高二年高二年级8 8个班个班, ,组织一个一个1212个人的年个人的年级学生分会学生分会, ,每每班要求至少班要求至少1 1人人, ,名名额分配方案有多少种分配方案有多少种? ?解解 此此题可以可以转化化为: :将将1212个一个一样的白球分成的白球分成8 8份份, ,有有多少种不同的分法多少种不同的分法问题, ,因此因此须把把这1212个白球排成一排个白球排成一排, ,在在1111个空档中放上个

54、空档中放上7 7个一个一样的隔板的隔板, ,每个空档最多放一每个空档最多放一个个, ,即可将白球分成即可将白球分成8 8份份, ,显然有然有 种不同的放法种不同的放法, ,所以名所以名额分配方案有分配方案有 种种. .结论 转化法化法: :对于某些于某些较复复杂的、或的、或较笼统的的陈列列组合合问题，可以利用，可以利用转化思想化思想, ,将其化将其化归为简单的、的、详细的的问题来求解来求解. .分析分析 此此题假假设直接去思索的直接去思索的话, ,就会比就会比较复复杂. .但假但假设我我们将其将其转换为等价的其他等价的其他问题, ,就会就会显得比得比较清楚清楚, ,方法方法简单, ,结果容易了

55、解果容易了解. .回目录回目录练习1 1将将1010个学生干部的培个学生干部的培训目的分配目的分配给7 7个不同个不同的班的班级，每班至少分到一个名，每班至少分到一个名额，不同的分配方，不同的分配方案共有案共有 种。种。2不定方程不定方程 的正整数解的正整数解共有共有 组组回目录回目录练习题1.1.1010个一个一样的球装的球装5 5个盒中个盒中, ,每盒至少一每盒至少一2.2. 有多少装法？有多少装法？2 .x+y+z+w=1002 .x+y+z+w=100求求这个方程个方程组的自然数解的自然数解 的的组数数回目录回目录小小结：把：把n n个一个一样元素分成元素分成m m份每份份每份, ,至

56、少至少1 1个元素个元素, ,问有多少种不同分法的有多少种不同分法的问题可可以采用以采用“隔板法得出共有隔板法得出共有 种种. .回目录回目录正正难那么反那么反总体淘汰体淘汰战略略例例11.从从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三十个数字中取出三 个数，使其和个数，使其和为不小于不小于10的偶数的偶数,不同的不同的 取法有多少种？取法有多少种？解：解：这问题中假中假设直接求不小于直接求不小于10的偶数很的偶数很 困困难,可用可用总体淘汰法。体淘汰法。 这十个数字中有这十个数字中有5 5个偶数个偶数5 5个奇数个奇数, ,所取的三个数含有所取的三个数含有3 3个偶个偶数的取法

57、有数的取法有_,_,只含有只含有1 1个偶数的取法个偶数的取法有有_,_,和为偶数的取法共有和为偶数的取法共有_再淘汰和小于再淘汰和小于10的偶数共的偶数共_符合条件的取法共有符合条件的取法共有_ 9 9013013015015017017023023025025027027041041045045043043+- 9- 9+有些有些陈列列组合合问题, ,正面直接思索比正面直接思索比较复复杂, ,而它的反面往往比而它的反面往往比较简捷捷, ,可以先求出它的可以先求出它的反面反面, ,再从整体中淘汰再从整体中淘汰. .回目录回目录 例：用0，1，2，3，4这五个数，组成没有反复数字的三位数，其中

58、1不在个位的数共有_种。间接法接法 (总体淘汰法体淘汰法,正正难那么反那么反 对于含有否于含有否认词语的的问题，还可以从可以从总体中把不符合要求的减体中把不符合要求的减去，此去，此时应留意既不能多减又不能少减。留意既不能多减又不能少减。 分析：五个数组成三位数的全陈列有 个，0排在首位的有 个 ，1排在末尾的有 ，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为0同时个位为1的陈列数 为什么？故共有 种。例例 我我们班里有班里有4343位同窗位同窗, ,从中任抽从中任抽5 5人人, ,正、副班正、副班长、团支部支部书记至少有一人在内的抽法有多少种至少有一人在内的抽法有多少种? ?解解 43 43人中任

59、抽人中任抽5 5人的方法有人的方法有 种种, ,正副班正副班长, ,团支部支部书记都不在内的抽法有都不在内的抽法有 种种, ,所以正副班所以正副班长, ,团支部支部书记至少有至少有1 1人在内的抽法有人在内的抽法有 种种. .结论 去去杂法法: :有些有些问题, ,正面直接思索比正面直接思索比较复复杂, ,而它的而它的反面往往比反面往往比较简捷捷, ,可以先求出它的反面可以先求出它的反面, ,再从整体中排再从整体中排除除. .分析分析 此此题假假设是直接去思索的是直接去思索的话, ,就要将就要将问题分成好分成好几种情况几种情况, ,这样解解题的的话, ,容易呵斥各种情况脱漏或者容易呵斥各种情况

60、脱漏或者反复的情况反复的情况. .而假而假设从此从此问题相反的方面去思索的相反的方面去思索的话, ,不但容易了解不但容易了解, ,而且在而且在计算中也是非常的算中也是非常的简便便. .这样就就可以可以简化化计算算过程程. .回目录回目录1三个男生，四个女生排成一排，甲不三个男生，四个女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有几种不同方法？在最左，乙不在最右，有几种不同方法？ 2五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有 A.120 B.96 C.78 D.72直接练习3回目录回目录 3用间接法解例1“6个同窗和2个教师排成一排照相， 2个教师站中间，学生甲不站排头，

61、学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？回目录回目录我们班里有我们班里有4343位同窗位同窗, ,从中任抽从中任抽5 5人人, ,正、正、副班长、团支部书记至少有一人在内的副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种抽法有多少种? ?练习题回目录回目录平均分平均分组问题除法除法战略略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有 多少分法？解解: 分三步取分三步取书得得 种方法种方法,但但这里出里出现 反复反复计数的景象数的景象,无妨无妨记6本本书为ABCDEF 假假设第一步取第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 该分法分法记为(AB,CD,EF),那么那么 中中还有有

62、(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 种取法种取法 ,而而 这些分法些分法仅是是(AB,CD,EF)一种分法一种分法,故共故共 有有 种分法。种分法。平均分成的组平均分成的组,不论它们的顺序如何不论它们的顺序如何,都是一都是一种情况种情况,所以分组后要一定要除以所以分组后要一定要除以 (n为为均分的组数均分的组数)防止反复计数。防止反复计数。回目录回目录1 将将13个球个球队分成分成3组,一一组5个个队,其它两其它两组4 个个队, 有多少分法？有多少分法？2.10名学生分成名学生分成3组,其中一其中一组4人人, 另

63、两另两组3人人 但正副班但正副班长不能分在同一不能分在同一组,有多少种不同有多少种不同 的分的分组方法方法 15403.3.某校高二年某校高二年级共有六个班共有六个班级，现从外地从外地转 入入4 4名学生，要安排到名学生，要安排到该年年级的两个班的两个班级且每且每班安排班安排2 2名，那么不同的安排方案种数名，那么不同的安排方案种数为_ 回目录回目录分清陈列、组合、等分的算法区别分清陈列、组合、等分的算法区别例例 (1) (1)今有今有1010件不同件不同奖品品, ,从中从中选6 6件分件分给甲一件甲一件, ,乙二件和丙三件乙二件和丙三件, ,有多少种分法有多少种分法? ? (2) (2) 今

64、有今有1010件不同件不同奖品品, , 从中从中选6 6件分件分给三人三人, ,其其中中1 1人一件人一件1 1人二件人二件1 1人三件人三件, , 有多少种分法有多少种分法? ?(3) (3) 今有今有1010件不同件不同奖品品, , 从中从中选6 6件分成三份件分成三份, ,每每份份2 2件件, , 有多少种分法有多少种分法? ? 解：1 2(3)回目录回目录练习 (1) (1)今有今有1010件不同件不同奖品品, ,从中从中选6 6件分成三份件分成三份, , 二份二份各各1 1件件, ,另一份另一份4 4件件, , 有多少种分法有多少种分法? ?(2) (2) 今有今有1010件不同件不

65、同奖品品, ,从中从中选6 6件分件分给甲乙丙三人甲乙丙三人, ,每人二件有多少种分法每人二件有多少种分法? ?解: (1)(2)回目录回目录小小结：陈列与列与组合的区合的区别在于元素能在于元素能否有序否有序; m; m等分的等分的组合合问题是非等分情是非等分情况的况的; ;而元素一而元素一样时又要另行思索又要另行思索. .回目录回目录构造模型构造模型战略略例例. . 马路上有路上有编号号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路灯九只路灯, ,现要关掉其中的要关掉其中的3 3盏, ,但不能关但不能关 掉相掉相邻的的2 2盏或或3 3盏, ,也不能关掉两

66、端的也不能关掉两端的2 2 盏, ,求求满足条件的关灯方法有多少种？足条件的关灯方法有多少种？解：把此解：把此问题当作一个排当作一个排队模型在模型在6 6盏 亮灯的亮灯的5 5个空隙中插入个空隙中插入3 3个不亮的灯个不亮的灯 有有_ _ 种种一些不易了解的陈列组合题假设能转化为非常熟习的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观处理回目录回目录练习题某排共有某排共有1010个座位，假个座位，假设4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右两两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？都有空位，那么不同的坐法有多少种？120回目录回目录八八. .陈列列组合混合合混合问题先先选后排后排战略略例

67、例. .有有5 5个不同的小球个不同的小球, ,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内, , 每盒至少装一个球每盒至少装一个球, ,共有多少不同的装共有多少不同的装 法法. .解解: :第一步从第一步从5 5个球中个球中选出出2 2个个组成复合元共成复合元共 有有_种方法种方法. .再把再把5 5个元素个元素( (包含一个复合包含一个复合 元素元素) )装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_种方法种方法. .根据分步根据分步计数原理装球的方法共有数原理装球的方法共有_处理理陈列列组合混合合混合问题,先先选后排是最根本后排是最根本的指点思想的指点思想.此法与相此法与相邻元素捆元素捆绑战略略

68、类似似吗?回目录回目录练习题一个班有一个班有6 6名名战士士, ,其中正副班其中正副班长各各1 1人人现从中从中选4 4人完成四种不同的人完成四种不同的义务, ,每人每人完成一种完成一种义务, ,且正副班且正副班长有且只需有且只需1 1人人参与参与, ,那么不同的那么不同的选法有法有_ _ 种种192192回目录回目录3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所所学校为学生体检学校为学生体检,每校分配每校分配 1 名医名医生和生和 2 名护士名护士,不同的分配方法共不同的分配方法共有多少种有多少种?先先选后排后排问题的的处置方法置方法 解法一：先解法一：先组队后分校先后分校先

69、分堆后分配分堆后分配回目录回目录 解法二：依次确定到第一、解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和第二、第三所学校去的医生和护士护士.回目录回目录 为援助西部开发为援助西部开发,有有3名教师去银川市名教师去银川市三所学校任教三所学校任教,每校分配每校分配1人人,不同的分不同的分配方法共有配方法共有_种种(用数字作答用数字作答).练习练习改改为4名教名教师？改改为5名教名教师？回目录回目录有甲、乙、丙三项义务有甲、乙、丙三项义务,甲需甲需2人承人承当当,乙、丙各需乙、丙各需1人承当人承当.从从10人中选人中选派派4人承当这三项义务人承当这三项义务,不同的选法不同的选法共有多少种共有多少

70、种?回目录回目录四名同窗分配到三个办公室去搞卫四名同窗分配到三个办公室去搞卫生生,每个办公室至少去一名学生每个办公室至少去一名学生,不不同的分配方法有多少种同的分配方法有多少种? 回目录回目录1 1、有甲、乙、丙三项工程，甲需求、有甲、乙、丙三项工程，甲需求 2 2 人承当，人承当，乙、丙各需乙、丙各需 1 1 人承当，从人承当，从 10 10 人中选派人中选派 4 4 人承当这人承当这三项义务，不同的承当方法共有三项义务，不同的承当方法共有_种；种；2 2、某办公室有、某办公室有 5 5 人办公，现要排一个周轮值表，人办公，现要排一个周轮值表，每人至少一天，其中甲不能在周六和周日，且甲一定每

71、人至少一天，其中甲不能在周六和周日，且甲一定值两天，那么不同的排表方式有值两天，那么不同的排表方式有_种；种；3 3、学校决议下周对高一年级进学校决议下周对高一年级进展教学情况抽测。决议根底科抽两门，展教学情况抽测。决议根底科抽两门，文科、文科各抽一门，技艺科音、文科、文科各抽一门，技艺科音、体、美、信抽一门。那么能够有体、美、信抽一门。那么能够有种抽取方法。种抽取方法。根底训练根底训练回目录回目录练习 某学某学习小小组有有5 5个男生个男生3 3个女生，从中个女生，从中选3 3名男生和名男生和1 1名女生参与三名女生参与三项竞赛活活动，每，每项活活动至少有至少有1 1人参与，那么有不同参人参

72、与，那么有不同参赛方方法法_种种. .解：采用先解：采用先组后排方法后排方法: :回目录回目录小小结：此：此题涉及一涉及一类重要重要问题：问题中既有元素的限制，又有中既有元素的限制，又有陈列的列的问题，普通是先元素即，普通是先元素即组合后合后陈列。列。回目录回目录实验法法穷举法法 题中附加条件增多，直接处理困难时，用实验逐渐寻求规律有时也是行之有效的方法。 例 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填1个，那么每个方格的标号与所填的数字均不一样的填法种数有 A.6 B.9 C.11 D.23分析：此分析：此题调查陈列的定列的定义，由于附加条件，由于附加条件较多，解法

73、多，解法较为困困难，可用可用实验法逐法逐渐处理。理。第一方格内可填第一方格内可填2或或3或或4。如填。如填2，那么第二方格中内可填，那么第二方格中内可填1或或3或或4。假假设第二方格内填第二方格内填1，那么第三方格只能填，那么第三方格只能填4，第四方格，第四方格应填填3。假假设第二方格内填第二方格内填3，那么第三方格只能填，那么第三方格只能填4，第四方格，第四方格应填填1。同理，假同理，假设第二方格内填第二方格内填4，那么第三方格只能填，那么第三方格只能填1，第四方，第四方格格应填填3。因此，第一格填。因此，第一格填2有有3种方法。种方法。不不难得到，当第一格填得到，当第一格填3或或4时也各有

74、也各有3种，所以共有种，所以共有9种。种。回目录回目录实践操作践操作穷举战略略例例. .设有有编号号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和的五个球和编号号1,21,2 3,4,5 3,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将将5 5个球投入个球投入这五五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的恰好有两个球的编号与盒子的号与盒子的编号一号一样,.,. 有多少投法？有多少投法？解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种 还剩下3球3盒序号不能对应， 利用实践操作法，假设剩下操作法，假设剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号

75、盒时，那么号盒时，那么4,5号球有只需号球有只需1种装法种装法3 3号盒号盒4 4号盒号盒5 5号盒号盒345回目录回目录实践操作穷举战略实践操作穷举战略例例. .设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,5 3,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号一样恰好有两个球的编号与盒子的编号一样,.,. 有多少投法？有多少投法？解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种 还剩下3球3盒序号不能对应， 利用实

76、践操作法，假设剩下操作法，假设剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，那么号盒时，那么4,5号球有只需号球有只需1种装法种装法, 同理同理3号球装号球装5号盒时号盒时,4,5号球有号球有也也只需只需1种装法种装法,由分步计数原理有由分步计数原理有2 种种 回目录回目录练习：不：不对号入座号入座问题1 120192019湖北将湖北将标号号为1 1，2 2，3 3，1010的的1010个球放入个球放入标号号为1 1，2 2，3 3，1010的的1010个盒子中，个盒子中，每个盒内放一个球，恰好有每个盒内放一个球，恰好有3 3个球的个球的标号与其所在盒子号与其所在盒子的的

77、标号不一致的放入方法有号不一致的放入方法有_种种2 2编号号为1 1、2 2、3 3、4 4、5 5的五个球放入的五个球放入编号号为1 1、2 2、3 3、4 4、5 5的五个盒子里，至多有的五个盒子里，至多有2 2个个对号入座的号入座的情形有情形有_种种109直接法：直接法：间接法：间接法：回目录回目录留意区留意区别“恰好与恰好与“至少至少从从6 6双不同双不同颜色的手套中任取色的手套中任取4 4只，其中恰好有一双只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有同色的手套的不同取法共有 (A) 480 (A) 480种种B B240240种种 C C180180种种 D D120120种种小小结：

78、“恰好有一个是恰好有一个是“只需一个的意思。只需一个的意思。“至少有一个那么是至少有一个那么是“有一个或一个以上，可有一个或一个以上，可用分用分类讨论法求解，它也是法求解，它也是“没有一个的反面，没有一个的反面，故可用故可用“排除法。排除法。解：回目录回目录练习 从从6双不同双不同颜色的手套中任取色的手套中任取4只，其中至只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有少有一双同色手套的不同取法共有_种种解：解：回目录回目录对于条件比于条件比较复复杂的的陈列列组合合问题，不易用，不易用公式公式进展运算，往往利用展运算，往往利用穷举法或画出法或画出树状状图会收到意想不到的会收到意想不到的结果果练习题1.

79、1. 同一寝室同一寝室4 4人人, ,每人写一每人写一张贺年卡集中起来年卡集中起来, ,2.2. 然后每人各拿一然后每人各拿一张他人的他人的贺年卡，那么四年卡，那么四张3.3. 贺年卡不同的分配方式有多少种？年卡不同的分配方式有多少种？ (9)2.2.给图中区域涂色中区域涂色, ,要求相要求相邻区区 域不同色域不同色, ,现有有4 4种可种可选颜色色, ,那么那么 不同的着色方法有不同的着色方法有_种种213457272回目录回目录分解与合成分解与合成战略略例例. 30030. 30030能被多少个不同的偶数整除能被多少个不同的偶数整除分析：先把分析：先把3003030030分解成分解成质因数

80、的乘因数的乘积方式方式 30030=235 7 1113 30030=235 7 1113依依题 意可知偶因数必先取意可知偶因数必先取2,2,再从其他再从其他5 5个个 因数中任取假因数中任取假设干个干个组成乘成乘积，一切，一切 的偶因数的偶因数为：例17.正方体的8个顶点可连成多少对异面 直线回目录回目录解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四 体共有体共_每个四面体有_对异面直线,正方体中的8个顶点可连成_对异面直线3 3358=174分分解解与与合合成成战略略是是陈列列组合合问题的的一一种种最最根根本本的的解解题战略略, ,把把一一个个复复杂问题分分解解成成几几个个小小问题逐逐一一处理理

81、, ,然然后后根根据据问题分分解解后后的的构构 造造 , ,用用分分类计数数原原理理和和分分步步计数数原原理理将将问题合合成成, ,从从而而得得到到问题的的答答案案 , ,每每个个比比较复复杂的的问 题都都 要要 用用 到到这种种 解解题 战略略回目录回目录化化归战略略例例. 25. 25人排成人排成5555方方队, ,现从中从中选3 3人人, ,要要 求求3 3人不在同一行也不在同一列人不在同一行也不在同一列, ,不同的不同的 选法有多少种？法有多少种？解： 将将这个个问题退化成退化成9人排成人排成33方方队,现从中从中选3人人,要求要求3人不在同一行也不在人不在同一行也不在同一列同一列,有

82、多少有多少选法法.这样每行必有每行必有1人从人从其中的一行中其中的一行中选取取1人后人后,把把这人所在的人所在的行列都划掉，行列都划掉，回目录回目录从从55方方队中中选取取3行行3列有列有_选法法所以从所以从55方方队选不在同一行也不在同不在同一行也不在同一列的一列的3人有人有_选法。法。处置复置复杂的的陈列列组合合问题时可以把一个可以把一个问题退化成一个退化成一个简要的要的问题，经过处理理这个个简要要的的问题的的处理找到解理找到解题方法，从而方法，从而进下一步下一步处理原来的理原来的问题如此如此继续下去下去. .从从3333方方队中中选3 3人的方法人的方法有有_种。再从种。再从5555方方

83、队选出出3333方方队便可便可处理理问题回目录回目录对应法法例例1111、在、在100100名名选手之手之间进展展单循循环淘汰淘汰赛即一即一场竞赛失失败要退出要退出竞赛，最后，最后产生一名冠生一名冠军，问要要举行几行几场？ 分析：要产生一名冠军，需求淘汰掉冠军以外的一切选手，即要淘汰99名选手，淘汰一名选手需求进展一场竞赛，所以淘汰99名选手就需求99场竞赛。回目录回目录某城市的街区由某城市的街区由1212个全等的矩形区个全等的矩形区组成成其中其中实线表示表示马路，从路，从A A走到走到B B的最短路的最短路径有多少种？径有多少种？练习题B BA A回目录回目录特征分析特征分析研研讨有有约束条

84、件的排数束条件的排数问题，需求，需求紧扣扣标题所提供所提供的数字特征，构造特征，的数字特征，构造特征，进展推理，分析求解。展推理，分析求解。 例例 由由1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6六个数字可以六个数字可以组成多少成多少个无反复且是个无反复且是6 6的倍数的五位数？的倍数的五位数？分析数字特征：分析数字特征：6 6的倍数既是的倍数既是2 2的倍数又是的倍数又是3 3的倍数。其中的倍数。其中3 3的倍数又的倍数又满足足“各个数位上的数字之和是各个数位上的数字之和是3 3的倍数的特征。的倍数的特征。把把6 6分成分成4 4组，3 3，3 3，6 6，1 1，5 5，2 2，4 4，

85、每，每组的数字和都是的数字和都是3 3的倍数。因此可分成两的倍数。因此可分成两类讨论；第一第一类：由：由1 1，2 2，4 4，5 5，6 6作数作数码；首先从；首先从2 2，4 4，6 6中任中任选一个作个位数字有一个作个位数字有 ，然后其他四个数在其他数位上全，然后其他四个数在其他数位上全陈列有列有 ，所以，所以第二第二类：由：由1，2，3，4，5作数作数码。依上法有。依上法有回目录回目录1练习:徐州二徐州二检从从6人中人中选4人人组成成4100m接力接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种后一棒，有多少种选法？法？分析：一直接法分析：一直接法 二二间接法

86、接法2从正方体的从正方体的8个个顶点中点中选4个作四面体，个作四面体，那么不同的四面体的个数那么不同的四面体的个数为 。练习583一个三位数，其十位上的数字既一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字小于百位上的数字也小于个位上的数字，且个位百位上的数字不反复如等且个位百位上的数字不反复如等那么那么这样的三位数有的三位数有个个回目录回目录144240例例 袋中有袋中有5 5分硬分硬币2323个个,1,1角硬角硬币1010个个, ,假假设从袋中取出从袋中取出2 2元元钱, ,有多少种取法有多少种取法? ?解解 把一切的硬把一切的硬币全部取出来全部取出来,将得到将得到 0.05

87、23+0.1010=2.15元元,所以比所以比2元多元多0.15元元,所以剩所以剩下下0.15元即剩下元即剩下3个个5分或分或1个个5分与分与1个个1角角,所以共有所以共有 种取法种取法.结论 剩余法剩余法:在在组合合问题中中,有多少取法有多少取法,就有多少种剩就有多少种剩法法,他他们是一一是一一对应的的,因此因此,当求取法困当求取法困难时,可可转化化为求剩法求剩法.分析分析 此此题是一个是一个组合合问题, ,假假设是直接思索取是直接思索取钱的的问题的的话, ,情况比情况比较多多, ,也也显得比得比较混乱混乱, ,难以理出以理出头绪来来. .但是假但是假设根据根据组合数性合数性质思索剩余思索剩

88、余问题的的话, ,就会很就会很容易容易处理理问题. .回目录回目录小结小结 本节课，我们对有关陈列组合的几本节课，我们对有关陈列组合的几种常见的解题战略加以复习稳定。种常见的解题战略加以复习稳定。陈列组合历来是学习中的难点，经陈列组合历来是学习中的难点，经过我们平常做的练习题，不难发现过我们平常做的练习题，不难发现陈列组合题的特点是条件隐晦，不陈列组合题的特点是条件隐晦，不易发掘，标题多变，解法独特，数易发掘，标题多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同窗们只需对字庞大，难以验证。同窗们只需对根本的解题战略熟练掌握。根据它根本的解题战略熟练掌握。根据它们的条件们的条件, ,我们就可以选取不同的技我们就可以选取不同的技巧来处理问题巧来处理问题. .对于一些比较复杂的对于一些比较复杂的问题问题, ,我们可以将几种战略结合起来我们可以将几种战略结合起来运用把复杂的问题简单化，举一反运用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的根底。下坚实的根底。