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1、2.3 数学归纳法数学归纳法 2.3 数学归纳法数学归纳法课题引入课题引入不完全归不完全归纳法纳法回想等差数列通项公式的推倒过程：回想等差数列通项公式的推倒过程：像这种由像这种由一系列特殊事例一系列特殊事例得出得出一般结论一般结论的推理的推理方法，叫做方法，叫做归纳法归纳法。费马费马（Fermat）是）是1717世纪法国著名的数学世纪法国著名的数学家，他曾认为，当家，他曾认为，当n nN N时，时， 一定都一定都是质数，这是他观察当是质数，这是他观察当n n0 0，1 1，2 2，3 3，4 4时的值都是质数，提出猜想得到的半个时的值都是质数，提出猜想得到的半个世纪后，世纪后，1818世纪伟大
2、的瑞士科学家欧拉世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）发现）发现 4 294 967 4 294 967 29729767004176416700417641，从而否定了费马的推，从而否定了费马的推测没想到当测没想到当n n5 5这一结论便不成立这一结论便不成立 举例说明举例说明：一个数列的通项公式是：一个数列的通项公式是：an= (n25n+5)2请算出请算出a1= ，a2= ，a3= ，a4=猜测猜测an?由于由于a525 1，所以猜测是不正确的，所以猜测是不正确的所以由归纳法得到的结论所以由归纳法得到的结论不一定可靠不一定可靠 1111猜测是否正确呢？猜测是否正确呢？思考：归纳法有什么优
3、点和缺点？思考：归纳法有什么优点和缺点？优点：优点：可以帮助我们从一些具体事可以帮助我们从一些具体事 例中发现一般规律例中发现一般规律缺点：缺点：仅根据有限的特殊事例归纳仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的得到的结论有时是不正确的 在使用归纳法探究数学命题时，必在使用归纳法探究数学命题时，必须对须对任何可能的情况任何可能的情况进行论证后，才能进行论证后，才能判别命题正确与否。判别命题正确与否。思考思考1 1：与正整数与正整数n n有关的数学命题能否有关的数学命题能否通过通过一一验证一一验证的办法来加以证明呢？的办法来加以证明呢？思考思考2 2：如果一个数学命题与正整数如果一个数学
4、命题与正整数n n有有关关, ,我们能否找到一种既简单又有效的证我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？明方法呢？思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？下的条件是什么？多米诺骨牌（多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨）是一种用木制、骨制或制或塑料塑料制成的长方形制成的长方形骨牌骨牌。玩时将骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。倒下。多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。多米诺是一项集动手、动脑于一体的运
5、动。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。多米诺是种文化。它起源于多米诺是种文化。它起源于中国中国，有着上千年的历史。，有着上千年的历史。 只要满足以下两个条件，所有多米诺骨只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：牌就能全部倒下： （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。一定导致后一块倒下。 （依据
6、）（依据） 条件（条件（2）事实上给出了一个递推关系：当）事实上给出了一个递推关系：当第第k块倒下时，相邻的第块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。块也倒下。思考思考：你认为证明数列的通项公式：你认为证明数列的通项公式 是是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？（1）第一块骨牌倒下）第一块骨牌倒下；（基础）数学归纳法的概念：数学归纳法的概念： 定义：对于某些与正整数定义：对于某些与正整数n有关的命题常有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：常采用下面的方法来证明它的正确性：1.先
7、证明当先证明当n取第一个值取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立时命题成立 (归纳奠基归纳奠基） ；2.然后假设当然后假设当n=k(k N*，kn0)时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立(归纳递推归纳递推）。）。这种证明方法就叫做这种证明方法就叫做_。数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数证明一个与正整数n n有关的数学命题有关的数学命题 关键步骤如下：关键步骤如下：这种证明方法叫做这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法(1)(1)证明证明当当n n取第一个值取第一个值n n0 0 时命题成立时命题成立 完成这两个步骤后完成这两个步骤后, , 就可以断定：就可以
8、断定： 命题对从命题对从 开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立都成立 (2)(2)假设假设当当 时时, ,命题成立命题成立 证明证明当当 时时, ,命题也成立命题也成立（基础）（基础）（依据）（依据）验证验证n=n0时时命题成立命题成立若若n=k(kn0)时命命题成立成立,证明明n=k+1时命命题也成立也成立.归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推命题对从命题对从n0开始所有的开始所有的正整数正整数n都成立都成立证明证明：（1）当当n=1时时，等式是成立的等式是成立的（2）假设当假设当n=k时等式成立，就是时等式成立，就是那么那么这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立
9、由（由（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何 都成立都成立如果如果 是等差数列，已知首项为是等差数列，已知首项为 公差为公差为 ，那么，那么对一切对一切 都成立都成立例例1 1试用数学归纳法证明试用数学归纳法证明 因此数学归纳法是一种科学的递推方法因此数学归纳法是一种科学的递推方法 (1)(1)是是递推的递推的基础基础 (2)(2)是是递推的递推的依据依据例例2 2、用数学归纳法证明：用数学归纳法证明： 1+3+5+ 1+3+5+(2n-1)n2(2)假设假设nk时，等式成立，即时，等式成立，即(1) n1时，左边时，左边=1，右边，右边=1，等式成立；，等式成立；1+3+5+
10、1+3+5+(2k-1)k2那么当那么当nk+1时，时， 由由、 可知对任何可知对任何nN*时，等式都成立时，等式都成立需要证明的式子是需要证明的式子是?1+3+5+1+3+5+(2k-1)+（2k+1）k2+（2k+1）（）（k+1）2这就是说，当这就是说，当n n= =k k+1+1时，等式也成立时，等式也成立例题例题3用数学归纳法证明用数学归纳法证明证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边121，右边，右边等式成立。等式成立。（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是那么那么这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1）和（）和（
11、2），可知等式对任何），可知等式对任何n N都成立。都成立。变式：用数学归纳法证明：变式：用数学归纳法证明： 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： 明确首取值明确首取值n n0 0并验证真假。（必不可少）并验证真假。（必不可少） “假设假设n=kn=k时命题正确时命题正确”并写出命题形式。并写出命题形式。分析分析“n=k+1n=k+1时时”命题是什么，并找出与命题是什么，并找出与“n=kn=k”时时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。命题形式的差别。弄清左端应增加的项。明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用
12、的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并并 用上假设。用上假设。思考思考1 1：试问等式试问等式2+4+6+2+4+6+2+2n nn n2 2+n+1+n+1成立吗？某成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？得到的结论正确吗？解解: :设设n nk k时成立，即时成立，即这就是说，这就是说，n nk+1k+1时也成立时也成立2+4+6+2kk2+k+1则当则当n=k+1n=k+1时时 2+4+6+2+4+6+2k+2(k+1)+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+
13、2(k+1)2+(k+1)+1 所以等式对任何所以等式对任何nN*nN*都成立都成立事实上，当事实上，当n n1 1时，左边时，左边2 2，右边，右边3 3左边左边右边，等式不成立右边，等式不成立该同学在没有证明当该同学在没有证明当n=1n=1时，等式是否成立的前提时，等式是否成立的前提下，就断言下，就断言等式对任何等式对任何nN*nN*都成立，为时尚早都成立，为时尚早证明：明：当当n=1时，左，左边右右边假假设n=k时，等式成立，等式成立，那么那么n=k+1时等式成立等式成立这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等
14、式对任何nN都成立都成立即即第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求数学归纳法的证明要求思考思考3 3：下面是某同学下面是某同学 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式成立的过程成立的过程, ,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（nN）nn2112121212132- -= =L 因此，用数学归纳法证明命因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一题的两个步骤，缺一不可。第一步是步是递推的递推的基础基础，第二步是，第二步是递递推的推的依依据据。缺了第一步递推失。缺了第一步递推失
15、去基础；缺了第二步，递推失去去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。依据，因此无法递推下去。思考思考：步骤步骤 (1) 中中n取的第一个值取的第一个值n0一一定是定是1吗？为什么？吗？为什么？答：不一定答：不一定举例说明：举例说明：用数学归纳法证明用数学归纳法证明 n边形边形 的对角线的条数是的对角线的条数是此时此时n n取的第一值取的第一值2. 数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 （如（如 或或2等）时命题成立等）时命题成立 递推基递推基础础 （2）假设假设 时时命题成立命题
16、成立 证明证明 时命题也成立时命题也成立 递推依据递推依据 在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始开始 的的所有正整数所有正整数n都成立都成立1. 数学归纳法数学归纳法适用范围适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题仅限于与正整数有关的数学命题3. 数学归纳法数学归纳法优点优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点， 又克服了不完全归纳法结论又克服了不完全归纳法结论不可靠不可靠的不足，是一种科学方法，的不足，是一种科学方法， 使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷 。课堂小结课堂小结个人观点供参考，欢迎讨论
