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1、高等数学（1）学习方法指导（二）内容第三章导数与微分；第四章导数的应用n基本要求n一、导数概念n1、理解导数由具体的变化率问题抽象而产生的概念，知道导数值与导数的联系与区别。n2、理解函数的导数与变化率的关系，导数的几何意义，掌握求曲线在一点的切线的方法。n3、理解函数可导与连续之间的关系。n4、能利用定义求函数在一点处导数的方法，会求分段函数在分段点处的导数。二、初等函数求导数n1、熟记求导的四则运算法则，导数的基本公式，熟练掌握利用四则运算和导数基本公式求导数。n2、熟练掌握复合函数求导法则，会求隐函数和反函数的导数，会利用对数求导法则求导数。n3、理解高阶导数的定义，掌握求二阶导数的方法
2、，会求一些简单函数（如等）的n阶导数。三、函数的微分n1、理解微分的定义，明确可导与微之间的关系。n2、理解一阶微分形式的不变性，会熟练地求出函数的微分。n3、记住利用微分近似计算函数改变量和函数近似值的公式，会用微分计算函数的近似值四、中值定理n1、会叙述罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西定理，掌握三定理的条件和结论。n2、了解三定理之间的关系、作用，罗尔定理和拉格朗日中值定理的几何意义。五、罗彼塔法则n1、掌握罗彼塔法则的条件，会熟练准确地运用罗彼塔法则求“”、“”型未定式的极限。n2、会将“0”，“”，“1”，“”，“0”等未定式化为“”或“”型，再用罗彼塔法则求极限。六、函数的单调性和极
3、值n1、掌握利用导数判别函数单调区间的方法。n2、知道如何运用函数单调性证明不等式。n3、理解函数的极值和极值点的概念，掌握求函数极值和极值点的方法和步骤，会熟练地求解。n4、会解决简单的最大（小）值实际问题。七、曲线的凹性、拐点、渐近线，函数作图n1、理解曲线上凹、下凹和拐点的概念，会利用导数讨论曲线的凹向，求拐点。n2、理解水平和垂直渐近线的定义，并会求曲线的水平和垂直渐近线。n3、掌握函数作图的方法和步骤，会描绘简单函数的图形。八、导数的几何应用n1、熟练掌握求解以几何问题为主的简单实际应用问题中最大值和最小值的方法。内容提要一、导数概念n导数是由具体的变化率问题（变速直线运动的瞬时速度
4、和曲线的切线的斜率）抽象而产生的，它以极限为基础，是极限概念的具体应用。n1、定义：设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得改变量，函数f(x)取得相应的改变量=f(+)-f()，如果当0时，极限存在.n存在，则称此极限值为函数f(x)在点处的导数，并称函数f(x)在点处可导.说明：n（1）记+=x,则导数定义可记为n这种形式在=0时计算可简化。n（2）导数的实质是函数在某一点的变化率，导数是函数改变量与自变量改变量之比的极限，是“”型极限。n（3）函数f(x)在处不可导有以下几种情况：n10（3）函数f(x)在处不可导有以下几种情况：n10lim0yx=n20xlim0+y
5、x与xlimyx存在但不相等；n30或至少有一个不存在。2、左导数和右导数n若=存在，称之为f(x)在点处的左导数，记作；n若=存在，称之为函数f(x)在点处的右导数，记作。n函数y=f(x)在点处可导的充分必要条件是f(x)在点处的左、右导数都存在且相等。3、导数与导函数，如果函数f(x)在区间（a,b）内可导，则对于该区间内每一点x，都有。对应的导数值，故是x的函数，我们称这个函数为f(x)的导函数n函数f(x)在一点处的导数是导函数在该点处的函数值，记作。n4、导数的几何意义，函数y=f(x)在点x0处 的 导 数 f(x) 表 示 曲 线 y=f(x)在 点M（ x0, y0） 处 切
6、 线 的 斜 率 ， 即tan=f(x0)(a。2)过曲线y=f(x)上点（x0,y0）处的切线方程为ny-y0=f(x0)(x-x0)5、利用导数定义求导数（导函数）的步骤：n（1）求y=f(x+x)-f(x)n（2）作比值yx。n（3）求x0时yx的极限，即nLimf(x)=f(x+x0)-f(x)xx0分段函数在分段点处的导数的求法是：用导数定义求出分段点的左、右导数后确定。n6、可导与连续的关系，若函数f(x)在点处可导，则它在点处必连续；若函数f(x)在点处连续，但在该点未必可导，也就是说，函数连续是可导的必要条件，但不是充分条件。二、导数的基本公式与运算法则n1、基本导数公式：n（
7、1）c=0（c为常数）；n（2）(xa),=axa-1（a为任意实数）；n（3）(logax),=1/x logae(a0,a1)，特例：(lnx)=1/x。n（4）(ax),=axlna(ao,a1)特例(ex),=exn（5）(sinx),=cosxn（6）(cosx),=-sinxn（7）(tanx),=1/cos2x=sec2xn（8）(cotx),=-1/sin2x=-csc2xnn(9)(secx),=secxtenxn(10)csc(x),=-cscxcotxn(11)(arcsinx),=1/_1-x2(-1x1)n(12)(arccosx),=1/_1-x2(-1x1)n(1
8、3)(arctamx),=1/1+x2n(14)(arccotx),=-1/1+x2n对导数基本公式的记忆要准确熟练，它是求导数的基础，并由它们可推导出微分公式和积分公式，公式中带“余”字的三角函数、反三角函数均有负号nn3、复合函数求导法则，若函数y=f(u)及u=均可导，则ndy/dx=f,(u)n即复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。n法则适用于有限次复合的函数。n即复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。n法则适用于有限次复合的函数。n4、隐函数求导法则。若y=f(x)是由方程F（x.,y）=0确定的可导函数，则其导数可由
9、方程n 求得，即隐函数求导法则是：把方程两边对x求导，注意y是x的函数，然后从求导后得到的等式中解出。5、对数求导法则。若u(x)、v(u)分别可导，则幂指函数y=u可用对数求导法求出。对数求导法则是：先将函数两边取对数，然后化成隐函数求导数，它适用于幂指函数和含有多个因子等较复杂的函数。n6、高阶导数。函数y=f(x)的导数一般仍是x的函数，它的导数称为此函数的二阶导数，记为，或，即 一般地，函数y=f(x)的n-1阶导（函）数的导数称为f(x)的n阶导数，即 （n=2,3,4,）n三、函数微分n1、定义：对于自变量在点x处的改变量可表示为其中A为不依赖于的常数，则称函数y=f(x)在点x处
10、可微，称A为函数y=f(x)在点x处的微分，记为dy，即dy=A。规定自变量的微分就是它的改变量：dx=xn2、函数可微的充要条件，函数y=f(x)在点x处可微的充分必要条件是它在该点处可导，且dy=(x)dxn因此求微分dy，只要求出导数（x），再乘以dx即可。从而根据导数的基本公式和四则运算法则，可以得到函数微分的基本公式及其运算法则。n3、微分形式的不变性，对函数y=f(u)来说，不论u是自变量还是中间变量。函数微分dy=(u)du的形式是完全一样的，这就叫微分形式的不变性。利用一阶微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分，进而得到函数的导数。4、微分的几何意义，函数y=f(x)的微分d
11、y，在几何上就是过点M（x,y）的切线的纵坐标的改变量。5、微分在近似计算中的应用n（1）求函数增量的近似值公式n（2）求函数在某点附近的函数值的近似公式：f(x)四、中值定理1、罗尔定理、条件：如果函数f(x)满足；（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）且两端点函数值相等，即f(a)=f(b) n结论：在（a,b）内至少存在一点，使得n=0n罗尔定理在确定方程的根中的作用：n若f(x)满足定理条件，则方程f(x)=0的两个根之间必有方程的一个根。2、拉格朗日中定值定理，条件：如果 函 数 f(x)满 足 ： （ 1） 在 闭 区 间a,b上连续；（2）在开区间（a
12、,b）内可导。 （ a ） 成 立 ， 或f(b)=f(a)+（称中值公式）。说明：罗尔定理和拉格朗日中值定理的条件是严格的，条件不满足，结论就不一定成立；但条件仅是充分条件，即若定理条件不满足，结论也有可能成立n3、柯西中值定理，条件：如果函数f(x)与g(x)满足：n（1）在闭区间a,b上连续；n（2）在开区间（a,b）内可导；n（3）在（a,b）内任何一点处不等于零。n结论：在（a,b）内至少存在一点，使得n4、三个定理之间的关系：罗尔定理推广特例拉格朗日中值定理柯西中值定理推广特例五、罗彼塔法则n罗彼塔法则是确定未定式极限的简便有效的法则，是极限计算中常用的解法，但它不是万能的，注意有
13、失效现象。n1、型未定式，条件：设函数f(x)与g(x)满足。（2）a可以除外）可导，且；（1）（3）（3）（3）在点a的某个邻域内（点结论：必有（） 结论：必有 （2）在点a的某个邻域内；（3）（点a可以除外）可导，且结论：必有3、其他类型的未定式，如0型都可以采取一定方法通过恒等变形转化成两种基本类型，再用罗彼塔法则求解。n（3）若u（x）v(x)是幂指函数型，如等未定式的极限。一般可用取对数法先转化成0型，再转化成二种基本类型，用罗彼塔法则求解。（f(x)g(x)=或，转化为（或）(x)-g(x)属型，可采用“通分”的方法转化为。（2若f（3）若u（x）v(x)是幂指函数型，如等未定式的
14、极限。一般可用取对数法先转化成0型，再转化成二种基本类型，用罗彼塔法则求解。需要指出的是，对于不是“”或“”型的未定式，是不能用罗彼塔法则计算极限的。六、函数的单调性1、函数单调性的判别法：设f(x)在区间a,b上连续，在（a,b）内可导，若（1）在（a,b）内，则f(x)在a,b上单调增加；（2）在（a,b）内，则f(x)在a,b上单调减少。证明：判别法中的闭区间可以换成其他各种区间，包括无穷区间。2、利用函数的单调性证明不等式。七、函数的极值和最值1、定义：设函数f(x)在点x=的一个邻域内有定义，如果当x(x0一,x0)Y(x0,x0)+时总有f(x)f()，则称f()为函数的极大值（或
15、极小值)。称为f(x)的一个极大值点（或极小值点）。函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。极值点是对函数的自变量而言，极值是对函数值而言，不可混淆。2、函数取得极值的必要条件和充分条件。（1）必要条件：若f(x)在处可微，且在处f(x)达到极值，则。使导数为零的点叫做函数f(x)的驻点，驻点不一定是极值点。（2）极值的第一充分条件：设f(x)在点的某邻域内连续且可导，或不存在。10若x0，而x时0，则函数f(x)在点处取极大值f()。20若x时时，0，则函数f(x)在点极小值f()。n简单地说，在过时两侧变号，则函数f(x)在点处取极值，在过时两侧不变号，则函数f(x)
16、在点处不取极值。n可见，可导函数的极值点必是驻点，驻点不一定是极值点，有可能取极值的点除驻点外还需注意判断不可导点。n（3）极值的第二充分条件（判别法）：设=0，且存在：n（1）当0时函数f(x)在取得极大值。n注意：当=0时，不能判定f(x0)是否为极值，这时仍需用第一判别法。n3、函数的最值，连续函数f(x)在a,b上的最大值与最小值一定存在，可以由区间端点函数值f(a)、f(b)与区间内所有驻点不存在点的函数值比较得到。n注意：函数极值是一个局部性概念，函数最值是对所讨论的整个区间而言，是一个整体性的概念，因而某一个极小值大于另一个极大值就不足为怪了。n对于应用问题来说，极大多数是下述情
17、形：f(x)在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导且仅有一个驻点，当是极大值点时，就是函数f(x)在a,b上的最大值；当是极小值点时，就是f(x)在a,b上的最小值。n八、曲线的凹向与拐点的判别n1、设函数f(x)在区间（a,b）内具有二阶导数，则：n（1）在（a,b）内0时，曲线弧是上凹的；n（2）在（a,b）内0时，曲线弧是下凹的；n2、拐点的充分条件，设f(x)在x=的某个邻域内具有二阶导数，且=0，若在的左右两侧邻近取值是异号的，则点（，f()）是曲线y=f(x)的一个拐点；如果在的左右两侧邻近不变号，则点（，f()）不是曲线的拐点。n注意：10若函数在处连续，而一、二阶导数不存在时，
18、点（，f()）也可能是曲线y=f(x)的一个拐点，视在的左右两侧是否变号而定。n20拐点是曲线上的点，如（，f()）是拐点，不能说是曲线的拐点，应该说是曲线拐点的横坐标。n九、曲线渐近线的求法，函数作图n1、曲线渐近线的求法，函数作图n（1）若，则y=b是曲线y=f(x)的水平渐近线。n（1）若，则x=是曲线y=f(x)的垂直渐近线（称点C为函数f(x)的无穷间断点）。nn说明：x可改成x,x;x或改成x，x。求渐近线时n此法也适用。n2、函数作图。首先要确定函数的定义域、曲线的对称性，然后利用阶导数判定函数的单调性和极值，利用二阶导数判定曲线的凹性与拐点（宜列表），再求曲线的渐近线，最后作图
19、。根据函数的定义域和极值等确定坐标原点的位置，描写极值点对应曲线上的点和拐点等重要的点，画出渐近线，再根据单调性、曲线凹性用光滑曲线连接（必要时需补充一些点）。n十、导数的几何应用n1、根据实际问题列出函数关系式y=f(x)。n2、求f(x)在区间a,b上最大值步骤：（1）找出f(x)的所有驻点，找出f(x)的所有不可导点；（2）将所有这些点的函数值与两个端点的函数值一起比较大小；（3）最大者为最大值，相应点为最大值点，求最小值的步骤类似。n学习重点n一、导数与微分n1、导数与微分的概念，导数的几何意义。n2、导数与微分的基本公式。n3、导数的计算（四则运算法则、复合函数求导法则、隐函数的求导
20、法、参变量函数的导数）。n4、求显函数的二阶导数。n二、导数的应用n1、用洛必塔法则求极限。n2、用一阶导数求极值，单调区间。n3、用二阶导数求凹凸区间，拐点。n4、求几何问题为主的最值问题。n典型例题分析n例1、设函数f(x)可微，则（）nA、-B、C、2D、3n分析：导数是极限的具体应用，利用导数定义可以计算极限。n解：n=2故应选（C）n例2、设f(x)=（x-a）(x)，其中（x）在x=处可导，则=（）。n分析：由题设知（x）仅在x=处可一点可导，并未指明（x）在x=的一个邻域内可导，因而不能运用乘积导数法则求，而得，而需应用导数在一点的定义直接计算。n解：根据导数定义，n=n说明：最
21、后一步等式是由已知(x)在x=处可导，则一定连续，括号内填。n常见错误解法是：=（x-）=n=n结果出一律，但求挥过程不符合题设条件。n例3，函数f(x)=在点x=0处的导数是（）。nA、0B、1C、-1D、不存在n解：=1nn根据导数存在的充要条件是函数在该点的左、右导数存在且相等，故f(x)=在点x=0处不可导。n例4，设f（x）=则f(x)在点x=1（）nx-1,x1nA、不连续B、连续但不可导C、D、n解：f(x)在x=1可导等价于存在，分别考察左、右导数。nnn=lne=1n=n按号内应填D。n说明：考虑函数f(x)在x0点连续与可导问题，一般先考虑在x0点的可导问题。若在x0处不可
22、导，再考虑在x0处连续问题。函数f(x)在某一点x0可导，则在x0处一定连续；反之，n则不然。n例题小结：利用定义求导数值主要用于：n（1）讨论分段函数分段点处的可导性（或导数值）；n（2）在不能运用求导法则求导函数时计算导数值。n例5：若函数y=f(x)在点x0处可导，且曲线y=f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线平行于x轴，则（x0）（）。nA、等于零B、小于零C、大于零D、不存在n解：应选A。n例6：与曲线y=x3+3x2-5相切且与直线6x+2y-1=0平行的直线方程是（）。nA、x+3y+6B、3x+y+6=0C、3x-y+6=0D、x-3y+6=0n分析：曲线y=x3+3x2-
23、5在点（x,y）处的切线斜率为。n直线6x+2y-1=0，得：y=-3x+1的斜率为。如果满足已知条件，应有，亦即3x2+6x=-3x=-1，并代入曲线方程y=，得切点（-1，-3），于是直线的点斜式方程，切线方程为y=-3x-6。n解：应选B。n例7：求曲线y=sinx在点x=处的法线方程n解：n故法线方程为：y=x-,得x-y-=0n例题小结：求曲线在某一点处切线方程和法线方程的步骤n（1）求导数，计算导数值，得切线斜率或法线斜率nk切=，k法=n（2）求该点函数值，用点斜式建立切线方程为法线方程。nL切：y-f()=;l法：y-f()=（x-x0）n例8，设函数y=x(x-1)(x-2)
24、(x-3)，则=（）nA、0B、1C、3D、-6n解：=(x-1)(x-2)(x-3)+xn(0)=(-1)(-2)(-3)=-6n应选D。n例9、设y=，则=（）。nA、B、C、D、n解：先将函数化简：nn应选B。n例题小结：初等函数求导数的关键是：n（1）熟练掌握求导的基本公式和法则，并能灵活、准确地运用。n（2）求导数前要尽量注意将函数化简，减少复杂的计算。n例10若y=lnsinx，则=（）。nA、B、cotxC、cotxD、tanxn解：=n应选B。n例11设f(x)=则=()n解：f(x)=(x+1)2-3(x+1)+2n=2(x+1)-3=2x-1n=(2x-1)1x=-1n应填
25、-1。n例题小结：n求复合函数的导数时，首先要明确复合函数的复合过程，明确各个中间变量，然后由外层向内层逐一对中间变量求导数，再乘以中间变量的导数，切勿遗漏，为了防止出差错，宜每次划出中间变量，最后的结果整理化简（若引入中间变量，计算得到的最后结果不应留有中间变量）。n例12设y-x,则()n解：将方程两边对x求导，得：n得：n应填答案n例13设y是由方程sin(xy)-所确定的函数，求n解：令x=0代入已知方程，得：0-，y(0)=1n将已知方程两边对x求导：ncos(xy)(y+x)+=0n令x=0，y(0)=-1，代入得：（-1+0）cos0+=0=2n说明：隐函数求导数常见的错误是将方
26、程两边对x求导时，有的项漏乘，导数计算错误；计算导数值时有的没有将y(x0)确定，致使中含有未知数y。n例题小结：隐函数求导方法n由方程F（x,y）=0所确定的隐函数求导数时，只要将两边对x求导，必须视y是x的函数，然后解出。的结果中允许含y。n例14已知f(x)=，求n分析这是幂指函数求导数，一定要用对数求导方法。n解：对已知函数取对数，得nlnf(x)=xln(1+)=xln(x+1)-lnxn两边对x求导，得：nln(1+)+x()n得:=ln(1+)n所以n说明：常见的错误是用幂函数或指数求导公式直接计算：n或ln（1+）n例15已知y=，求。n解：两边取自然对数：nlny=ln(x-
27、1)+ln(2-x)-ln(x-3)-ln(x+4)n两边对x求导数：n（）n于是=（）n例题小结：对数求导法常适用于以下两种情况：n（1）幂指函数y=u求导n（2）由若干简单函数的积、商或根式组成的初等函数。n例题16求由参数方程x=1+2t-所确定的函数的导数。ny=2-3t+n解：故=-（t+1）nn说明：在参数方程x=(t)确定的函数中，求导时要注意区分自变量与因变量。ny=(t)n例17设y=xn(n为正整数)，则（1）=（）nA、0B、1C、nD、n!n分析：求简单函数的n阶导数，要通过一阶、二阶导数，找出规律得到。n解：,n每求导一次，幂函数次数降低一次，一般地有n=n(n-1)
28、3.2.1=n!n故应选D。n例18已知xy-sin(y2)=0,求(0,1),(0,1).n解：将方程两边对x求导数，y+x=0n令x=0,y=1,得到(0,1)=-n再将方程两边对x求导，得n-cos()2()=0n将x=0,y=1,(0,1)=-代入上式，得n(0,1).=-n说明：对隐函数求二阶导数时，宜对含一阶导数的方程两边再对x求导，然后解出n，式中要用已得的结果代入。而计算二阶导数值时，不必先解，可将x0,y0,代入方程，化简得。n例19=（）nA、B、C、D、n解：=n应选B。n例20设f(x)可微，则d()=()nA、B、C、D、n分析：求函数的微分，可利用导数和一阶微分形式
29、不变性计算。n解法一，先求函数y=的导数，n所以dy=n解法二，根据一阶微分形式的不变性nd()=df(x)=n应选C。n例21求函数y=1+x的微分n解：对方程两边求微分ndy=dx+xd=dx+xdyn所以dy=n说明：求微分过程中注意不要漏写dx或少写dy，例如ndy=或dy=dx+x都是错误的。n例题小结：求函数的微分的方法有n（1）初等函数求微分，可利用微分法则和一阶微分形式的不变性直接计算。n（2）利用微分与导数的关系，先求，再写出微分dy=dx。n例22下列函数中在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）nA、f(x)=B、f(x)=x,0.1nC、f(x)=x+2,x0，x(-1,2
30、)，函数单调增加，应选A。n例34求函数y=的增减区间。n011nln(1+x)0)n说明：本题主要检查利用导数证明不等式的知识及逻辑推理能力，证明n（一）是须掌握的基本方法；证明（二）是利用微分中值定理来证明。n例36求函数y=x-ln的单调区间和极值。n解：利用一阶导数的正负求单调区间，判别极值点n，令得驻点x=2，在定义域（-）（0，+）内没有不可导点。n列表讨论：n所以函数的单调递增区间为（-）（2，+），单调递减区间为（0，2），函数的极小值f(2)=2(1-ln2)n例题小结：求函数极值的一般步骤：n（1）求导数，令，找出函数的所有驻点和不可导点。n（2）利用极值充分条件确定极值点
31、，（找出驻点后一定要加以判别）。n例37求函数y=2x+的极值。n解：函数定义域为D=（-，+）n=2+不可导点x=0n所以，极大值为1，极小值为0。n例38函数y=x2+1区间（-1，1）内的最大值是（）nA、0B、1C、2D、不存在n解：应选D。n说明：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值，而在开区间内不一定。n例39求函数y=x4-2x2+5在-2，2上的最大值与最小值。n解：=4x3-4x=4x(x-1)(x+1)n令=0，得驻点x=0,1,-1，没有不少导点，计算的所有驻点和区间端点的函数值；nf(0)=5f(1)=4f(-1)=4f(2)=13f(-2)=13n比较得函数在-2，
32、2上最大值为13，最小值为5。n说明：求函数最大小值，不必判别极值点，只要将驻点，不可导点和区间端点处的函数值加以比较大小来确定。n例40曲线y=的拐点是（）nA、（2，0）B、（1，-1）C、（0，-2）D、不存在n解：因，6（x-1）,令0，得x=1，且在x=1的两侧异号，故点（1，-1）是曲线的拐点。应选B。n例41对于函数f(x)=，下列结论正确是（）。nA、x=0是极大值点B、x=0是极小值点C、（0，0）不是拐点D、（0，0）是拐点n解：，n且x0时，时，n点（0，0）是曲线的拐点。因这是单项选择，正确答案只有一个，应选D，对A、B不再讨论。说明：本题考查极值点和拐点的概念。若末指
33、明是单项选择，需对A，B进行讨论；f(0)=0,x=0驻点，在x=0的两侧均大于0，f(x)单调增加，x=0不是极值点。例42求曲线y=ln(1+)的凹凸区间和拐点。解：，=令=0，得x=，没有不存在的点，列表讨论如下：n所以曲线在（-）（1，+）是凸的，在（-1，1）是凹的；曲线有两个拐点：（1，ln2）和（-1，ln2）。n注意：判别凹凸性和判别极值的方法应加以区别，前者是判断二阶导数在某区间的符号，后者是讨论当=0时，在x0处的值的符号，不可混淆。n例题小结：曲线y=f(x)的凹凸区间与拐点的求法：n（1）先求，找出=0和不存在但函数f(x)连续的点。n（2）将函数的定义域用（1）所指明
34、的点划分成小区间，根据小区间内的符号确定曲线的凹凸性，并判别（1）中的点是否为拐点。n例43曲线y=的垂直渐近线方程是（）。nA、仅为x=3B、仅为x=1C、x=-3和x=1D、不存在n解：，=n曲线有二条垂直渐近线x=-3和x=1，应选C。n例44曲线y=的不平渐近线为（）。nA、y=0B、y=1C、y=3D、不存在n解：=+n=0n曲线有水平渐近线y=0，应选A。n说明：为求渐近线计算极限时，若双侧极限不存在要计算单侧极限，本题表明曲线在x轴正向有水平渐近线y=0，在x轴负向无渐近线。n例45曲线y=()nA、只有水平渐近线B、只有垂直渐近线C、没有渐近线nD、在水平渐近线也有垂直渐近线n
35、解：=0，曲线有水平渐近线y=0;n又=，曲线有垂直渐近线x=2。n应选D。nnn例题小结曲线y=f(x)渐近线的求法：n1、水平渐近线，若（也可以是单侧极限存在），则y=b是曲线的水平n2、垂直渐近线，找出函数f(x)的间断点x0,计算极限，（x0称为无穷间断点，也可以是单侧的），则x=x0是曲线的垂直渐近线（曲线有无垂直渐近线就是函数是否有无穷间断点）。对于有理分式函数，使分母等于零，而分子不等于零的点，就是函数的无穷间断点，所以x=x0是函数的垂直渐近线。n例46已知函数y=，试求其单调区间、极值、图形的凹向、拐点、渐近线并作出函数图形。（题解的方程代表解题的步骤）n解：D（f）(-)n
36、非奇非偶函数f(-x)f(x),f(-x)n令或x=1为一阶导数不存在的点。n令或x=1为二阶导数不存在的点。从表中结果可知：曲线拐点为（-，），极小值为0；单调减区间（-）和（1，+）单调增区间（0，1）；曲线在（-，-）为下凹区间，在（-，1）和（1，+）为上凹区间；渐近线：=2，故y=2为曲线的水平渐近线；故x=1为曲线的铅垂渐近线。n特殊点的坐标：（0，0）、（）、（-1，）、（，2）、（2，8）n描点作图的顺序：nA、首先画作坐标（要求方向、起点、单位长度）；nB、画渐近线；nC、将特殊点描在坐标上；nD、连线（要求光滑、连续）。n特殊点的坐标：（0，0）、（）、（-1，）、（，2）
37、、（2，8）n描点作图的顺序：nA、首先画作坐标（要求方向、起点、单位长度）；nB、画渐近线；nC、将特殊点描在坐标上；nD、连线（要求光滑、连续）。n例题小结：n函数的作图是函数性质讨论的一种综合体现，作图的步骤如下：nA、确定函数的定义域及间断点；nB、判别f(x)的对称性，也即奇偶性。奇函数关于原点对称，偶函数关于Y轴对称。n奇函数的判别方法：f(-x)=-f(x);n偶函数的判别方法：f(-x)=f(x)n利用对称性可以给作图或列表带来方便，如果函数个有对称性，只需从对称点（轴）列出一半表格，作出一半图形，另一半图形可利用对称性画出即可；nC、确定函数的增减区间，极值点、凹向、拐点；n
38、D、确定函数是否有渐近线，以便更准确地描述函数变化的趋势；nE、选出特殊点作为描点，一般包括曲线与轴的交点、极值点、拐点；nF、画完整的坐标（方向、起点、单位长度）并描点作图。n注描点作图应保证曲线的连续性与光滑；切忌画成折线图形。n例47欲做一个容积为300立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的两倍，问蓄水池的尺寸应该怎样设计和能使总造价最低？n分析：这是极值应用题，要解决的问题是在一定条件（容积已定）下总造价最低，总造价是因变量，它取决于水池的底面积和侧面积，即水池的底圆半径和圆柱高度（池深），这两个变量又受容积已知的约束，因而只有一个独产变量。这样，就可以确定一元函数
39、关系。再求它的最小值点和最小值。n解：设水池底圆半径为r，深度为h，池底单位面积造价为2k(元)，总造价为y(元)，则nh=300,y=2kh+k2rh,n所以y=2k+k(0r+)n=4kr-600kn令=0,得r=(米)，在定义域内仅有唯一驻点，根据实际问题的性质，一定存在n最低造价，因而这个驻点就是使总造价最低的点，故当r0=时水池总造价最低，这时水池深度nnh=2=2rn是底半径的两倍，即该水池深度与池底直径相同时总造价最低。n例48设计一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做可以使其用料最省。n解：设底边长为x,高为h，用料为y，V=108，h=ny=x2+4xh=
40、x2+4x=x2+nyx=2x+=n由极值原理：令得x=6m(唯一)n当x6时，n当x6时，nx=6为最小值点n于是h=3m，故当正方形边长为6米，高为3米时长方形容器用料最省。n例题小结：n这是一类通过几何公式，解决实际应用中的诸如路程最短，运费最省、用料最省等问题，常涉及的几何公式有：直角三角形的勾股定理，长方形面积，周长公式，圆的面积公式，圆柱体的体积与表面积公式等。其解题步骤归纳如下：n（1）分析题意，明确要求的是那个量的最值，这个量是因变量。再分析这个量与那些量有关，利用简单的几何知识确定变量之间的关系。在一次函数中，独立变量只有一个，即问题中确定条件的变量作为自变量。n（2）求函数
41、的驻点，用极值的充分条件判别极值，对于实际问题，根据问题的性质确定有最值，则唯一的驻点就是最值。nn高等数学（1）学习指导（三）n内容第五章不定积分第六章定积分及其应用n基本要求n一、原函数和不定积分的概念n1.理解原函数和不定积分的定义，搞清两者之间的关系;理解原函数在经济活动方面的意义。n2.掌握不定积分的基本性质。n3.理解不定积分的几何意义，能根据初始条件来确定积分常数的值。n二、基本积分公式n1.熟记基本积分公式.n2.能对被积函数进行简单的恒等变换，运用不定积分的性质，根据基本积分公式求出不定积分。n三、第一类换元积分法（凑微分法）n1.理解并能写出第一类换元积分公式。n2.熟记一
42、些常见的凑微分形式，能将被积表达式凑成基本公式所具有的形式。n能对被积函数进行简单的恒等变换，运用不定积分的性质,再应用第一换元法计算不定积分一、第二类换元积分法n1.对被积函数中含有,的不定积分，能选择适当的三角代换，使被积函数有理化，然后再积分。n2.若被积函数中含有,(n为正整数)时,能通过根式代换，使被积函数有理化，然后再积分。n二、分部积分法n1.理解并能写出分部积分公式.n2.对常见的几类可用分部积分法计算的不定积分，能正确选择u和dv,n三、常见积分公式n1.会推导并熟记下列常用积分公式.n1.能运用常用积分公式计算不定积分。n2.能对被积函数进行简单的恒等变换，并通过凑微分法，
43、用常用积分公式求出不定积分。n二、定积分的概念n1.掌握求曲边梯形面积的思想方法。n2.理解定积分的定义，了解定积分值仅与被积函数和积分区间有关，而与表示积分变量的字母无关。n三、定积分的基本性质n1.利用性质计算定积分.n2.能比较一定条件下两定积分的大小，估计a,b上连续函数f(x)的定积分的取值范围。n四、变上限定积分n1.能叙述原函数存在定理.n2.会求变上限定积分对上限x的导函数或微分。n3.回求含变上限定积分的极限、单调区间和极值。n五、定积分的计算方法n1.熟记牛顿莱布尼兹公式的条件与结论,能熟练的运用它计算定积分。n2.能熟练的运用定积分的换元法，了解定积分和不定积分换原法的不
44、同点。n。十一、广义积分n1.会判别一个积分是否为广义积分。n2.会判别积分区间为无穷的广义积分的敛散性，若收敛，能求出广义积分的值。n会判别无界函数的广义积分的收敛性；收敛时，会求广义积分的值十二、定积分的应用n1.能求平面图形的面积；会用定积分计算平面图形绕x轴旋转和绕y轴旋转所得旋转体的体积。n内容提要n一、原函数和不定积分的概念n1.原函数的定义：设f(x)是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数F(x),对该区间上每一点都有nF(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx;n则称该函数F(x)是函数f(x)在该区间上的一个原函数。n说明:(1)若f(x)有原函数，则它必有无穷多个原
45、函数。n(2)若F(x)是f(x)一个原函数，则f(x)的所有原函数都可表示为F(x)+C的形式（C为任意常数）.n2.不定积分的定义：函数f(x)的所有原函数，称为f(x)的不定积分，记作n若F(x)是f(x)的一个原函数，则有其中C称为积分常数。n注意：如果漏写这个任意常数C，就表示一个原函数。可见，原函数和不定积分的关系是个体与全体的关系。求已知函数的不定积分的实质是求出它的一个原函数，再加上任意常数C。n3原函数的存在性。如果函数f(x)在某区间连续，则在此区间f(x)必有原函数。n4不定积分的几何意义。一般的，函数y=F(x)的图象是一条曲线，y=F(x)+C的图象是一个含有无数条形
46、状相同仅位置高低不同（沿y轴平移）的曲线族，其中每一条曲线，在同一个横坐标x=x0处有相同的斜率f(x0)n要从这一族曲线中确定每一条所要求的曲线。需已知所求的那条曲线另外所具备的一个条件（通常叫做初始条件），来确定相应常数C的值。n5不定积分的性质。n（1）f(x)的不定积分的导数等于f(x)，即n它表明：若对一个函数先积分后求导数，则两者作用相互抵消。n（2）F(x)的导数（或微分）的不定积分与F(x)相差一个常数，即n它表明：若对一个函数求导或微分后再求不定积分，两者作用相互抵消后相差一个任意常数。n（3）被积函数中不为零的常数因子可提到积分号前面，即n两个函数的和（差）的不定积分，等于
47、不定积分的和（差）n一、基本积分公式n基本积分公式推导可用导数（或微分）公式和不定积分的定义得到，熟记下列基本积分公式（P426基本积分公式）。直接积分法n1我们把只应用不定积分的性质和基本积分公式求积分的方法，叫做直接积分法。n2在计算积分之前，往往需要对被积函数进行简单的恒等变换，常见的几种恒等变换有：n（1）代数恒等变换，如加减某一项，把被积函数分成两部分，把根式部分写成分数指数形式等。n（2）三角函数恒等变换。n3直接积分发是最基本的积分方法，是换元积分法和分部积分法的基础，务必熟练掌握。n二、第一类换元积分法（凑微分法）n1法则：若已知可微，则有n实际应用形式是：n（凑微分法）可以不
48、必把u写出来，直接计算。n1说明：第一类换元积分法是用的最多的一种重要的积分法，其基本思想是：为了计算积分虽然这个积分不属于基本公式，但被积表达式g(x)dx能分解成两部分之积，一部分能凑成一个可微函数的微分du=，必要时再添加常数，另一部分是属于某个基本积分公式中的函数f(u)与的复合函数，这样n2常见的凑微分形式有：n（a0）n(n0)一、第二类换元积分法n1法则：设单调可微，且若n则其中是反函数。n实际应用形式：（换元）n=F(t)+C（计算积分）n（变量还原）n2作用：第二类换元积分法主要用来消去被积函数中的根号，这类积分的被积函数看来简单，但难于计算，换元后被积函数有理化就便于计算。
49、常用代换形式：n（1）被积函数含有根式作三角代换称为正弦代换。n（2）被积函数含有根式作三角代换，称为正切代换。n（3）被积函数含有根式作三角代换称为正割代换。n被积函数含有作根式代换n1注意变量还原，用上述代换消去根号后，求得的不定积分中常含有变量t的函数。这就需要设法把它们用变量x的函数代回来。对于三角函数，这个回代过程可用一个直角三角形来完成。分部积分法n1 法则：设u(x)、v(x)都是可微函数，且u(x)v(x)及u(x)v(x)均有原函数，则有n或简写：n2分部积分法的关键在于选择u和v，其一般的选择原则是：n（1）使u(x)得导数u(x)比u(x)本身简单。n（2）v(x)的原函
50、数容易求出。n使积分容易计算。适宜用分部积分法计算的不定积分主要类型有n1.会推导并熟记下列常用积分公式：n2.能运用常用积分公式计算不定积分。n能对被积函数进行简单的恒等变换，并通过凑微分法，用常用积分公式求出不定积分。一、定积分的概念n1.掌握求曲边梯形面积的思想方法。n2.理解定积分的定义，了解定积分值仅与被积函数和积分区间有关，而与表示积分变量的字母无关。n一、定积分的基本性质n1.利用性质计算定积分.n2.能比较一定条件下两定积分的大小，估计a,b上连续函数f(x)的定积分的取值范围。n二、变上限定积分n1.能叙述原函数存在定理.n2.会求变上限定积分对上限x的导函数或微分。n3.回
51、求含变上限定积分的极限、单调区间和极值。n三、定积分的计算方法n1.熟记牛顿莱布尼兹公式的条件与结论,能熟练的运用它计算定积分。n2.能熟练的运用定积分的换元法，了解定积分和不定积分换原法的不同点。n3.熟练掌握定积分的分部积分法.n4.掌握定积分计算中换原法和分部积分法的综合运用。十一、广义积分n1.会判别一个积分是否为广义积分。n2.会判别积分区间为无穷的广义积分的敛散性，若收敛，能求出广义积分的值。n3.会判别无界函数的广义积分的收敛性；收敛时，会求广义积分的值。n十二、定积分的应用n1.能求平面图形的面积；会用定积分计算平面图形绕x轴旋转和绕y轴旋转所得旋转体的体积。n内容提要n一、原
52、函数和不定积分的概念n1.原函数的定义：设f(x)是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数F(x),对该区间上每一点都有nF(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx;n则称该函数F(x)是函数f(x)在该区间上的一个原函数。n说明:(1)若f(x)有原函数，则它必有无穷多个原函数。n(2)若F(x)是f(x)一个原函数，则f(x)的所有原函数都可表示为F(x)+C的形式（C为任意常数）.n2.不定积分的定义：函数f(x)的所有原函数，称为f(x)的不定积分，记作n若F(x)是f(x)的一个原函数，则有其中C称为积分常数。n注意：如果漏写这个任意常数C，就表示一个原函数。可见，原函数和不定
53、积分的关系是个体与全体的关系。求已知函数的不定积分的实质是求出它的一个原函数，再加上任意常数C。n3原函数的存在性。如果函数f(x)在某区间连续，则在此区间f(x)必有原函数。n4不定积分的几何意义。一般的，函数y=F(x)的图象是一条曲线，y=F(x)+C的图象是一个含有无数条形状相同仅位置高低不同（沿y轴平移）的曲线族，其中每一条曲线，在同一个横坐标x=x0处有相同的斜率f(x0)n要从这一族曲线中确定每一条所要求的曲线。需已知所求的那条曲线另外所具备的一个条件（通常叫做初始条件），来确定相应常数C的值。n5不定积分的性质。n（1）f(x)的不定积分的导数等于f(x)，即n它表明：若对一个
54、函数先积分后求导数，则两者作用相互抵消。n（2）F(x)的导数（或微分）的不定积分与F(x)相差一个常数，即n它表明：若对一个函数求导或微分后再求不定积分，两者作用相互抵消后相差一个任意常数。n（3）被积函数中不为零的常数因子可提到积分号前面，即n（4）两个函数的和（差）的不定积分，等于不定积分的和（差），即n一、基本积分公式n基本积分公式推导可用导数（或微分）公式和不定积分的定义得到，熟记下列基本积分公式（P426基本积分公式）。n二、直接积分法n1我们把只应用不定积分的性质和基本积分公式求积分的方法，叫做直接积分法。n2在计算积分之前，往往需要对被积函数进行简单的恒等变换，常见的几种恒等变
55、换有：n（1）代数恒等变换，如加减某一项，把被积函数分成两部分，把根式部分写成分数指数形式等。n（2）三角函数恒等变换。n3直接积分发是最基本的积分方法，是换元积分法和分部积分法的基础，务必熟练掌握。n三、第一类换元积分法（凑微分法）n1法则：若已知可微，则有n实际应用形式是：n（凑微分法）n1说明：第一类换元积分法是用的最多的一种重要的积分法，其基本思想是：为了计算积分虽然这个积分不属于基本公式，但被积表达式g(x)dx能分解成两部分之积，一部分能凑成一个可微函数的微分du=，必要时再添加常数，另一部分是属于某个基本积分公式中的函数f(u)与的复合函数，这样n2常见的凑微分形式有：n（a0）
56、n(n0)一、第二类换元积分法n1法则：设单调可微，且若n则其中是反函数。n实际应用形式：（换元）n=F(t)+C（计算积分）n（变量还原）n2作用：第二类换元积分法主要用来消去被积函数中的根号，这类积分的被积函数看来简单，但难于计算，换元后被积函数有理化就便于计算。1常用代换形式：n（1）被积函数含有根式作三角代换称为正弦代换。n（2）被积函数含有根式作三角代换，称为正切代换。n（3）被积函数含有根式作三角代换称为正割代换。n（4）被积函数含有作根式代换n1注意变量还原，用上述代换消去根号后，求得的不定积分中常含有变量t的函数。这就需要设法把它们用变量x的函数代回来。对于三角函数，这个回代过
57、程可用一个直角三角形来完成。一、分部积分法n1法则：设u(x)、v(x)都是可微函数，且u(x)v(x)及u(x)v(x)均有原函数，则有n或简写：n2分部积分法的关键在于选择u和v，其一般的选择原则是：n（1）使u(x)得导数u(x)比u(x)本身简单。n（2）v(x)的原函数容易求出。n（3）使积分容易计算。n3适宜用分部积分法计算的不定积分主要类型有：n（1）被积函数是幂函数与三角函数（如正、余弦函数等）的乘积，简称三角幂积型。这时一般取u(x)=xn或cosxdx。n（1）被积函数是幂函数xn与对数函数mx的乘积，简称对数幂积型，这时一般设u(x)=xn,dv(x)=xndx.n（2）
58、被积函数是指数函数eax与三角函数的乘积，简称三角指数型，这时可任设n（3）被积函数是幂函数xn与反三角函数的乘积，简称反三角函数型，这时一般设u(x)=arcsinx(arctgx),dv(x)=xndxn（1）被积函数是幂函数xn与对数函数mx的乘积，简称对数幂积型，这时一般设u(x)=xn,dv(x)=xndx.n（2）被积函数是指数函数eax与三角函数的乘积，简称三角指数型，这时可任设n（3）被积函数是幂函数xn与反三角函数的乘积，简称反三角函数型，这时一般设u(x)=arcsinx(arctgx),dv(x)=xndxn一、定积分概念n1曲边梯形的概念。在直角坐标系中，有连续曲线y=
59、f(x)，直线x=a,x=a及x轴所围成的图形，叫做曲边梯形。常见的平面图形有以下两类，它可以看作是有两个曲边梯形所夹：n（ 1） 由 曲 线 y=f(x)， y=g(x)及 直 线x=a,x=b所围成。n（ 2） 由 曲 线 x=(y)， x=(y)及 直 线y=c,y=d所围成。n1定积分的定义。如果函数f(x)在区间a,b上有定义，用点a=x0x1xn-11时收敛，当a1时发散。有时为了书写方便，可省去极限符号，如：可简写成x|1+。n2无界函数的广义积分。设函数f(x)在a,b上连续，当xa+时f(x)，若存在，则定义，此时，称广义积分存在或收敛，否则称广义积分发散或不存在。同样可以定
60、义，函数f(x)在a,b上的广义积分或十三、定积分的应用n1平面图形的面积。设函数f(x)和g(x)在a,b上连续，且f(x)g(x)，则由曲线y=f(x),y=g(x)和直线x=a.x=b，所围成的平面图形的面积为若函数x=(y)和在c,d上连续，且，则由曲线和直线y=c,y=d，所围成的平面图形的面积为n2旋转体的体积。设一立体是以连续曲线y=f(x)，直线x=a,x=b(ab)，及x轴所围成的平面图形饶x轴旋转而成的旋转体，则其体积由连续曲线x=(y)，直线y=c,y=d(cd)，及x轴所围成的平面图形饶y轴旋转而成的旋转体体积为n重点n解题指导n一、原函数和不定积分的概念n例1若f(x
61、)是g(x)一个原函数，则（）。n（A）（B）n（C）（D）n解应选（B）。n例2若函数f(x)和g(x)对于区间内每一点都有f(x)=g(x)，则在区间内必有（）。n(A)f(x)=g(x);(B)f(x)+g(x)=0;(C)f(x)+g(x)=1;(D)f(x)=g(x)+C.n解应选（D）。n例3若则在区间（）上可积。n解因为初等函数在其定义区间上连续，所以可积，而的定义区间是0，+，应选（B）。n例4函数在内可积的必要条件是函数在该区间内（）n（A）有界；（B）连续；（C）可导；（D）是初等函数。n解应选（A）。n例5在可积函数的积分曲线族中，每一条曲线在横坐标相同的点上的切线（）。
62、n（A）平行轴；（B）平行轴；（C）相互平行；（D）相互垂直。n解由不定积分的几何意义应选（C）。n例6函数的一个原函数是（）n（A）（B）（C）（D）n解法一用求导方法验证。因为所以是函数的一个原函数。应选（A）。n解法二用不定积分的方法求原函数。应选（A）。n例7设的一个原函数是则（）n（A）（B）；（C）（D）n解nn应选（C）n例8若，则=（）n（A）n解应选（D）。n例9若，则=（）n解因n应选（B）n例10设是的一个原函数，则（）n分析由题设，可用分部积分法计算。n解n应选（B）n例11设，则（）n解利用凑微分法计算nn选择（C）n例题小结不定积分（或原函数）的选择题，有时课根据定
63、义用求导数的方法选取正确答案，有时可利用积分法直接计算积分n一、直接积分法n例12求n解原式=n例13计算n解原式=n说明：根式函数积分时要写成分数指数形式的幂函数。n例14求n解n例15求n解原式=n说明：要熟悉同角三角函数关系式，要注意区别以下几对结果：n与n与n与n一、第一类换元积分法（凑微分法）n例16在下列格式中，指出错误的计算过程：n（2）错在漏写负号上。n（3）错在应该是原式=n（4）错在原式=n说明：在凑微分法计算积分时，要正确使用基本积分公式，不要漏写负号和任意常数C，要努力熟悉基本积分公式在复合函数下的各种形式。建议读者把基本积分公式中的积分变量换成某一个可微函数。以灵活的
64、、熟练的掌握凑微分法。如在中将积分变量x换成函数sinx，则有若将x换成lnx，则有若将x换成arcsinx，则有n例17=（）n（A）-ctgx+sinx+C;(B)ctgx+sinx+C;(C)(D)n解原式=n应选（C）n例18=（）n（A）（B）（C）（D）n解原式=n应选（B）n（A）（B）（C）（D）解原式=应选（A）=（） （B）例20（A）（B）n（C）（D）解原式=应选（A）例21=（）（A）（B）（C）（D）n解原式=n选择（C）n例22求下列不定积分n（1）（2）（3）；n（4）（5）（6）n解（1）原式=n（2）原式=（(1)原式=（(2）原式=（1）原式=原式=原式=
65、说明：四、第二类换元积分法n例23经过变量代换，不定积分=（）（A）（B）（C）（D）解设，原式=应选（B）n例24求不定积分时，为使被积函数有理化，可作变换（）n（B）（A）（C）解应选（C）例25求不定积分分析因不能用凑微分积分法，为消去被积函数中的根式可作代换解令则n说明：为把t的函数代回成x的函数，常用直角三角形法：由可作一个直角三角形，如右图所示，即可求出例26求下列不定积分（1）（2）分析被积函数含有根式或在不能用凑微分法求积分时，可作三角代换或n解（1）令则原式=根据代换式作直角三角形如图所示，得原式=（2）令则原式=根据代换式作直角三角形如图所示，得故原式=例27计算解令，则原
66、式=例28求不定积分分析因令可使被积函数有理化解令则原式=例题小结第二类换元法适用于被积函数中含根式、和的积分，分别作代换x=asint,x=atgt,x=asect和=t其计算步骤是：（1）选择合适的变量代换式，将被积函数有理化。（2）用直接积分法、凑微分法或分部积分法计算新变量的不定积分。变量还原。五、分部积分法例29=（）（A）xcosx-sinx+c (B)xcosx+sinx+C (C)xcosx-cosx+C(D)xcosx+cosx+C解=应选（A）例30=（）(A);(B);(C);(D)解选取u（x）=则原式=选（A）说明：可用求导数验证来选择答案。例31求不定积分分析本题中
67、被积函数是指数函数与正弦函数之积，u（x）可以任意选取，但需两次分部积分，通过一个循环过程求出不定积分。解令则再对用分部积分计算,令=把代入,得所以例32求解设=例题小结求不定积分不同于求导数或微分，它的灵活性、技巧性较高，需要反复练习熟能生巧。掌握不定积分的关键是熟记基本积分公式和法则，熟悉换元积分法和分部积分法的常见类型，注意恒等变换和化简不定积分的计算，有的要用几种方法结合起来才能解决，有的题目可用多种方法求解，以开拓思路，提高解题能力，在解题应先观察分析一下，用什么方法去解决较好，尽可能用各种方法试一试，从中选出较简便的解法。例33求例34求解法一原式=解法二原式=说明：因为两个解的结
68、果；可以互相转用不同方法计算不定积分，其结果可能形式不一样，但却可由导数验证。解法三原式=法例35求原式=例36求积分原式=例37求解原式=例题小结简单有理分式不定积分方法为：（1如（n为正整数），可另ax+b=t计算。n形如，当p时，分母因式分解，把被积分函数拆成两项计算；当p时,用配方法恒等变换，再用凑微分法计算。七定积分的概念及基本性质n例38函数f(x)在闭区间a,b上可积的必要条件是f(x)是（）A有界函数；B。无界函数；C单调函数；D连续函数解应选A。n例39若函数f(x)在a,b上单调增加，则（）A小于f(b)(b-a);B大于f(b)(ba);C.等于f(b)(ba);D小于f
69、(a)(b-a);解由题意知，在a,b上f(x)f(b),根据定积分性质有故选An例40设函数f(x)在a,b上可积，下列各式中不正确的是（）n（A）（C)n（B）n（D）若当xa,b时，f(x)f(x)0,则nn解显然，等式ABC是正确的，只需判别D，有些初学者认为D也正确，其理由时定积分的几何意义是某个曲边梯形的面积，而被积函数不恒为零的曲线梯形面积是不等于0的，其实不然，如积分。显然当x，cosx0问题是在0，中，当xcosx0，而当x时cosx0,与是一对互为相反数，从而例41不计算积分，比较定积分与的大小。n解在内，有，故八变上线函数例六（多选题）设函数在区间上连续，则函数在区间上一
70、定（）A连续；B可导；C可微；D有界；八变上线函数例六（多选题）设函数在区间上连续，则函数在区间上一定（）A连续；B可导；C可微；D有界；n例43（）n(A);(B);(C)(D)n解由变上限函数求导公式可得n选择An说明：在对定积分求导数前，首先应分析这个定积分是常数还是函数，对函数求导时要分清函数变量和积分变量，常见错误时选择D。n例44若,则=（）(A)2;(B)-2;(C)-1;(D)1解=故选(A)例45若函数，则（）(A)0;(B)1;(C)-2;(D)2解应选A例46设，则（）(A)(B)(C)(D)解,应选(A)，注意负号n例47求极限n分析这是型未定式求极限，可用罗彼塔法则计
71、算，分子式变上限函数，求导时要用相应得法则n解原式=n例48设,则=（）n(A)(B)(C)(D)0.n解=nxx0,exx0,应选(C)n例49设f(x)=,则（）n(A)3-e-1;(B)3+e-1(C)3-e(D)3+en解n故选(A)n例50若,则a=（）n(A)1;(B)-1;(C)0;(D)2.n解先计算定积分nn通过简单验算可知a=1时a2-a3=2,故选(B)n例51（）n(A)0;(B);(C)1;(D)2.n解法一n故选n解法二利用偶函数积分的性质计算n说明：解法二比较方便，需加注意的是，函数的算术根要取绝对值，常见错误是：n说明：常见错误是不分区间去掉绝对值符号计算得An
72、例题小结分段函数作为被积函数得定积分，要分成若干个定积分计算，当被积函数含有绝对值符号时，写出相应得分段函数，然后利用定积分得区间可加性计算n例54下列积分中，其值为0得是（）n（A）（B）n（C）（D）n解因是奇函数，1，-1是对称与坐标原点的区间，所以n故选（B）n当n当时n在计算定积分时，要尽量利用上诉结果，简化计算n例55设为偶函数且连续，则（）n（A）F（x）（B）n（C）0（D）以上都不对nn解由已知则n选择（B）n说明：解题过程中根据定积分值的大小与表示积分变量的字母无关，利用了例56定积分做适当变换后应等于（）（A）（B）（C）（D）解令则，当从0变到19时，从2变到3故选（A
73、）例57解令则，当从0变到3时，从1变到2，所以例58求解令则，当x从0变到ln2时，t从0变到1，所以例59求解令则，当x从0变到2时，t从0变到，所以例60设上连续，且，求分析该题用到换元积分法，把解在应用定积分换元时，应注意两点：在应用第一换元法计算定积分时，若没有引进新的变量，则积分不应改变，通常，换元要换限（1）在应用定积分换元法时，要检验是否满足定理条件，如若作代换，当x从-1变到1时，t亦从-1变到1由此知，得该结果显然是错误的，其原因是在积分区间1,-1上不符合有连续导数这一条件例61分析被积函数是单项式x与三角函数的乘积，用分部积分法解取则例62求分析被积函数是单项式与指数函
74、数的乘积，宜用分部积分法解取则从而四广义积分例63下列广义积分发散的有（）(A)(B)(C)(D)解应选(C)例64广义积分()(A)(B)(C)(D)解应选(A)例65下列广义积分收敛的是（）(A)(B)(C)(D)解因为故应选(C)例66若则a=()(A)1(B)(C)(D)解由题设知2a=1,a=，应选说明：计算中用到，可用罗彼塔法则计算。例67求分析在积分区间2,6中，x=4是无穷间断点，即时，故积分是无界函数的广义积分，必须用广义积分的定义计算解说明：常见的错误解法是，没有注意到积分是广义的，用牛顿莱布尼范公式计算如下：尽管结果对，做法似乎简单，但解法错误，被积函数在2，6上不连续（
75、有无穷间断点）“，不能应用牛顿莱布尼兹公式计算，这一点请读者特别注意。五、定积分的应用例题小结定积分的计算主要有牛顿莱布尼兹公式法，换元积分法和分部积分法，计算定积分之前，先要观察它是普通定积分还是广义定积分（特别要注意无界函数的广义积分），是否可以利用奇偶函数在对称于原点的区间上积分的性质简化计算，然后选用积分法（类似于不定积分的计算）计算，注意换元要换限。例68设平面图形由所围成，求：（1）此平面图形的面积：（2）将上述平面图形绕X轴旋转，求所形成旋转体的体积。解（1）画出平面图形的草图，求出交点（0，1）、（0，e）、（1，e），平面图形面积（2）所求旋转体体积可看成矩形（）绕X轴旋转形
76、成的圆柱体体积减去曲边梯形（）绕X轴旋转成的旋转体体积之差，即说明：利用定积分计算面积和旋转体体积时，先画出平面图形的草图是很必要的，这样有利于选择积分变量，确定积分上下限，不少学员不画草图，或指明的平面图形没有找对，导致计算结果错误。例69（1）求由曲线，直线y=4x及x=2所围成的平面图行的面积；（2）求由上述图形绕X轴旋转而得到的旋转体体积。解（1）画出草图，求出交点坐标，如图，对x积分例70设平面图形是由曲线，y=x,及y=2x所围成，（1）求此平面图形的面积（2）求此平面图形绕X轴旋转所生成的旋转体体积公式解（1）如图，所求图形面积应以过N点垂直于X轴的直线为界，分成左右两部分，计算
77、其和，（2）同样，所求旋转体体积由（1）指明的两部分平面图形X轴旋转而形成的旋转体体积之和，即说明：对于复杂的平面图形，需适当分块后计算面积或旋转体体积，计算面积时，有时还需要恰当地选择积分变量，使定积分容易计算。例71求由抛物线所围成的平面图形的面积。解画草图，求交点，有方程组解得A（1，1），B（1，-1），有两种解法：（1）若以X为积分变量，由图形关于x轴对称，所求面积S为（1）以y为积分变量说明：上述解法中第（2）中解法较简单，它不用分块计算，我们应恰当得选择积分变量，以避免分块计算例题小结：利用定积分求平面图形面积，一般步骤如下：（1）画平面区域草图（要熟悉常用二次曲线等图形）（2）
78、求出边界曲线的交点坐标（3）根据图形选择积分变量，决定以x为积分变量还是以y为积分变量（4）确定积分区间和被积函数（5）代入公式计算定积分例72求曲线所围成的两个中较小的平面图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体的体积解画平面图形草图，两曲线的交点坐标为：（说明：计算旋转体体积时常见错误是记错公式，如 设f(x)在0，1上连续且f(x)1,又F（x）=（2x-1） ,求证在0，1内只有一个零点。 证明F(x)=，由此可知函数F（x）在0，1上连续且单调增加，F（x）在0，1上至多只有一个零点，又（理由是在0，1上f(x)1,故）根据闭区间连续函数的性质，可知F（x）在0，1内至少有一个零点。综合以上两点得：F(x)例73证明分析利用定积分的基本性质和求函数最大（小）值来证明。解设，则在上连续，令得驻点=0，又所以f(x)在上的最小值为，最大值为1，根据定积分的性质有
