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1、随机变量相互独立的定义随机变量相互独立的定义 课堂练习课堂练习小结小结 布置作业布置作业第四节第四节 相互独立的随机变量相互独立的随机变量两事件两事件 A , B 独立的定义是：若独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件 A , B 独立独立 .设设 X,Y是两个随机变量，若对任意的是两个随机变量，若对任意的x,y,有有 则称则称 X 和和 Y 相互独立相互独立 .一、随机变量相互独立的定义一、随机变量相互独立的定义用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个随机变量，若对任意的是两个随机变量，若对任意的x,y,有有则称则称 X 和和 Y 相互独立相互独立 . 它
2、表明，两个随机变量它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .其中其中是是X和和Y的联合密度，的联合密度， 几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称 X 和和 Y 相互独立相互独立 .对任意的对任意的 x, y, 有有 若若 (X,Y)是连续型随机变量，则上述独立性是连续型随机变量，则上述独立性的定义等价于：的定义等价于：这里这里“几乎处处成立几乎处处成立”的含义是：在平面上除的含义是：在平面上除去面积为去面积为 0 的集合外，处处成立的集合外，处处成立.分别是分别是X的边缘密度和的边缘密度和Y 的边缘密度
3、的边缘密度 . 若若 (X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性的是离散型随机变量，则上述独立性的定义等价于：定义等价于：则称则称 X 和和Y 相互独立相互独立.对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi , yj),有有二、二、例例1 若若，具有联合分布律具有联合分布律问问X和和Y是否独立？是否独立？解解 PX=0,Y=1=1/6=PX=0 PY=1 PX=0,Y=2=1/6=PX=0 PY=2 PX=1,Y=1=2/6=PX=1 PY=1 PX=1,Y=2=2/6=PX=1 PY=2因而，是相互独立的因而，是相互独立的再如第二节的例中随机变量和，由于再如第二节的例中随机变量和，由于D=
4、1,F=0=1/10 D=1PF=0,因而因而F和和D不是相互独立的不是相互独立的 例例2 二维正态随机变量二维正态随机变量 (X,Y)的概率密度的概率密度为为问问X和和Y是否独立？是否独立？解解 由第二节中例由第二节中例5知道知道,其边缘概率密度其边缘概率密度的乘积为的乘积为因此因此,如果如果 , 则对于所有则对于所有x ,y 有有即即X , Y 相互相互 独立独立 .反之反之,如果如果X , Y 相互独立相互独立,由于由于 都是连续函数都是连续函数,故对于所有的故对于所有的x, y 有有 . 特别特别, 令令 自这一等自这一等式得到式得到 从而从而 .综上所述综上所述,可得以下结论可得以下
5、结论:对于二维随机变量对于二维随机变量(X, Y), X和和Y相互独立的充要条件相互独立的充要条件是参数是参数 . 例例3 一一负负责责人人到到达达办办公公室室的的时时间间均均匀匀分分布布在在812时时,他他的的秘秘书书到到达达办办公公室室的的时时间间均均匀匀分分布布在在79时时, 设设他他们们两两人人到到达达的的时时间间相相互互独独立立, 求求他他们们到到达达办办公公室室的时间相差不超过的时间相差不超过5分钟分钟(1/12小时小时)的概率的概率. 解解 设设X为负责人到达时间为负责人到达时间,Y为他的秘书为他的秘书到达时间到达时间由假设由假设X, Y的概率密度分别为的概率密度分别为所求为所求
6、为P( |X-Y | 1/12) ,由独立性由独立性先到的人等待另一人到达的时间不先到的人等待另一人到达的时间不超过超过5分钟的概率分钟的概率记记G=|X-Y | 1/12,所以所以被积函数为常数，被积函数为常数，直接求面积直接求面积P( | X-Y| 1/12 ) (此图以分钟为单位此图以分钟为单位)类似的问题如：类似的问题如： 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小时，乙船需停泊小时，乙船需停泊2小时，而该码头小时，而该码头只能
7、停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率的概率. 在在某某一一分分钟钟的的任任何何时时刻刻，信信号号进进入入收收音音机机是是等等可可能能的的. 若若收收到到两两个个互互相相独独立立的的这这种种信信号号的的时时间间间间隔隔小小于于0.5秒秒，则则信信号号将将产产生生互互相相干干扰扰. 求求发发生生两两信信号互相干扰的概率号互相干扰的概率.盒内有盒内有 个白球个白球 , 个黑球个黑球,有放回地摸有放回地摸球球 例例4 两次两次. 设设第第1次摸到白球次摸到白球第第1次摸到黑球次摸到黑球第第2次摸到白球次摸到白球第第2次摸到黑球次摸到黑球试求试求 (
8、1) 的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律;(2) 判断判断 的相互独立性的相互独立性;(3) 若改为无放回摸球若改为无放回摸球,解上述两个问题解上述两个问题.(1) 的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律解解如下表所示如下表所示 :(2) 由上表可知由上表可知故故 的相互独立的相互独立.(3) 的联合分布律及边缘分布律如下的联合分布律及边缘分布律如下表所示表所示 :故故 不是相互独立不是相互独立.由上表知由上表知 :可见可见三、多维随机变量的一些概念三、多维随机变量的一些概念上面说过，上面说过，n维随机变量维随机变量 的分布函数定义为的分布函数定义为其中其中 为任意实数
9、为任意实数.如存在非负函数如存在非负函数 ,使对于任意实数使对于任意实数 有有则则 称为称为 的概率密度函数的概率密度函数.四、课堂练习四、课堂练习 1. 设随机变量设随机变量 (X,Y) 的概率密度是的概率密度是问问 X 和和 Y 是否相互独立是否相互独立? 2. 证明证明 对于二维正态随机变量对于二维正态随机变量 (X,Y) , X 和和 Y 相互独立的充要条件是参数相互独立的充要条件是参数 . 这一讲，我们由两个事件相互独立的概念这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念. 给出了各给出了各种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学们牢固掌握们牢固掌握 .五、小结五、小结六、布置作业六、布置作业概率统计标准化作业概率统计标准化作业 (三三)
