《线性代数课件-第3章 线性方程组-精品文档整理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件-第3章 线性方程组-精品文档整理（96页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本章主要讨论线性方程组的解的基本理论,包括非齐次线性方程组 有解的条件,齐次线性方程组 有非零解的条件,以及有无穷多解时,怎样表示等问题.为此,需要引进向量的概念,定义向量的线性运算,研究向量的线性相关性,讨论矩阵及向量组的秩等概念.第3章 线性方程组3.1 n 维向量及其线性相关性如果n个分量全为零，叫做零向量，用0 表示;全体 n维实向量组成的集合记作Rn .常用 , , 等表示n维向量.1n维向量的概念 定义3.1 由 n 个数a1,a2,an 组成的有序数组称为n 维向量,记作(a1,a2,an)，其中ai 称为第i个分量.如果ai(i=1,2,n)是实(复)数叫做实(复)向量行向量是
2、1n矩阵,记作(a1,a2,an)；列向量是n1矩阵,记作(a1,a2,an)T(1) = 当且仅当 ai=bi ， i=1,2,n(2) 与 之和: + =(a1+b1, a2+b2, an+bn)(3)数与 之乘积: =(a1,a2,an)，简称数乘.这里,F为数域2向量的线性运算定义3.2 设 =(a1, a2, an) Fn, =(b1, b2, bn)Fn, F(4) 与 之差: =k=1时， =( a1, a2, an) +( ) 加法满足4条运算律：(1) + = + ；(2)( + )+ = +( + )； (3) 有 +0n = ；(4) 有( ) ,使 +( ) =0n。向
3、量的加法与数量乘法统称为向量的线性运算，其运算规律与矩阵的相同,例如: , Fn,F有： 1 = ；数乘满足4条运算律： ( )=() ； ( + )= + ；(+) = + 。(1) 有0 =0;k0=0(2)若k =0，则 =0或k=0(3)向量方程 +x= 有唯一解: x= 定义3.3 数域F上的全体n维向量，在其中定义了上述的加法和数乘运算,称为数域F上的n维向量空间，记作Fn(Rn为实空间)例 设，又，求解：定义3.4 设 i Fn,iF(i=1,2,m),则称向量 =1 1+2 2+m m(1)为向量组 1, 2 , , m的线性组合，或者说 可用 1, 2 , , m线性表示。(
4、1)式也可表示为：A x = ，此时 1, 2 , , m , 为列向量，矩阵A= 1, 2 , , m，x= 1, 2 , , nT可用 1, 2 , , m线性表示 的充分必要条件是线性方程组有解。我们有如下结论：3向量组的线性组合（判断线性组合的充要条件）事实上，设（1）式为相当于线性方程组例如，在R3中，任一向量 =(a1, a2, a3) 可由基本向量e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)线性表示为 = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3在R3中，如果三个向量 1, 2, 3共面，则至少有一个向量可以由另两个向量线性表示，如图，如果三个向量 1, 2
5、, 3不共面，则任意一个向量都不能由其余两个向量线性表示，如 1= a1 e1 ， 2= a2e2， 3 = a3 e3 3 =k1 1+ k2 2 2 3 1 k2 2k1 1“否则”是指：不线性相关就是线性无关，“仅当1, 2,m全为零时，才使(*)式成立”。亦即“如果(*)式成立，则1, 2,m必须(只能)全为零”。如向量组线性相关； 而向量组则线性无关。4向量组的线性相关性 定义3.5 设 1, 2, , mRn ,如果存在不全为零的1, 2,mR ,使成立，则称 1, 2, , m线性相关，否则，线性无关 1 1+2 2+m m=0 （*）定理3.1 向量组 1, 2, , m(m2
6、)线性相关的充要条件是 1, 2, , m中至少有一个向量可由其余向量线性表示。证:(必要性)设 1, 2, , m线性相关，则存在不全为零的数1, 2,m,使得1 1+2 2+m m=0不妨设10,于是 1=112 2 11m m(充分性)若 1, 2, , m中的一个向量可由其余向量线性表示，如 j = 1 1 + j1 j1 +j+1 j+1 + m m则1 1 + j1 j1 j + j+1 j+1 + m m=0其中1, j1,1, j+1, , m不全为零，充分性得证。例1 证明Rn中的 e1, , e2, , , en 是线性无关的。其中 = (0,0,1,0,0)是第i 个分量
7、为1(i=1,2,n）其余分量全为零的向量。定理3.1 的等价命题： 1, 2, , m(m 2)线性无关的充要条件是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示证明：设1e1 + 2e2 + + mem=0可得(1, 2, , n)=(0,0,0)必有1 = 2 = = n=0.注意:(1) 单个向量 线性相关的充分必要条件是： 为零向量因为0使=0成立的充要条件是 = = 0 0； 例2 含零向量的任何向量组0, 1, 2, , m都线性相关。因为10+0 1+0 2+0 n=0(2)两个非零向量 ， 线性相关的充分必要条件是： ， 成比例即存在 k 或 l 。(3)R3中三个向量 ， ， 线性
8、相关的充分必要条件是 ， ， 共面例3 如果向量组 1, 2, , m中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关证：不妨设 1, 2, , k（kn时都线性相关。证明:因为s个未知量,n个方程的齐次线性方程组必有非零解，即sn时Ansx=0 0 有非零解,从而s个n维向量必线性相关。定理3.3 若向量组 1, 2, , r 线性无关,而向量组 , 1, 2, , r 线性相关,则 可由 1, 2, , r 线性表示，且表示法唯一。 证： 由于向量组 , 1, 2, , r 线性相关，所以存在不全为零的数 , 1 , 2 , ,r使得 + 1 1 + 2 2 + + r r=0其中 必不等于
9、零(如果=0,则由 1, 2, ， r 线性无关,可得1 , 2 , , r全为零，与题设矛盾),于是 = 1 1 1 1 2 2 1 r r即可由 1, 2, , r线性表示。则Rn中任一个向量 可由 1, 2, , n 线性表示，且表示法唯一。推论如果 1, 2, , n是Rn 中线性无关的n个向量,下面用反证法证明表示法唯一。不妨设： = b1 1 + b2 2+br r = c1 1 + c2 2+cr r于是，(b1 c1) 1 + ( b2 c2) 2 +( br cr) r=0而 1, 2, , r线性无关，所以bi = ci ( i = 1,2, r ),故 由 1, 2, ,
10、 r 表示是唯一的这是因为Rn 中任何n+1个向量都线性相关。故 ， 1, 2, , n线性相关，由定理3.3，向量可由 1, 2, , n 线性表示，且表示法唯一。例4(1)a 取何值时， 1=(1,3,6,2)T, 2=(2,1,2,1)T, 3=(1,1,a,2)T线性无关？(2)a = 2时， 3可否由 1, 2线性表示？若可以，求表示式。解 (1)设x1 1x2 2x3 30(*)线性无关.得x2=4/5，x1=3/5所以，解 (2)设 3x1 1x2 2(*)例5若问：解是否线性无关？思考：由定理3.2，若向量组 1, 2, , r线性无关,对每一个 i 各增加m个分量得到的向量组
11、 1, 2, , r也线性无关。其逆否命题是什么？定义3.6向量组 1, 2 , s中存在r个线性无关的向量 i1, i2 , ir且向量组 1, 2 , s中任意一个向量均可由它们线性表示,则称向量组 1, 2 , s的秩为r(数字)，记作秩 1, 2 , sr或r 1, 2 , sr并称 i1, i2 , ir是一个极大线性无关组。注意：一个向量组的秩是唯一确定的，但它的极大线性无关组不是唯一的。例如 1(1,0); 2(0,1); 3(1,2); 4(2,1)秩 1, 2 , 3, 42其中任意两个 i, j(i, j=1,2,3,4且ij )都线性无关，都是 1, 2 , 3, 4的一
12、个极大线性无关组。3.2 向量组的秩及其极大线性无关组 定义3.7 若向量组 1, 2 , k 中每个向量均可由向量组 1, 2 , s线性表示，则称 1, 2 , k可由向量组 1, 2 , s线性表示。如果它们可以互相线性表示，则称它们等价，记作 1, 2 , s 1, 2 , k 定理3.4设向量 1, 2 , s可由另一向量组 1, 2 , r 线性表示。如果sr,则 1, 2 , s线性相关。在R3中的几何背景是：如果 1, 2线性无关, 1, 2, 3可由 1, 2线性表示，则 1, 2, 3都位于 1, 2所确定的平面上,故 1, 2, 3线性相关。证 :设j=1,s再设x1 1
13、+x2 2+xs s= 0(交换和号顺序)中 i(i =1,2,n)的系数全为零,即（i =1,r）（*）令推论(1)(定理2.5的等价命题): 若 1, 2, s线性无关,则s r。故 1, 2, s线性相关。此式是关于x1, x2,xs的齐次线性方程组，由于r s（方程个数 未知数个数 ), 必有非零解，从而有不全为零的 x1 , x2 ,xs 使 (*) 式成立，即有不全为零的x1 , x2 , xs 使x1 1+x2 2+xs s= 0推论(2)若秩 1, 2 , sr,则 1, 2 , s中任意 r +1个向量都是线性相关的。因为任意r +1个向量都可经线性无关的r个向量线性表示。若
14、秩 1, 2 , sr,则 1, 2 , s中任意r个线性无关的向量都是 1, 2 , s的一个极大线性无关组。推论(3) 若向量组1, 2 , k 可由向量组 1, 2 , s线性表示，则秩 1, 2 , k 秩 1, 2 , s 证 设 1, 2 , r和 1, 2 , p 分别是 1, 2 , k 和 1, 2 , s 的一个极大线性无关组，则 1, 2 , p 线性表示，由推论(1)得r p。 1, 2 , r可经 1, 2 , k线性表示。 已知 1, 2 , k 可由 1, 2 , s 线性表示， 又 1, 2 , s可经其极大线性无关组 1, 2 , p线性表示。因此， 1, 2
15、 , r可经推论(4)的逆命题不成立。例如， 1(1,0，0); 2(0,1,0); 3(0,0,1)秩 1, 2=秩 1, 32但 1, 2和 1, 3不是等价向量组。除掌握秩和极大线性无关组的定义外，还要掌握秩和极大线性无关组的求法，以及向量组中的一个向量如何用极大线性无关组线性表示。这在下一节中讲。推论(4) 若向量组 1, 2 , k 1, 2 , s，则 秩 1, 2 , k秩 1, 2 , s3.3 矩阵的秩 相抵标准形 A的n个列(m个行)向量组成的向量组的秩称为A的列秩(行秩)。方程 x1 1+x2 2+x3 3=0,易得只有零解 ，三个行向量 1, 2, 3线性无关，A的行秩
16、=3。方程y1 1 + y3 3 + y4 4=0也只有零解 ，三个列向量 1, 3 , 4线性无关，且任意4个列向量线性相关。所以A的列秩=3。定义3.8 矩阵A=(aij)mn的每一列(行)称为A的一个列(行)向量。A的列秩n；A的行秩m1.1.矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩在阶梯形矩阵中，非零行的行数=A的行秩=A的列秩。(3)将A的第i行乘常数c加到第j行得到B，则B的行向量组 1, , j , m为 j=c i+ j ; k= k (kj)。相应地也有 j= j c i ; k= k (kj).因此A与B的行向量组可以 互相线性表示（等价）.所以A与B的行秩相等。定理3.5初等行（列）变
17、换不改变矩阵的行（列）秩. 证证：只需证明作一次倍乘，倍加和对换行变换，A的行秩不变.设mn矩阵A的m个行向量为 1, 2 , m.(1)将A的第i, j行对换得到B,则B与A的行向量组相同（只 是排列顺序不同），故A,B的行秩相等.(2)将A的第i 行乘非零常数c得到B,则B的行向量组为 1, i-1, c i , i+1, m，它与A的行向量组等价. 因此A与B的行秩相等.所以，初等行变换不改变矩阵的行秩.同理，初等列变换不改变矩阵的列秩.证：证：对A做行变换化为B，即B=PkP2P1A,其中PkP2P1为若干初等矩阵的乘积，记P= PkP2P1(P可逆)，则PA=B或P j = j ,
18、j=1,2,s所以，A1 与 B1的列向量组有相同的线性相关性。 齐次线性方程组A1x=0 与 B1x=0(即PA1x=0）为同解方程组记A1= i1, i2 , ir, B1= i1, i2 , ir, 则有相同的线性相关性则向量组 i1, i2 , ri 与 i1, i2 , ir （1i1 i2 ir s)定理3.6 对矩阵A作初等行变换化为B,则A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性。即这个定理给出了求向量组的秩及其极大线性无关组的一个简单而有效的方法。推论：对矩阵A做初等行变换，不改变A的列秩解：对A= 1T, 2T, 3T, 4T, 5T(将 i竖排)作初等行变换，将其化为阶
19、梯形矩阵U，即例1求向量组 1, 2, , 5的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示。其中 1=(1,1,0,0), 2=(1,2,1,1), 3=(0,1,1,1)， 4=(1,3,2,1), 5=(2,6,4,1)( i为行向量)记阶梯形矩阵U= 1, 2, 3, 4, 5 。U中每个非零行第一个非零元所在的第1, 2, 4列 线性无关， 所以， 1, 2, 4 是U的一个极大线性无关组， 从而， 1T, 2T, 4T是A的列向量组的一个极大线性无关组。即 1, 2, 4是 1， 2， 3， 4， 5的一个极大线性无关组。 3, 5可以用 1, 2, 4线性表示，
20、做法如下：(1)设x1 1+x2 2= 3， 此非齐次方程组的增广矩阵为 1， 2， 3，用高斯消元法（初等行变换）化为U中的前三列，其同解方程组为x1x20,x21，解得：x1x2=1。所以， 3 1+ 2。(2)设x1 1+x2 2+x4 4= 5，同理，方程组的增广矩阵经初等行变换化为U中的第1，2，4，5列,得同解方程组 3, 5用 1, 2, 4线性表示的另一个做法如下：解得从而设x1 1T+x2 2T+x3 3T+x4 4T+x5 5T=0此齐次方程组的系数矩阵A用初等行变换化为U，对U再做行变换得U1.其同解方程组为实际上，由定理3.6，我们可以知道矩阵的列向量组与矩阵的列向量组
21、有相同的线性相关性。设显然，有因此，同样有练习解:设由定理3.5和定理3.6的推论得定理3.7初等变换不改变矩阵的行秩和列秩定理3.8矩阵A的行秩=A的列秩证：对A做初等行变换，将其化为阶梯形矩阵U，则A的行秩=U的行秩=U的列秩=A的列秩定义3.8 A的行秩=A的列秩,统称为A的秩，记作秩(A)，或r(A).对n阶矩阵A，r(A)=n时称为满秩矩阵定理3.9 n阶矩阵A，r(A)=n的充要条件是 A为非奇异矩阵（即A0）。 证：若r(A)=n，则对A做初等行变换，将其化为阶梯形矩阵U，则U有n个非零行，可以继续将U化为单位矩阵I,即存在可逆矩阵P使得PA=I。所以，PA=PA=1,故A0。若
22、A0，则Ax=0 只有零解x=A10=0,A的n个列向量线性无关，故r(A)=n。定义3.9矩阵A=(aij)mn的任意k行(i1i2ik行)和任意 k列(j1j2jk列)的交点上的k2个元素排成的行列式称为矩阵A 的一个k阶子式(k 阶子式)。等于零的k 阶子式,称为k阶零子式,否则叫做非零子式。当jt= it ( t=1,2,k )时，称为A的k阶主子式。2.矩阵的行列式的秩=矩阵的秩矩阵A若存在r阶非零子式且所有r+1阶子式都等于零，则矩阵A的非零子式的最高阶数为r（因为由行列式的展开可知更高阶的子式也都等于零），并称r为A的行列式的秩。 证证必要性。设秩(A)=r,不妨设A的前r行线性
23、无关。记 A的任意r+1个行向量线性相关，所以 A的任意r+1阶子式都等于零(*)。由(*)和(*)得A的行列式的秩为r.其中Ar是r阶方阵,r(A1)=r。不妨再设A1的前r列向量线性无关,即r(Ar)=r,故|Ar|0.即存在一个r阶子式不等零（*），A1=ArB定理3.10 秩(A)=r的充要条件是A的非零子式的最高阶数为r充分性。不妨设A的左上角r阶子式|Ar|0，则Ar可逆,Ar的r个行向量线性无关,添分量成为A1的行向量组也线性无关。而A中任何r+1行线性相关（否则，由必要性的证明可知A中存在r+1阶非零子式）。故矩阵A的行秩=秩(A)=r。3. 矩阵的秩的性质(1)对任意的Amn
24、，都有:秩(A)minm,n和秩(AT)=秩(A);(2)秩(A+B)秩(A)+秩(B);证：设Amn= 1, 2, n,Bmn= 1, 2, , n ,秩(A)=p,秩(B)=q， 1, , n和 1, , n的极大线性无关组(2)分别为 1, , p和 1, , q ，则 (3) A+B= 1+ 1, 2+ 2, , n + n (4)A+B的列向量组可以由向量组 1, 2, n, 1, , n线性(5)表示。所以，r(A+B) r( 1, 2, n, 1, , n)p+q。(3)秩(AB)min秩(A),秩(B);证：设A，B分别是mn和ns矩阵，A依列分块有AB的列向量组可以由A的列向
25、量组 1, , n线性表示,所以，r(AB)=AB的列秩A的列秩=r(A)类似地，对B依行分块，可以证明r(AB) r(B).或利用r(AB)=r(AB)T)=r(BTAT)r(BT)=r(B)证:秩(PA)秩(A),由P1(PA)=A，得:秩(A)秩(PA)所以秩(PA)=秩(A);同理可证明其他情形。证：由于秩(ATA)秩(A)minm,n=mn，而ATA是n阶矩阵，故ATA是不可逆矩阵，于是|ATA|=0。(4)设A为mn矩阵，P和Q分别是m和n阶可逆矩阵,则秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)例2设A为mn矩阵，且mn),秩(A)=n. 证明：存在nm矩阵B,使BA=In.证
26、：A是mn矩阵，秩(A)=n, 则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得则其中01是(mn)n零矩阵;02是n(mn)零矩阵故存在nm矩阵B=CP,使BA=In 解:若a=1,则A的各行成比例，r(A)=1。所以，排除a=1例4.设n阶矩阵(n3)若矩阵A的秩为n或n1，则a必为_(1)若k=1+(n1)a 0即第一列乘再将各行减去第一行，得到利用初等变换不改变矩阵的秩，将A的各列加到第一列可知a1且时， r(A)=n(2)若所以，r(A)=n1即k=1+(n1)a =0,将A的各列加到第1列,第一列接着将第2，n行各行都减去第1行;再将第2，,n行各行都乘加到第1行，将第1行化为全零行都为
27、0;例5. 设,已知r(A)=2,求t解：利用初等变换不改变矩阵的秩，将A化为B。B中第2，3行成比例,由3.4 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构1.齐次线性方程组有非零解的充要条件x1 1+x2 2+xn n=0以Amn为系数矩阵的齐次线性方程组 Ax=0 ,当A按列分块为A=( 1, 2, n),列向量x=x1, x2, xn T 时，方程组表示为向量方程：定理3.12齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是r(A)=r( 1, 2, n)n，或 1, 2, n线性相关.当r(A)=r时，对A做初等行变换，可化为行阶梯形矩阵: 与 为同解方程组, 有非零解的充要条件:rn 证：设B
28、=(b1, b2, bn)，AB=0,即A (b1, b2, bn)=(A b1, A b2, A bn)=(0,0,0)。例1 设A A是n阶矩阵，证明：存在ns矩阵B0,使得AB=0的充要条件是: : A = =0。A bi=0（i=1,2,n)意味着B的每一列都是A x=0 的解。由 B0，即A x=0 有非零解。所以，A =0。 反之，若A =0，A x=0有非零解。取非零解为 B 的 s 个 列向量。则 B 0, 且AB=0。推论2： A为n阶矩阵时,Ax=0 有非零解的充要条件: :A=0推论1： A为mn矩阵,Ax=0 只有零解的充要条件: :r=n2. 2. 齐次线性方程组解的
29、结构定理3.13 齐次线性方程组Ax=0 的任意两个解x1，x2 的线性组合k1 x1+k2x2(k1 ,k2为任意常数) 也是它的解证：因为A(k1 x1+k2x2)= k1 A x1+k2 Ax2= k1 0+k2 0=0定义3.13 设x1,x2,xp是Ax=0 的解向量，且Ax=0 的任意一个解向量都可由x1,x2,xp线性表示，则称x1,x2,xp为Ax=0的一个基础解系.由定理3.13知道,基础解系的任意线性组合也都是Ax=0的解，称x=k1x1+ k2x2+ kpxp(其中k1, k2,kp 为任意常数）为Ax=0的一般解（通解）.Ax=0的基础解系不是唯一的，但基础解系所含向量
30、的个数一定是n r.任意一个基础解系的线性组合都是Ax=0的通解.证：对A作初等行变换，化为行简化阶梯形矩阵，不妨设为U，即则Ax=0 与U x=0为同解方程组.3. 求Ax=0 的基础解系的常用方法定理3.14设A是mn矩阵，r(A)=rn,则齐次线性方程组 Ax=0 存在基础解系，且基础解系包含nr 个解向量.，即选xr+1,xr+2,xn为自由未知量，对它们取下列n r组值 (1,0,0),(0,1,0),，(0,0,1)再分别代入(*)，即可得到Ax=0 的n r个解：x1=(c1,r+1, c2,r+1, , cr,r+1,1,0,0)Tx2=(c1,r+2, c2,r+2, , c
31、r,r+2,0,1,0)Txn-r=( c1,n , c2,n, ， cr,n,0,0,1)T这n r个解显然是线性无关的（增加分量不改无关性），(*)且x*= k1x 1+k2x 2+kn-rxn-r也是Ax=0的解。U x=0下面证明:Ax=0 的任意一个解向量都可由x1,x2,xn-r线性表示.设Ax=0 的任意一个解向量为x，可取自由未知量xr+1,xr+2,xn和任意常数k1,k2,kn-r,代入(*)得 x=（d1,d2,dr,k1,k2,kn-r)Tx- x*也是Ax=0的解显然, 所以 x1,x2,xn-r是齐次线性方程组Ax=0的基础解系.x =x*= k1x1+k2x2+k
32、n-rxn-r可由x1,x2,xn-r线性表示.x x*=（d1,d2,dr,k1,k2,kn-r)T (k1x 1+k2x 2+kn-rxn-r)=（d1,d2,dr,k1,k2,kn-r)T k1(c1,r+1,c2,r+1,cr,r+1,1,0,0)T k2(c1,r+2,c2,r+2,cr,r+2,0,1,0)T kn-r(c1,n,c2,n,，cr,n,0,0,1)T= (d1*,d2*,dr*,0,0,0)T是自由未知量xr+1,xr+2,xn全部取0时的解，此时由(*)得x1=xr=0，即d1*=d2*=dr *=0，所以，x x*=0，即 例2求方程组 Ax=O O 的基础解系
33、和一般解。其中Ax=0的一般解为： x = k1 x1+k2 x2，即x= k1(3,1,0,0,0)T + k2(7,0, 2,0,1)T 解 对A做初等行变换，将A化为行简化阶梯形矩阵U:选x1,x3,x4为主元，x2,x5为自由未知量，取x2=0,x5=1，得x2=(7,0,2,0,1)T,取x2=1,x5=0得x1=(3,1,0,0,0)T。 r(A)=3, n-r=2x1，x2为Ax=0一个基础解系（k1，k2为任意常数）r(B)秩 1, 2 , s nr(A), 即 r(A)+r(B)n 证：记B=( 1, 2 , s) （ i 为B的第i 列向量）。由AB=0 ，得 A i=0
34、(i=1, s),即 1, 2 , s都是Ax=0的解， 又Ax=0 的基础解系含nr(A)即个解， Ax=0 的任意一组解中至多包含nr(A)个线性无关的解，所以，例3 若AmnBns=0,则r(A)+r(B)n*例4 设A是mn实矩阵，证明：r(ATA)=r(A).证： 由秩的性质知r(ATA)r(A)，只需证明r(ATA)r(A)只要证明：ATAx=0的解集合包含于Ax=0 的解集合设(ATA)x=0 (xRn)，则xT(ATA)x=0 ，即(Ax)TAx=0 .令Ax= (b1, b2, bm) Rm（实向量），则(Ax)TAx=b12+ b22+bm2=0 ，故必有b1=b2= bm
35、=0，即Ax=0 .因此，ATAx=0的解必满足方程Ax=0，所以，n r(ATA)nr(A),即r(ATA)r(A).例5 5.设r(Bm3)=2,(m3)问：（1）a, b 满足什么条件时，将确保r(AB)=2;（2）A, B 满足什么条件时，r(AB)=1?由r(Bm3)=2，不妨设B=（x1, x2, x3）。若AB=（Ax1, Ax2, Ax3）=（0,0, ）,其中 0，则r(AB)=1。解：(1) 当|A|=ab10时，A满秩（可逆）,r(AB)=r(B)=2(2)当|A|=ab1=0时，A不可逆,r(A)=2(因A中有两列不成比例)即x1, x2是Ax=0 的解，而x3 不 是
36、Ax=0 的解。由r(A)=2知：x1, x2成比例(基础解系仅含一个解向量）。但x3, x2不成比例（否则x3 也是Ax=0 的解，矛盾）。此时，r(B)=rx1, x2, x3=2所以，当A, B 满足：ab=1，B的列向量中有两列是Ax=0 的解且 另一列不是Ax=0 的解时，r(AB)=1。3.5 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构设 A=( 1, 2, n),则Ax=b 等价于向量方程 x11 + x2 2,+xn n=b Ax= b有解，即 b可经A的列向量线性表示。所以，秩( 1, 2, n，b)=秩( 1, 2, n) 定理3.15 对于非齐次线性方程组Ax= =b ，下列命
37、题等价:(1)Ax= = b有解(或相容);(2)b b可由A的列向量组线性表示;(3) r(A,b b)= r(A), 即增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。即r(A,b)=r(A)Ax=b 与Cx=d 为同解方程组，Ax=b 有解dr+1=0又r(C, d)=r(A, b)；r(C)=r(A)，所以，Ax=b 有解r(A, b)=r(A)r(C, d) = r(C)因b b由A的列向量组线性表示，且表示法唯一的的充要条件是A的列向量组 1, 2, n线性无关，即秩 1, 2, n=n。推论：Ax=b 有唯一解r(A, b)=r(A)=n(A的列数)证：A(x1x2)=Ax1Ax2=b b =0
38、定理3.16若Ax=b 有解，则其一般解为x=x0+x,其中x0是Ax=b 的一个特解（某一个解）；x =k1x1+k2x2+kpxp是Ax=0 （称为Ax=b 的导出组）的一般解。定理3.16 若 x1, x2是A x=b b 的解，则 x1x2是对应的齐次线性方程组A x=0 0 的解可以表示为x*x0=k1x1 + k2x2 + kpxp因此,x*=x0+(x*x0)可以表示为x=x0+x的形式，即是Ax=b 的一般解。证：由A(x0+x,)=Ax0+Ax= b,所以，x0+x 是Ax=b的解，设x* 是Ax=b 的任意一个解，则x*x0是Ax=0 的解。 例1设非齐次线性方程组Ax =
39、 b 的增广矩阵为试求Ax = b 的一般解。取 x2=x4=x5=0代入Ux = d，求得Ax = b的一个特解x0=(1/3,0,1/3,0,0)T 取自由未知量x2,x4,x5的三组数(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 并依次代入Ux=0，得Ax=0的基础解系：x1=(1,1,0,0,0)T,x2=(1/3,0,2/3,1,0)T,也可取为x2*=(1,0,2,3,0)T,x3=(2/3,0,1/3,0,1)T,也可取为x3*=(2,0,1,0,3)T,解 x=x0+k1 x1+ k2x2*+ k3x3*=(1/3,0,1/3,0,0)T+k1(1,1,0,0,0)T+k2(
40、1,0,2,3,0)T+k3(2,0,1,0,3)T(k1, k2, k3为任意常数)为Ax = b的一般解。例2设线性方程组就参数a,b ，讨论方程组的解的情况，有解时并求出解。我们下面分别从矩阵和行列式的角度讨论。注意这两种方法的优劣。解法1用初等行变换将增广矩阵化为阶梯阵。(2)当a=1,且14b+2ab=12b=0，即b=1/2时，有无穷多解(1)当（a1)b0时，有唯一解 (3)当a=1,b1/2时，14b+2ab 0,方程组无解。(4)当b=0时，14b+2ab =10时,方程组无解。（原方程组中后两个方程是矛盾方程）于是方程组的一般解为x =(2,2,0)T+k(1,0,1)T(
41、k为任意常数）a=1,b=1/2时，上述增广矩阵化为解法2系数行列式(1)当（1a)b0时，D0，方程组有唯一解。(2)当a=1,b=1/2时，D =0，r(A)=r(A,b)=2,有无穷多解。(3)当a=1,b 1/2时，D =0，r(A)=2,r(A,b)=3,无解。(4)当 a1,b=0时，D =0,r(A)=2,r(A, b)=3,无解。这种方法只能判断，不能直接求出方程组的解。例证明：若x0是Ax = b 的一个特解，x1,xp是Ax=0的基础解系，则x0,x0+x1,x0+x2,x0+xp线性无关且Ax = b 的任一个解x 可表示为x=k0x0 + k1(x0+x1) + k2(
42、x0 +x2) + + kp(x0+xp )其中k0+ k1 + k2+ +kp=1证：设c0x0 + c1(x0+x1) + c2(x0 +x2) + + cp(x0+xp )=0,即(c0 + c1 + c2 + + cp) x0 + c1x1 + c2x2 + + cpxp=0,则必有c0 + c1 + c2 + + cp=a=0,（否则，记di= ci /a，得x0=d1x1+ d2x2+ +dpxp是Ax=0的解，矛盾），再由c1x1 + c2x2 + + cpxp=0 和x1,x2,xp线性无关，得c1 = c2 = =cp=0,从而c0=0，故x0,x0+x1,x0+xp线性无关
43、。根据定理3.17，Ax = b的任一个解,可表示为x=x0+k1x1 + k2x2 + + kpxp=(1k1 kp) x0 + k1(x0+x1) + + kp(x0+xp)令1k1 kp= k0，则k0+ k1 + k2 + +kp=1，命题得证。 例4. . 设A是34矩阵，r(A)=2,Ax=b 有三个解：x1=(1,1,1,1)T,x2=(1,1,1,1)T;x3=(1,1,1,1)T求Ax=b 的一般解。解：x1x2=(0,2,2,0)T，x1x3=(2,0,0,2)T是Ax=0 的两个线性无关解(不成比例)，又4r=2,所以，x1x2,x1x3是Ax=0 的基础解系。因此, A
44、x=b的一般解： x=x1+k1(x1x2)+ k2(x1x3)=(1,1,1,1)Tk1(0,2,2,0)Tk2(2,0,0,2)T例5设四元线性方程组（I）为又已知四元线性齐次方程组（II）的基础解系为x3=0,1,1,0T，x4=1,2,2,1T(1)求线性方程组（I）的一般解；(2)问：线性方程组（I），（II）是否有非零的公共解？若有，则求所有非零的公共解。若没有，说明理由。(2) 方法1将（II）的一般解：x=(x1, x2,x3, x4)=k3 x3 + k4x4=k30,1,1,0T+k41,2,2,1T代入（I），得：解：(1) 在中取自由未知量为x3, x4，（x3, x4
45、）=（1,0）和（0,1），得（I）的基础解系为（I）的一般解为：x=k1x1+k2x2（k1,k2为任意常数）。x1=0,0,1,0T，x2=1,1,0,1T即所以，当k3= k4时（k4为任意常数），x=k30,1,1,0T+k41,2,2,1T=k41,1,1,1T既是方程组（II）的解，也是方程组（I）的解，当k40时,是(I),(II)的非零的公共解。方法2：方程组（I）的一般解为x =k1 x1 + k2 x2，方程组（II）的一般解为x=k3 x3 + k4 x4 ，若x0为方程组(I)、（II）的公共解，则x0=k1x1 + k2 x2= k3x3+ k4 x4即 k10,0,
46、1,0T+k21,1,0,1T=k30,1,1,0T+k41,2,2,1T得k1，k2，k3，k4T=k41,1,1,1T（k4为任意常数）得方程组(I)、（II）的全部非零的公共解为k10,0,1,0T+k21,1,0,1T+k30,1,1,0T+k41,2,2,1T=0解上述齐次线性方程组k40,0,1,0T+k41,1,0,1T=k40,1,1,0T+k41,2,2,1=k41,1,1,1T（k4为非零任意常数）第三章测试题A一、填空题(每小题4分，共24分)1若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为则当时，方程组有唯一解；当 时，方程 组有无穷多解2齐次线性方程组则应满足的条件是 ，只有零解，4线性方程组有解的充要条件是2求解下列线性方程组二、计算题(第1题每小题8分，共16分；第2题每小题9分，共18分；第3题12分)三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵四、证明题(每小题8分，共16分)(每小题7分，共14分)有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解测试题A答案第三章测试题B一、填空题(每小题5分，共40分)二、计算题 (每小题8分，共24分)三、证明题 (每小题8分，共24分)四、向量组 线性无关,问常数 满足什么条件时,向量组 线性无关（12分）测试题B答案
