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1、杆件的内力分析与内力图杆件的内力分析与内力图 第二篇第二篇 材料力学材料力学工程力学工程力学工程力学工程力学 ( ( 静力学与材料力学静力学与材料力学静力学与材料力学静力学与材料力学) )第五章2021/7/232021/7/231 1 杆杆件件在在外外力力作作用用下下，横横截截面面上上将将产产生生轴轴力力、剪剪力力、扭扭矩矩、弯弯矩矩等等内内力力分分量量。在在很很多多情情形形下下，内内力力分分量量沿沿杆杆件件的的长长度度方方向向的的分分布布不不是是均均匀匀的的。研研究究强强度度问问题题，需需要要知知道道哪哪些些横横截截面面可可能能最最先先发发生生失失效效，这这些些横横截截面面称称为为危危险险
2、面面。内内力力分分量量最最大大的的横横截截面面就就是是首首先先需需要要考考虑虑的的危危险险面面。研研究究刚刚度度问问题题虽虽然然没没有有危危险险面面的的问问题题，但但是是也也必必须知道内力分量沿杆件长度方向是怎样变化的。须知道内力分量沿杆件长度方向是怎样变化的。第第五五章章 杆件的内力图杆件的内力图 2021/7/232021/7/232 2 为为了了确确定定内内力力分分量量最最大大的的横横截截面面，必必须须知知道道内内力力分分量量沿沿着着杆杆件件的的长长度度方方向向是是怎怎样样分分布布的的。杆杆件件的的内内力力图图就就是是表表示示内内力力分分量量变化的图形。变化的图形。 本本章章首首先先介介
3、绍绍内内力力分分量量的的正正负负号号规规则则；然然后后介介绍绍轴轴力力图图、扭扭矩矩图图和和剪剪力力图图与与弯弯矩矩图图，重重点点是是剪剪力力图图与与弯弯矩矩图图；最最后后讨讨论论载载荷荷、剪剪力力、弯弯矩矩之之间间的的微微分分关关系系及及其其在在绘绘制剪力图和弯矩图中的应用。制剪力图和弯矩图中的应用。 第第五五章章 杆件的内力图杆件的内力图 2021/7/232021/7/233 3 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第五五章章 杆件的内力图杆件的内力图 2021/7/232021/7/234 4返回首页返回首页返回首页返回首
4、页 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 第第五五章章 杆件的内力图杆件的内力图 2021/7/232021/7/235 5 确确定定外外力力作作用用下下杆杆件件横横截截面面上上的的内内力力分分量量，重重要要的的是是正正确确应应用用平平衡衡的的概概念念和和平平衡衡的的方方法法。这这一一点点与与静静力力分分析析中中的的概概念念和和方方法法相相似似，但但又又不不完完全全相相同同。主主要要区区别别在在于于，在在静静力力分分析析中中只只涉涉及及共共同同系系统统或或单单个个刚刚体体的的平平衡衡，而而在在确确定定时时，不不仅仅要要涉涉及及单单个个构构件件以以及及构构件件系系统统的的平平衡衡，而而且且还还要
5、要涉涉及及构构件件的的局局部部的的平平衡衡。因因此此，需需要要将将平平衡衡的概念加以扩展和延伸。的概念加以扩展和延伸。 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/236 6 整体平衡与局部平衡的概念整体平衡与局部平衡的概念 内力与外力的相依关系内力与外力的相依关系 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 控制面控制面 杆件内力分量的正负号规则杆件内力分量的正负号规则 指定截面上内力分量的确定指定截面上内力分量的确定2021/7/232021/7/237 7 整体平衡与局部平衡的概念整体平衡与局部平衡的概念 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/23202
6、1/7/238 8 弹性杆件在外力作用下若保持平衡，性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其从其上截取的任意部分也必上截取的任意部分也必须保持平衡。前者称保持平衡。前者称为整整体平衡体平衡或或总体平衡总体平衡；后者称；后者称为局部平衡。局部平衡。 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/239 9 整体是指杆件所代表的某一构件；局部是指：整体是指杆件所代表的某一构件；局部是指：可以是用一截面将杆截成的两部分中的任一部分；可以是用一截面将杆截成的两部分中的任一部分；也可以是无限接近的两个截面所截出的一微段；还也可以是无限接近的两个截面所截出的一微段；还可以是围绕某一点截
7、取的微元或微元的局部；等等。可以是围绕某一点截取的微元或微元的局部；等等。 基本概念与基本方法基本概念与基本方法基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/231010 内力与外力的相依关系内力与外力的相依关系 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/231111 应用截面法可以证明，当杆件上的外力应用截面法可以证明，当杆件上的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生突变突变时，内力的变化规律也将发生变化。时，内力的变化规律也将发生变化。 所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶所谓外力突变，是指有集中
8、力、集中力偶作用的情形；分布载荷间断或分布载荷集度作用的情形；分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。发生突变的情形。 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/231212 所所谓内力内力变化化规律是指表示律是指表示内力内力变化的函化的函数或数或变化的化的图线。如果在两个外力作用点之。如果在两个外力作用点之间的杆件上没有其他外力作用，的杆件上没有其他外力作用，则这一段杆件所一段杆件所有横截面上的内力可以用同一个数学方程或者有横截面上的内力可以用同一个数学方程或者同一同一图线描述。描述。 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/231
9、313某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；件上的外力相平衡；在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；的规律变化； 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/231414 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 控制面控制面 2021/7/232021/7/231515 根根据据以以上上分分析析，在在一一段段杆杆上上，内内力力按按某某一一种种函函数数规规律律变变化化，这这一一段段杆杆的的两两个个端端截截面面称称为为控控制制面面（control cross-s
10、ection）。据据此，下列截面均可为控制面：此，下列截面均可为控制面： 集中力作用点的两侧截面；集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。处的截面。 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/231616 外力规律发生变化截面外力规律发生变化截面集中力两集中力两侧截面、集中力偶作用点两侧截面、分侧截面、集中力偶作用点两侧截面、分布荷载的起点和终点处的横截面。布荷载的起点和终点处的横截面。 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/
11、231717 杆件内力分量的正负号规则杆件内力分量的正负号规则 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/231818 同同一一位位置置处处左左、右右侧侧截截面面上上内内力力分量必须具有相同的正负号。分量必须具有相同的正负号。 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/231919FNFN 轴轴力力FNx或或FN无无论论作作用用在在哪哪一一侧侧截截面面上上，使使杆杆件受拉者为正；受压者为负。件受拉者为正；受压者为负。 扭扭矩矩Mx扭扭矩矩矢矢量量方方向向与与截截面面外外法法线线方方向向一一致致者为正；反之为负。者为正；反之为负。 剪剪力力
12、FQ(FQy或或FQz)-)-使使截截开开部部分分杆杆件件产产生生顺顺时时针针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。 FQFQ 弯弯矩矩M( (My或或Mz)-)-作作用用在在左左侧侧面面上上使使截截开开部部分分逆逆时时针针方方向向转转动动；或或者者作作用用在在右右侧侧截截面面上上使使截截开开部部分分顺顺时时针针方向转动者为正；反之为负。方向转动者为正；反之为负。 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/232020FNFNFQFQ 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/232121 指定截面上
13、内力分量的确定指定截面上内力分量的确定 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/232222 应用截面法可以确定杆件任意横应用截面法可以确定杆件任意横应用截面法可以确定杆件任意横应用截面法可以确定杆件任意横截面上的内力分量截面上的内力分量截面上的内力分量截面上的内力分量 用假想截面从所用假想截面从所要求的截面处将杆要求的截面处将杆截为两部分截为两部分 考察其中任意考察其中任意一部分的平衡一部分的平衡 由平衡方程求由平衡方程求得横截面的内得横截面的内力分量力分量C 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/232323FPll例题例题1A
14、BCD 一一端端固固定定另另一一端端自自由由的的梁梁，称称为悬悬臂臂梁梁 (cantilever beam)。梁梁承承受受集集中中力力FP及及集中力偶集中力偶MO作用。作用。MO=2FPl 试确确定定:截截面面C及及截截面面D上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩。C、D截截面面与与加加力点无限接近。力点无限接近。 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/232424FPFPllABCDMO=2FPl 解解：1. 应应用用静静力力学学平平衡衡方程确定方程确定固定端固定端的约束力。的约束力。 2. 应应用用截截面面法法确确定定C截截面上的内力分量面上的内力分量 用用假假想想截
15、截面面将将梁梁C截截面面处处截截开开，以以左左边边部部分分为为平平衡衡对象。对象。 因因为为外外力力与与梁梁轴轴线线都都在在同同一一平平面面内内，而而且且没没有有沿沿杆杆件件轴轴线线方方向向的的外外力力作作用用，所所以以横横截截面面上上没没有有轴轴力力和和扭扭矩矩，只有剪力和弯矩两种内力分量。只有剪力和弯矩两种内力分量。MA0AClFPMA0 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/232525FQCMCFPMA0FPllABCDMO=2FPl 解解： 2. 应应用用截截面面法法确确定定C截面上的内力分量截面上的内力分量CAFPlMA0 假假设设截截开开横横截截面
16、面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩均均为为正正方方向向。根根据据截截开开的的局局部部平平衡衡建建立立平平衡衡方方程：程：所所得得结结果果均均为为正正值值，这这表表明明所所假假设设的的C截截面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩的的正正方方向向是是正确的。正确的。 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/232626FPMA0FPllABCDMO=2FPl 解解： 3. 应应用用截截面面法法确确定定D截面上的内力分量截面上的内力分量AFPMA0llMO=2FPlD 用用假假想想截截面面将将梁梁D截截面面处处截截开开，以以左左边边部部分分为为平平衡对象。衡对象。 基本概念与基本
17、方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/232727FPMA0FPllABCDMO=2FPl 解解： 3. 应应用用截截面面法法确确定定D截截面上的内力分量面上的内力分量 假假设设截截开开横横截截面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩均均为为正正方方向向。根根据据截截开开的局部平衡建立平衡方程：的局部平衡建立平衡方程：因因为为D截截面面无无限限接接近近B截截面面，所所以式中以式中MDFQDAFPMA0llMO=2FPlD 基本概念与基本方法基本概念与基本方法基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/232828 解：解： 4. 讨论讨论 本本例例中中所所选
18、选择择的的研研究究对对象象都都是是C、 D截截面面以以左左部部分分梁梁，因因而而需需要要首首先先确确定定左左端端的的约约束束力力。如如果果以以C、 D截截面面以以右右部部分分梁梁作作为为平平衡衡对对象象，则则无无需需确确定定约约束束力力。计计算算过过程程会会更更简简单些。单些。FPMA0FPllABCDMO=2FPl 基本概念与基本方法基本概念与基本方法基本概念与基本方法基本概念与基本方法 2021/7/232021/7/232929 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 第第五五章章 杆件的内力图杆件的内力图 返回首页返回首页返回首页返回首页 轴力图轴力图 扭矩图扭矩图 2021/7/232021/
19、7/233030 轴力图轴力图 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/233131 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 沿沿着着杆杆件件轴轴线线方方向向作作用用的的载载荷荷，通通常常称称为为轴轴向向载载荷荷(normal load)。杆杆件件承承受受轴轴向向载载荷荷作作用时，横截面上只有轴力一种内力分量用时，横截面上只有轴力一种内力分量FN。 杆杆件件只只在在两两个个端端截截面面处处承承受受轴轴向向载载荷荷时时，则则杆杆件件的的所所有有横横截截面面上上的的轴轴力力都都是是相相同同的的。如如果果杆杆件件上上作作用用有有两两个个以以上上的的轴轴向向载载
20、荷荷，就就只只有有两两个个轴轴向向载载荷荷作作用用点点之之间间的的横横截截面面上上的的轴轴力力是是相同的。相同的。 表表示示轴轴力力沿沿杆杆件件轴轴线线方方向向变变化化的的图图形形，称称为为轴力图轴力图（diagram of normal force）。）。 2021/7/232021/7/233232CAB 直直杆杆，A端端固固定定，在在B、C两两处处作作用用有有集集中中载载荷荷F1和和F2，其中其中F15 kN，F210 kN。F F1 1F2llCABllF F1 1F2FA试画出：试画出：杆件的轴力图。杆件的轴力图。 例题例题2解：解：1. 确定确定A处的约束力处的约束力 A处处虽虽然
21、然是是固固定定端端约约束束，但但由由于于杆杆件件只只有有轴轴向向载载荷荷作作用用，所所以以只只有有一一个个轴轴向向的约束力的约束力FA。求得求得 FA5 kN 由平衡方程由平衡方程 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/233333 解：解：2. 确定控制面确定控制面 3. 应应用用截截面面法法求求控控制制面面上上的的轴力轴力 用用假假想想截截面面分分别别从从控控制制面面A、 B 、B、 C处处将将杆杆截截开开，假假设设横横截截面面上上的的轴轴力力均均为为正正方方向向（拉拉力力），并并考考察察截截开开后后下下面面部分的平衡。部分的平衡。 CA
22、BF F1 1F2llCABllF F1 1F2FA 在在集集中中载载荷荷F2、约约束束力力FA作作用用处处的的A、C截截面面，以以及及集集中中载载荷荷F1作作用用点点B处处的的上上、下下两侧横截面都是控制面。两侧横截面都是控制面。 B B B B 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/233434 3.应应用用截截面面法法求求控控制制面面上上的的轴力轴力 用用假假想想截截面面分分别别从从控控制制面面A、 B 、B、 C处处将将杆杆截截开开，假假设设横横截截面面上上的的轴轴力力均均为为正正方方向向（拉拉力力），并并考考察察截截开开后后下下面面
23、部部分分的的平平衡衡，求求得各截面上的轴力：得各截面上的轴力： CABllF F1 1F2FAB B B B CABllF F1 1F2FNA 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/2335353. 应应用用截截面面法法应应用用截截面面法法求控制面上的轴力求控制面上的轴力用用假假想想截截面面分分别别从从控控制制面面A、 B 、B、C处处将将杆杆截截开开，假假设设横横截截面面上上的的轴轴力力均均为为正正方方向向（拉拉力力），并并考考察察截截开开后后下下面面部部分分的的平平衡衡，求得各截面上的轴力：求得各截面上的轴力： CABllF F1 1F2
24、FAB B B B CBlF F1 1F2B B FN B B 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/233636 3. 应应用用截截面面法法应应用用截截面面法法求控制面上的轴力求控制面上的轴力 用用假假想想截截面面分分别别从从控控制制面面A、 B 、B、C处处将将杆杆截截开开，假假设设横横截截面面上上的的轴轴力力均均为为正正方方向向（拉拉力力），并并考考察察截截开开后后下下面面部部分分的的平平衡衡，求求得各截面上的轴力：得各截面上的轴力： CABllF F1 1F2FAB B B B FN B B ClF2B B 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩
25、图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/233737 3. 应应用用截截面面法法应应用用截截面面法求控制面上的轴力法求控制面上的轴力 用用假假想想截截面面分分别别从从控控制制面面A、 B 、B、C处处将将杆杆截截开开，假假设设横横截截面面上上的的轴轴力力均均为为正正方方向向（拉拉力力），并并考考察察截截开开后后下下面面部部分分的的平平衡衡，求求得得各各截截面面上上的的轴轴力：力： CABllF F1 1F2FAB B B B FN C CClF2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/233838 4. 建立建立FNx
26、坐标系坐标系，画轴力图画轴力图 FNx坐坐标标系系中中x坐坐标标轴轴沿沿着着杆杆件件的的轴轴线线方方向向，FN坐标轴垂直于坐标轴垂直于x轴。轴。 将将所所求求得得的的各各控控制制面面上上的的轴轴力力标标在在FNx坐坐标标系系中中，得得到到a、和和c四四点点。因因为为在在A、之之间间以以及及、C之之间间，没没有有其其他他外外力力作作用用，故故这这两两段段中中的的轴轴力力分分别别与与A（或或）截截面面以以及及C（或或）截截面面相相同同。这这表表明明a点点与与点点心心”之之间间以以及及c点点之之间间的的轴轴力力图图为为平平行行于于x轴轴的的直直线线。于于是是，得得到到杆杆的的轴力图。轴力图。 轴力图
27、与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/233939FN/kNOxCABF F1 1F2llCABllF F1 1F2FNAFN B B CBlF F1 1F2B B FN B B ClF2B B FN C CClF2b b 5b b 10c c105a a 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/234040根据以上分析，绘制轴力图的方法根据以上分析，绘制轴力图的方法 确定约束力；确定约束力； 根根据据杆杆件件上上作作用用的的载载荷荷以以及及约约束束力力，确定控制面，也就是轴力图的分段点；确定控制面，也就是轴力图的分段点； 应
28、应用用截截面面法法，用用假假想想截截面面从从控控制制面面处处将将杆杆件件截截开开，在在截截开开的的截截面面上上，画画出出未未知知轴轴力力，并并假假设设为为正正方方向向；对对截截开开的的部部分分杆杆件建立平衡方程，确定控制面上的轴力件建立平衡方程，确定控制面上的轴力 建建立立FNx坐坐标标系系，将将所所求求得得的的轴轴力力值值标在坐标系中，画出轴力图。标在坐标系中，画出轴力图。 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/234141练习题1绘制轴力图（1）（2）（1）（2）2021/7/232021/7/234242（3）（4）（3）（4）2021/7/232021/7/23
29、4343 扭矩图扭矩图 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/234444 作作用用在在杆杆件件上上的的外外力力偶偶矩矩，可可以以由由外外力力向向杆杆的的轴轴线线简简化化而而得得，但但是是对对于于传传递递功功率率的的轴轴，通通常常都都不不是是直直接接给给出出力力或或力力偶偶矩矩，而是给定功率和转速。而是给定功率和转速。 因因为为力力偶偶矩矩在在单单位位时时间间内内所所作作之之功功即即为功率，于是有为功率，于是有 其其中中T为为外外力力偶偶矩矩； 为为轴轴转转动动的的角角速速度；度；P为轴传递的功率。为轴传递的功率。 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩
30、图 2021/7/232021/7/234545考虑到：考虑到：1 kWl000 Nm/s，上式可以改写为，上式可以改写为 其其中中功功率率P的的单单位位为为kW；n为为轴轴每每分分钟钟的的转转数数，用用r/min表示。表示。 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/234646 在在扭扭转转外外力力偶偶作作用用下下，圆圆轴轴横横截截面面上上将将产产生生扭扭矩矩。确确定定扭扭矩矩的的方方法法也也是是截截面面法法，即即假假想想截截面面将将杆杆截截开开分分成成两两部部分分，横横截截面面上上的的扭扭矩矩与与作作用用在在轴轴的的任任一一部部分分上上的的
31、所所有有外外力力偶偶矩矩组组成成平平衡衡力力系系。据据此此，即即可可求求得得扭矩的大小与方向。扭矩的大小与方向。 如如果果只只在在轴轴的的两两个个端端截截面面作作用用有有外外力力偶偶矩矩，则则沿沿轴轴线线方方向向所所有有横横截截面面上上的的扭扭矩矩都都是是相相同同的的，并并且且都都等等于于作作用用在在轴轴上上的的外外力偶矩。力偶矩。 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/234747 当当轴轴的的长长度度方方向向上上有有两两个个以以上上的的外外力力偶偶矩矩作作用用时时，轴轴各各段段横横截截面面上上的的扭扭矩矩将将是是不不相相等等的的，这这时时需需用用截截面面法法确确定定
32、各各段段横横截截面上的扭矩。面上的扭矩。 扭扭矩矩沿沿杆杆轴轴线线方方向向变变化化的的图图形形，称称为为扭扭矩矩图图(diagram of torsion moment)。绘绘制制扭扭矩矩图图的的方方法法与与绘绘制制轴轴力力图图的的方方法法相相似似，这里不再重复。这里不再重复。 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/234848例题例题3 圆圆轴轴受受有有四四个个绕绕轴轴线线转转动动的的外外加加力力偶偶，各各力力偶偶的的力力偶偶矩矩的的大大小小和和方方向向均均示示于于图图中中，其其中中力力偶偶矩矩的的单单位位为为N.m，尺尺寸寸单单位位为为m
33、m。 试试 ：画出圆轴的扭矩图。：画出圆轴的扭矩图。 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/234949解：解：1确定控制面确定控制面 外外加加力力偶偶处处截截面面A、B、C、D左左右右两两侧侧的的截截面面均为控制面。均为控制面。 2应应用用截截面面法法由由平衡方程平衡方程确确定定各各段段圆圆轴轴内内的的扭扭矩矩 。 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/235050 3建建立立Mxx坐坐标系，画出扭矩图标系，画出扭矩图 建建立立Mxx坐坐标标系系，其其中中x轴轴平平行行于于圆圆轴轴的的轴轴
34、线线，Mx轴轴垂垂直直于于圆圆轴轴的的轴轴线线。将将所所求求得得的的各各段段的的扭扭矩矩值值，标标在在Mxx坐坐标标系系中中，得得到到相相应应的的点点，过过这这些些点点作作x轴轴的的平平行行线线，即即得得到到所所需要的扭矩图。需要的扭矩图。 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 2021/7/232021/7/235151练习题2圆轴上安有5 个皮带轮，其中轮2 为主动轮，由此输入功率80 kW；1、3、4、5均为从动轮，它们输出功率分别为25 kW、15 kW、30 kW、10 kW，若圆轴设计成等截面的，为使设计更合理地利用材料，各轮位置可以互相调整。2021/7/23
35、2021/7/2352521 请判断下列布置中哪一种最好？(A) 图示位置最合理；(B) 2 轮与5 轮互换位置后最合理；(C) 1 轮与3 轮互换位置后最合理；(D) 2 轮与3 轮互换位置后最合理。2 画出带轮合理布置时轴的功率分布图。2021/7/232021/7/235353 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第五五章章 杆件的内力图杆件的内力图 返回首页返回首页返回首页返回首页 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间载荷集度、剪力、弯矩之间 的微分关系的微分关系 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/235454 剪力方程与弯矩方程剪力方
36、程与弯矩方程 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/235555 一一般般受受力力情情形形下下，梁梁内内剪剪力力和和弯弯矩矩将将随随横横截截面面位位置置的的改改变变而而发发生生变变化化。描描述述梁梁的的剪剪力力和和弯弯矩矩沿沿长长度度方方向向变变化化的的代代数数方方程程，分别称为分别称为剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程 为为了了建建立立剪剪力力方方程程和和弯弯矩矩方方程程，必必须须首首先先建建立立Oxy坐坐标标系系，其其中中O坐坐标标原原点点，x坐坐标标轴轴与与梁梁的的轴轴线线一一致致，坐坐标标原原点点O一一般般取取在在梁梁的的左左端端，x坐坐标标轴轴的的正正方方向
37、向自自左左至至右右，y坐标轴铅垂向上。坐标轴铅垂向上。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/235656 建建立立剪剪力力方方程程和和弯弯矩矩方方程程时时，需需要要根根据据梁梁上上的的外外力力(包包括括载载荷荷和和约约束束力力)作作用用状状况况，确确定定控控制制面面，从从而而确确定定要要不不要要分分段段，以以及及分分几几段段建建立立剪剪力力方方程程和弯矩方程。和弯矩方程。 确确定定了了分分段段之之后后，在在每每一一段段中中任任意意取取一一横横截截面面，假假设设这这一一横横截截面面的的坐坐标标为为x，然然后后从从这这一一横横截截面面处处将将梁
38、梁截截开开，并并假假设设所所截截开开的的横横截截面面上上的的剪剪力力FQ(x)和和弯弯矩矩M(x)都都是是正正方方向向，最最后后分分别别应应用用力力的的平平衡衡方方程程和和力力矩矩的的平平衡衡方方程程，即即可可得得到到剪剪力力FQ(x)和和弯弯矩矩M(x)的的表表达达式式，这这就就是是所所要要求求的的剪剪力力方方程程FQ(x)和弯矩方程和弯矩方程M(x)。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/235757 需需要要特特别别注注意意的的是是，在在剪剪力力方方程程和和弯弯矩矩方方程程中中，x是是变变量量，而而FQ(x)和和M(x)则则是是x的函
39、数的函数。 这这一一方方法法和和过过程程实实际际上上与与前前面面所所介介绍绍的的确确定定指指定定横横截截面面上上的的内内力力分分量量的的方方法法和和过过程程是是相相似似的的，所所不不同同的的，现现在在的的指指定定横横截面是坐标为截面是坐标为x的横截面。的横截面。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/235858 一一端端为为固固定定铰铰链链支支座座、另另一一端端为为辊辊轴轴支支座座的的梁梁，称称为为简简支支梁梁( (simple supported beam) )。梁梁上上承承受受集集度度为为q的的均均布布载载荷荷作作用用，梁梁的的长长度度
40、为为2 2l。 试写出：试写出：该梁的剪力方程和弯矩方程矩图。该梁的剪力方程和弯矩方程矩图。 ql ll lBAC例题例题4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/235959解：解：1确定约束力确定约束力l ll lBACqF FR RB BF FR RA A 因因为为只只有有铅铅垂垂方方向向的的外外力力，所所以以支支座座A的的水水平平约约束束力力等等于于零零。又又因因为为梁梁的的结结构构及及受受力力都都是是对对称称的的，故故支支座座A与与支支座座B处处铅铅垂垂方方向向的约束力相同。的约束力相同。于是，根据平衡条件不难求得：于是，根据平衡条
41、件不难求得： 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/236060O Oy yx x解：解：2确定控制面和分段确定控制面和分段 因因为为梁梁上上只只作作用用有有连连续续分分布布载载荷荷(载载荷荷集集度度没没有有突突变变)，没没有有集集中中力力和和集集中中力力偶偶的的作作用用，所所以以，从从A到到B梁梁的的横横截截面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩可可以以分分别别用用一一个个方方程程描描述述，因因而而无无需需分分段段建建立剪力方程和弯矩方程。立剪力方程和弯矩方程。 l ll lBACqF FR RB BF FR RA A 3建立建立Oxy坐标系坐标
42、系 以以梁梁的的左左端端A为坐坐标原原点，建立点，建立Oxy坐坐标系系， 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/236161x xx xF FR RA AF FQQ( (x x) )MM( (x x) )O Oy yx xl ll lBACqF FR RB BF FR RA A 解解：4确确定定剪剪力力方方程程和弯矩方程和弯矩方程由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件 以以A、B之之间间坐坐标标为为x的的任任意意截截面面为为假假想想截截面面，将将梁梁截截开开，取取左左段段为为研研究究对对象象，在在截截开开的的截截面面上上标标出出剪剪力力FQ(x
43、)和和弯弯矩矩M(x) )的正方向。的正方向。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/236262O Oy yx xl ll lBACqF FR RB BF FR RA A 解解：4确确定定剪剪力力方方程程和弯矩方程和弯矩方程由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件 得得到到梁梁的的剪剪力力方方程程和和弯弯矩矩方程分别为方程分别为 这这一一结结果果表表明明，梁梁上上的的剪剪力力方方程程是是x的的线线性性函函数数；弯矩方程是弯矩方程是x的二次函数。的二次函数。 x xF FQQ( (x x) )MM( (x x) )F FR RA A 剪力图与弯矩
44、图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/236363例题例题5 悬悬臂臂梁梁在在B、C二二处处分分别别承承受受集集中中力力FP和和集中力偶集中力偶M2 2FPl作用。梁的全长为作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。FPllABC CMO=2FPl 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/236464 解：解：1确定控制面和分段确定控制面和分段 本本例例将将通通过过考考察察截截开开截截面面的的右右边边部部分分平平衡衡建建立立剪剪力力方方程程和和弯弯矩矩方方程程
45、，因因此此可可以以不不必必确确定定左左端端的约束力。的约束力。 2建立建立Oxy坐标系坐标系以以梁梁的的左左端端A为坐坐标原原点点，建建立立Oxy坐坐标系系， 由由于于梁梁在在固固定定端端A处处作作用用有有约约束束力力、自自由由端端B处处作作用用有有集集中中力力、中中点点C处处作作用用有有集集中中力力偶偶，所所以以，截截面面A、B、C均均为为控控制制面面。因因此此，需需要要分分为为AC和和CB两两段段建建立剪力和弯矩方程。立剪力和弯矩方程。 FPllABMO=2FPlC CO Oy yx x 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/236565
46、 解解：3建建立立剪剪力力方方程程和弯矩方程和弯矩方程FPllABMO=2FPlO Oy yx xC Cx x1 1x x2 2 在在ACAC和和CBCB两两段段分分别别以以坐坐标标为为x x1 1和和x x2 2的的横横截截面面将将其其截截开开，并并在在截截开开的的横横截截面面上上，假假设设剪剪力力F FQ Q( (x x1 1) )、F FQ Q( (x x2 2) )和和弯弯矩矩M M( (x x1 1) )、M M( (x x2 2) )都都是是正正方方向向，然然后后考考察察截截开开的的右右边边部部分分梁梁的的平平衡衡，由由平平衡衡方方程程即即可可确确定定所所需需要要的的剪剪力力方方程
47、程和弯矩方程。和弯矩方程。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/236666 解解：3建建立立剪剪力力方方程程和和弯弯矩方程矩方程F FQQ( (x x) )MM( (x x) ) 对对于于AC段段梁梁的的剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，在在x1处处截截开开后后，考考察察右右边边部分的平衡。部分的平衡。FPllABMO=2FPlO Oy yx xC CFPMO=2FPll2l x1C CB 根据平衡方程根据平衡方程 x x1 1 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/236767 解解解解：
48、3 3建建立立剪剪力力方方程程和弯矩方程和弯矩方程得到得到AC段段的剪力方程与弯矩方程的剪力方程与弯矩方程： F FQQ( (x x1 1) )MM( (x x1 1) )FPMO=2FPll2l x1C CB 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/236868F FQQ( (x x2 2) )MM( (x x2 2) ) 解解解解：3 3建建建建立立立立剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和弯矩方程和弯矩方程和弯矩方程和弯矩方程得得得得到到到到CBCB段段段段的的的的剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程与与与与弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程： F
49、PllABMO=2FPlO Oy yx xC CFP2l x2B 上上上上述述述述结结结结果果果果表表表表明明明明，ACAC段段段段和和和和CBCB段段段段的的的的剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程是是是是相相相相同的；弯矩方程不同，但都是同的；弯矩方程不同，但都是同的；弯矩方程不同，但都是同的；弯矩方程不同，但都是x x的线性函数。的线性函数。的线性函数。的线性函数。 对对对对于于于于CBCB段段段段梁梁梁梁的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程，在在在在x x2 2处处处处截截截截开开开开后后后后，考察右边部分的平衡。考察右边部分的平衡。考察右边部分的平衡。考察右边
50、部分的平衡。 根据平衡方程根据平衡方程根据平衡方程根据平衡方程 x x2 2 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/236969练习题3试求图示各梁中指定截面上的剪力、弯矩值。2021/7/232021/7/2370702021/7/232021/7/2371712021/7/232021/7/2372722021/7/232021/7/2373732021/7/232021/7/237474 载荷集度、剪力、弯矩之间载荷集度、剪力、弯矩之间 的微分关系的微分关系 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232
51、021/7/237575 作作用用在在梁梁上上的的平平面面载载荷荷，如如果果不不包包含含纵纵向向力力，这这时时梁梁的的横横截截面面上上将将只只有有弯弯矩矩和和剪剪力力。表表示示剪剪力力和和弯弯矩矩沿沿梁梁轴轴线线方方向向变变化化的的图图线线，分分别别称称为为剪剪力力图图（diagram of shearing force）和和弯弯矩矩 图图 （ diagram of bending moment）。）。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/237676 绘绘制制剪剪力力图图和和弯弯矩矩图图有有两两种种方方法法：第第一一种种方方法法是是：根根
52、据据剪剪力力方方程程和和弯弯矩矩方方程程，在在FQx和和Mx坐坐标标系系中中首首先先标标出出剪剪力力方方程程和和弯弯矩矩方方程程定定义义域域两两个个端端点点的的剪剪力力值值和和弯弯矩矩值值，得得到到相相应应的的点点；然然后后按按照照剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程的的类类型型，绘绘制制出出相相应应的的图图线线，便便得得到到所所需需要要的的剪剪力力图图与与弯弯矩图。矩图。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/237777绘制剪力图和弯矩图的第二种方法：绘制剪力图和弯矩图的第二种方法：先先在在FQx和和Mx坐坐标标系系中中标标出出控控制制面面上上的
53、的剪剪力力和和弯弯矩矩数数值值，然然后后应应用用载载荷荷集集度度、剪剪力力、弯弯矩矩之之间间的的微微分分关关系系，确确定定控控制制面面之之间间的的剪剪力力和和弯弯矩矩图图线线的的形形状状，无需首先建立剪力方程和弯矩方程。无需首先建立剪力方程和弯矩方程。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 即不用求得一次曲线方程或者二次曲线即不用求得一次曲线方程或者二次曲线方程，只要利用关键点的值和微分关系方程，只要利用关键点的值和微分关系就可以绘制出相应的图。就可以绘制出相应的图。2021/7/232021/7/237878 根根据据相相距距d dx x的的两两个个横横截截面面截截处处微
54、微段段的的平平衡衡，可可以以得得到到载载荷荷集集度度、剪剪力力、弯弯矩之间存在下列的微分关系：矩之间存在下列的微分关系： 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/237979将将FQ(x)对对x求求一一次次导导数数，将将M(x)对对x求求一一次次和和二次导数，得到二次导数，得到 O Oy yx xl ll lBACqF FR RB BF FR RA A 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 由例题由例题4 4的结果进行讲解的结果进行讲解2021/7/232021/7/238080 式式中中等等号号右右边边的的负负号号，是是由
55、由于于作作用用在在梁梁上上的的均均布布载载荷荷是是向向下下的的。因因此此，规规定定：对对于于向向上上的的均均布布载载荷荷，微微分分关关系系式式中中的的载载荷荷集集度度q为为正正值值；对对于于向向下下的的均均布布载载荷荷，载载荷荷集度集度q为负值为负值。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 上上述述微微分分关关系系，说说明明剪剪力力图图和和弯弯矩矩图图图图线线的的几几何何形形状与作用在梁上的载荷集度有关。状与作用在梁上的载荷集度有关。2021/7/232021/7/238181 剪剪力力图图的的斜斜率率等等于于作作用用在在梁梁上上的的均均布布载载荷荷集集度度；弯弯矩矩图图在
56、在某某一一点点处处斜率等于对应截面处剪力的数值。斜率等于对应截面处剪力的数值。 如如果果一一段段梁梁上上没没有有分分布布载载荷荷作作用用，即即q0 0，这这一一段段梁梁上上剪剪力力的的一一阶阶导导数数等等于于零零，弯弯矩矩的的一一阶阶导导数数等等于于常常数数，因因此此，这这一一段段梁梁的的剪剪力力图图为为平平行行于于x轴轴的的水平直线；弯矩图为斜直线。水平直线；弯矩图为斜直线。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/238282 如如果果一一段段梁梁上上作作用用有有均均布布载荷荷，即即q q常常数数，这一一段段梁梁上上剪剪力力的的一一阶导数数
57、等等于于常常数数，弯弯矩矩的的一一阶导数数为x x的的线性性函函数数，因因此此，这一一段段梁梁的的剪剪力力图为斜斜直直线；弯弯矩矩图为二二次次抛物抛物线。 弯弯矩矩图二二次次抛抛物物线的的凸凸凹凹性性，与与载荷荷集集度度q q的的正正负有有关关：当当q q为正正( (向向上上) )时，抛抛物物线为凹凹曲曲线，凹凹的的方方向向与与M M坐坐标正正方方向向一一致致，：当当q q为负( (向向下下) )时，抛抛物物线为凸凸曲曲线，凸凸的方向与的方向与M M坐坐标正方向一致。正方向一致。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/238383 剪力图与弯
58、矩图剪力图与弯矩图 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/238484 载载荷荷集集度度、剪剪力力、弯弯矩矩之之间间的的微微分分关关系系绘绘制制剪剪力力图图与与弯弯矩矩图图的的方方法法，与与绘绘制制轴轴力力图图和和扭扭矩矩图图的的方法大体相似，但略有差异，主要步骤如下：方法大体相似，但略有差异，主要步骤如下： 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面； 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值；应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值； 建建立立FQx和和Mx坐坐标标系系，并并将将控控制制面面上上的的剪剪力和
59、弯矩值标在上述坐标系中，得到若干相应的点；力和弯矩值标在上述坐标系中，得到若干相应的点； 应应用用微微分分关关系系确确定定各各段段控控制制面面之之间间的的剪剪力力图图和和弯矩图的图线，得到所需要的剪力图与弯矩图。弯矩图的图线，得到所需要的剪力图与弯矩图。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/238585简简支支梁梁受受力力的的大大小小和和方方向向如图示。如图示。例题例题61kN.m1kN.m2kN2kN1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m 试试画画出出：其其剪剪力力图图和和弯弯矩矩图图, ,并并确确定定剪剪力力和和弯弯矩绝对值的
60、最大值。矩绝对值的最大值。 解：解：1确定约束力确定约束力求得求得A、F 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89 kN , FFy1.11 kN BAF FR RA AF FR RB B根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/238686BA1kN.m1kN.m2kN2kN1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5mFRAF FR RB B 解：解：2确定控制面确定控制面 在在集集中中力力和和集集中中力力偶偶作作用用处处的的两两侧侧截截面面以以及及支支座座反反力力内内侧侧截截面面均均为为控控制制面面，即即
61、A、B、C、D、E、F各各截面均为控制面。截面均为控制面。 3建立坐标系建立坐标系建立建立FQx和和Mx坐标系坐标系 xFQ/kNOx xMM/kN.m/kN.mOB BC CD DE E 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 F F2021/7/232021/7/238787 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线 因因为为梁梁上上无无分分布布载载荷荷作作用用，所所以以剪剪力力FQ图图形形均均为为平平行行于于x轴轴的的直直线线；弯弯矩矩M图图形形均均为为斜斜直直线线。于于是是，顺顺序序连连接接FQx和和Mx坐坐标标系系中中的的a、b、c、d、e、f各各点点，便便得得到到梁
62、梁的的剪力图与弯矩图。剪力图与弯矩图。 x xF FQQ/kN/kNOx xMM/kN.m/kN.mO 解解：4应应用用截截面面法法确确定定控控制制面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩值值，并并将将其其标标在在FQx和和Mx坐标系中坐标系中。BA1kN.m1kN.m2kN2kN1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5mF FR RA AF FR RB BB BC CD DE E1.111.11f f0.890.89d dd,ed,e1.6651.665f f0 0c c0.3350.335b b1.3351.3351.111.11e eb b0.890.89,c ,ca a0 0a a0.8
63、90.89 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 F F2021/7/232021/7/238888 5确确定定剪剪力力与与弯弯矩矩的最大绝对值的最大绝对值x xF FQQ/kN/kNOx xMM/kN.m/kN.mOBA1kN.m1kN.m2kN2kN1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5mF FR RA AF FR RB BB BC CD DE E1.111.11f f0.890.89d dd,ed,e1.6651.665f f0 0c c0.3350.335b b1.3351.3351.111.11e eb b0.890.89,c ,ca a0 0a a0.8
64、90.89从从图图中中不不难难得得到到剪剪力力与与弯弯矩矩的的绝绝对对值值的的最最大值分别为大值分别为 ( (发生在生在EFEF段段) ) ( (发生在生在D D、E E截面上截面上) ) 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/238989从所得到的剪力图和弯矩从所得到的剪力图和弯矩图中不难看出图中不难看出ABAB段与段与CDCD段段的剪力相等，因而这两段的剪力相等，因而这两段内的弯矩图具有相同的斜内的弯矩图具有相同的斜率。此外，在集中力作用率。此外，在集中力作用点两侧截面上的剪力是不点两侧截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作相等的，而在集
65、中力偶作用处两侧截面上的弯矩是用处两侧截面上的弯矩是不相等的，其差值分别为不相等的，其差值分别为集中力与集中力偶的数值，集中力与集中力偶的数值，这是由于维持这是由于维持DEDE小段和小段和BCBC小段梁的平衡所必需的。小段梁的平衡所必需的。x xF FQQ/kN/kNOx xMM/kN.m/kN.mOBA1kN.m1kN.m2kN2kN1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5mF FR RA AF FR RB BB BC CD DE E1.111.11f f0.890.89d dd,ed,e1.6651.665f f0 0c c0.3350.335b b1.3351.3351.111.1
66、1e eb b0.890.89,c ,ca a0 0a a0.890.89 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 F F2021/7/232021/7/239090例题例题7qBAD Da4aqaF FAyAyF FByBy 梁梁由由一一个个固固定定铰链支支座座和和一一个个辊轴支支座座所所支支承承，但但是是梁梁的的一一端端向向外外伸伸出出，这种种梁梁称称为外外伸伸梁梁(overhanging beam)。梁梁的的受受力力以以及及各各部部分分尺尺寸寸均均示示于于图中中。 试试画画出出：其其剪剪力力图图和和弯弯矩矩图图, ,并并确确定定剪剪力力和和弯弯矩绝对值的最大值。矩绝对值
67、的最大值。 解：解：1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 求得求得求得求得A A、F F 二处的约束力二处的约束力二处的约束力二处的约束力 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/239191qBAD Da4aqaF FAyAyF FByByCO Ox xF FQQO Ox xMM 解：解：2确定控制面确定控制面由由于于AB段段上上作作用用有有连连续续分分布布载载荷荷，故故A、B两两个个截截面面为为控控制制面面，约约束束力力FBy右右侧侧的的C截截面面，以以及及集集中中力力qa左
68、左侧侧的的D截截面面，也也都都是是控控制制面。面。 3建立坐标系建立坐标系建建立立FQx和和Mx坐坐标系标系 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/239292qBAD Da4aqaF FAyAyF FByByO Ox xF FQQO Ox xMM9qa/4a7qa/4bdqacqaadb,cqa2 解解：4确确定定控控制制面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩值值，并并将将其其标标在在FQx和和 Mx坐坐标系中。标系中。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/239393qBAD Da4aqaF
69、AyFByOxFQOxMcqa9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2 5根根据据微微分分关关系系连图线连图线对对于于剪剪力力图图：在在AB段段，因因有有均均布布载载荷荷作作用用，剪剪力力图图为为一一斜斜直直线线，于于是是连连接接a、b两两点点，即即得得这这一一段段的的剪剪力力图图；在在CD段段，因因无无分分布布载载荷荷作作用用，故故剪剪力力图图为为平平行行于于x轴轴的的直直线线，由由连连接接c、d二二点点而而得得，或或者者由由其其中中任任一一点点作作平平行行于于x轴的直线而得。轴的直线而得。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/23
70、9494qBAD Da4aqaFAyFByOx xFQOx xM5根据微分关系连图线根据微分关系连图线对对于于弯弯矩矩图图：在在AB段段，因因有有均均布布载载荷荷作作用用，图图形形为为二二次次抛抛物物线线。又又因因为为q向向下下为为负负，弯弯矩矩图图为为凸凸向向M坐坐标标正正方方向向的的抛抛物物线线。于于是是，AB段段内内弯弯矩矩图图的的形形状状便便大大致致确确定定。为为了了确确定定曲曲线线的的位位置置，除除AB段段上上两两个个控控制制面面上上弯弯矩矩数数值值外外，还还需需确确定定在在这这一一段段内内二二次次抛抛物物线线有有没没有有极极值值点点，以以及及极极值值点点的的位位置置和和极极值值点点
71、的的弯弯矩矩数数值值。从从剪剪力力图图上上可可以以看看出出，在在e点点剪剪力力为零。为零。 9qa/4a7qa/4b bdqaa adb,cqa2c cqae81qa2/32eE E 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/239595OxFQOxMqBAD Da4aqaFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE EMME EqA AE ExE 6确确定定弯弯矩矩图图极极值点的位置。值点的位置。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/239696Ox
72、FQOx xMqBAD Da a4 4a aqaqaFAyFBy9 9qa/qa/4 4a a7 7qa/qa/4 4b bd dqaqaa ad db,cb,cqaqa2 2c cqaqae e8181qaqa2 2/32/32e eE E 7 7确确确确定定定定剪剪剪剪力力力力与与与与弯弯弯弯矩矩矩矩的最大绝对值的最大绝对值的最大绝对值的最大绝对值从从从从图图图图中中中中不不不不难难难难得得得得到到到到剪剪剪剪力力力力与与与与弯弯弯弯矩矩矩矩的的的的绝绝绝绝对对对对值值值值的的的的最最最最大值分别为大值分别为大值分别为大值分别为 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2
73、021/7/232021/7/239797O Ox xF FQQO Ox xMMqBAD Da4aqaF FAyAyF FByBy9qa/4a7qa/4b bdqaadb,cqa2c cqae81qa2/32eE E注注意意到到在在右右边支支座座处，由由于于约束束力力的的作作用用，该处剪剪力力图有有突突变（支支座座两两侧截截面面剪剪力力不不等等）弯弯矩矩图在在该处出出现折折点点（弯弯矩矩图的的曲曲线段段在在该处的的切切线斜斜率率不不等等于于斜斜直直线cd的斜率）。的斜率）。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/232021/7/239898个人观点供参考，欢迎讨论
