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1、第三章第三章 位移和应变分析位移和应变分析 物体受到外力的作用时，物体内各点与点之间物体受到外力的作用时，物体内各点与点之间有相对位移，因而物体的形状和尺寸就会发生变化，有相对位移，因而物体的形状和尺寸就会发生变化，即产生变形。即产生变形。本章主要讨论三个问题：本章主要讨论三个问题：1.位移分量和应变分量及其间的关系；位移分量和应变分量及其间的关系；2.物体内一点的应变状态分析；物体内一点的应变状态分析；3.坐标旋转时应变分量的表示公式，以坐标旋转时应变分量的表示公式，以 及主应变和主方向；及主应变和主方向；4.无旋变形和等体积变形无旋变形和等体积变形;5.应变协调方程应变协调方程.3-1 位
2、移分量和应变分量以及其间的关系位移分量和应变分量以及其间的关系一一.位移分量位移分量物体受力后各点要发生位移，位移一般分为两部分，物体受力后各点要发生位移，位移一般分为两部分，一部分是与物体变形相应的位移，称为一部分是与物体变形相应的位移，称为相对位移相对位移；另一部分是与物体变形无关的位移，称为另一部分是与物体变形无关的位移，称为刚性位移刚性位移。物体变形前，点物体变形前，点M（x,y,z）变形后变形后,该点由原来位置移该点由原来位置移至新的位置至新的位置M(x,yz)称为点称为点M的位移的位移在在x,y,z三轴上的投影三轴上的投影u,v,w称为该点的称为该点的位移分量位移分量符号规定：符号
3、规定：u,v,w与坐标轴与坐标轴正方向一致为正，相反为负。正方向一致为正，相反为负。考虑外力作用下的两种状态：考虑外力作用下的两种状态：平衡状态：平衡状态：M点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（u,v,w）只随位置变化，）只随位置变化，不随时间变化。不随时间变化。运动状态：运动状态： M点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（u,v,w）随位置和）随位置和时间变化而变化。时间变化而变化。本章仅考虑平衡状态。本章仅考虑平衡状态。 根据连续性假设，物体上任一点根据连续性假设，物体上任一点M，当物体变形后，当
4、物体变形后，都一一对应于相应的点都一一对应于相应的点M； 位移分量是点坐标的单值连续函数。即：位移分量是点坐标的单值连续函数。即： 由于运算的需要，假定位移分量由于运算的需要，假定位移分量具有连续到三阶的偏导数。具有连续到三阶的偏导数。二二.应变分量应变分量 分析物体内一点的应变状态，在物体内任一点取出一分析物体内一点的应变状态，在物体内任一点取出一个平行于三个坐标平面的微分平行六面体（单元体）。设个平行于三个坐标平面的微分平行六面体（单元体）。设其三个棱边的长度分别为其三个棱边的长度分别为dx,dy,dz。 由小变形假设，此单元体各投影面的变形情况与由小变形假设，此单元体各投影面的变形情况与
5、此微分体的变形情况的差别是微小的；此微分体的变形情况的差别是微小的； 因此，对于此微体，只要研究它在各个坐标面上因此，对于此微体，只要研究它在各个坐标面上投影的变形就可以了。投影的变形就可以了。 考察物体内任意一微小线段考察物体内任意一微小线段长度的相对改变长度的相对改变 正（线）应变正（线）应变方向的相对改变方向的相对改变 剪（角）应变剪（角）应变变形包括：变形包括：1.各棱边长度的变化（伸长或缩短）用正应变表示各棱边长度的变化（伸长或缩短）用正应变表示2.棱边夹角的变化，用剪应变表示。棱边夹角的变化，用剪应变表示。沿坐标轴沿坐标轴x,y,z方向的方向的正应变分量正应变分量为：为：剪应变分量
6、剪应变分量为微分各面间所夹直角的改变量。（用弧度为微分各面间所夹直角的改变量。（用弧度表示）表示）注意：注意：即过物体内某点所引沿即过物体内某点所引沿x及及y方向的线元间夹角的改变量。方向的线元间夹角的改变量。当微分平行六面体各棱边无限缩小而趋于当微分平行六面体各棱边无限缩小而趋于M点时点时某点的应变状态可以由六个应变分量来表示。某点的应变状态可以由六个应变分量来表示。三三.应变分量和位移分量间的关系应变分量和位移分量间的关系 将微分平行六面体的应变分量用该微体变形后在坐标将微分平行六面体的应变分量用该微体变形后在坐标平面上的投影来表明。平面上的投影来表明。 以在以在oxy平面上的投影为例，研
7、究应变分量与位移分量平面上的投影为例，研究应变分量与位移分量的关系：的关系：P点在点在x，y轴的位移分为：轴的位移分为：A，B两点相应的位移分量分是：两点相应的位移分量分是： 按多元函数泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小量，按多元函数泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小量，则则A点和点和B点的位移分量分别为点的位移分量分别为一点的变形一点的变形线段的线段的伸长或缩短；伸长或缩短；线段间的相对线段间的相对转动转动；考察考察P点邻域点邻域内线段的变形：内线段的变形：xyOPAdxBdyuv变形前变形前变形后变形后ABuPv注注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。这里略去了二阶以上高阶无穷小量。xyOP
8、AdxBdyuvPA的正应变：的正应变：PB的正应变：的正应变：P点的剪应变：点的剪应变：P点两点两直角线段夹角直角线段夹角的变化的变化整理得：整理得：几何方程几何方程说明：说明：（1）反映任一点的反映任一点的位移位移与该点与该点应变应变间的间的关系，是弹性力学的基本方程之一。关系，是弹性力学的基本方程之一。（2）当当 u、v 已知，则已知，则 可完全确定；反之，已知可完全确定；反之，已知 ，不能确定不能确定u、v。（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3） 以两线段夹角以两线段夹角减小为正，增大为负减小为正，增大为负。xyOPAdxBdyuv 利
9、用微体在另外两个坐标面上的投影，可以求得其他应利用微体在另外两个坐标面上的投影，可以求得其他应变分量和位移分量之间的关系：变分量和位移分量之间的关系：此式称为几何方程，又称柯西（此式称为几何方程，又称柯西（Cauchy）方程）方程如果已知位移分量，由几何方程求偏导数可以得到应变分如果已知位移分量，由几何方程求偏导数可以得到应变分量量如果已知应变分量，求位移分量比较复杂，如果已知应变分量，求位移分量比较复杂，积分需要确定积分需要确定积分常数，由边界条件决定积分常数，由边界条件决定应变分量的符号规定：应变分量的符号规定：正应变：正应变：正号的正应变表示沿该方向伸长，正号的正应变表示沿该方向伸长，负
10、号的正应变表示沿该方向缩短；负号的正应变表示沿该方向缩短；剪应变剪应变： 正号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角正号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角度减小，度减小， 负号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角负号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角度增大。度增大。3-2 转动分量转动分量 物体内无限邻近两点位置的变化物体内无限邻近两点位置的变化一、转动分量一、转动分量 分析物体内一点任一微分平行六面体的变形，考虑分析物体内一点任一微分平行六面体的变形，考虑六个应变分量六个应变分量但是剪应变是相应的两个角的和但是剪应变是相应的两个角的和 如果两个角的和不变，则剪应变就不变；但是两个如果两个角
11、的和不变，则剪应变就不变；但是两个角可能相等，也可能不等，这样变形的几何形象（变位角可能相等，也可能不等，这样变形的几何形象（变位状态）就不同。状态）就不同。为了使变形的几何形象表示完全，引入三个分量：为了使变形的几何形象表示完全，引入三个分量：转动分量转动分量 研究物体内任一点研究物体内任一点M附近的变形状态，在附近的变形状态，在M点处取立方点处取立方微分体。微分体。 研究变形后立方微分体中对角线研究变形后立方微分体中对角线MQ绕绕z轴的轴的转角转角：QTRMSMQ1M1QQr是对角线是对角线MQ绕绕z轴转动的角度。轴转动的角度。 同理，可以得到立方微分体中对角线同理，可以得到立方微分体中对
12、角线MS及及MT分别绕分别绕y轴和轴和x轴的转角公式；轴的转角公式；通常用两倍的转角表示：通常用两倍的转角表示：称为转动分量称为转动分量 故故六个应变分量六个应变分量和和三个转动分量三个转动分量可以使物体内某点变可以使物体内某点变形的几何形象表示完全。形的几何形象表示完全。QTRMS二、物体内无限邻近两点位置的变化二、物体内无限邻近两点位置的变化设物体内无限邻近的两点设物体内无限邻近的两点A和和B,它们的坐标分别为：它们的坐标分别为：变形后，它们到变形后，它们到A和和B若若A点的位移矢量用点的位移矢量用u(x,y,z),v (x,y,z), w(x,y,z)表示表示则则B点的位移矢量用点的位移
13、矢量用u,v,w表示表示 按多元函数按多元函数泰勒级数泰勒级数展开，根据小变形假设，略去二展开，根据小变形假设，略去二阶以上的微分项，可以得到：阶以上的微分项，可以得到：变形可以得到：变形可以得到：利用矩阵表示利用矩阵表示结论：与结论：与A点无限邻近一点点无限邻近一点B的位移由的位移由三部分组成三部分组成1、随、随A点的一个平动位移，点的一个平动位移，2、绕、绕A点的刚性转动在点的刚性转动在B点产生的位移，点产生的位移，3、由于、由于A点邻近单元体的变形在点邻近单元体的变形在B点产点产生的位移。生的位移。AB3-3 物体内一点的应变状态物体内一点的应变状态问题：问题：1、求过此点任意方向微分线
14、段的正应变；、求过此点任意方向微分线段的正应变；2、求过该点任意两个方向微分线段间夹角的改变量。、求过该点任意两个方向微分线段间夹角的改变量。（注意剪应变的定义）（注意剪应变的定义）一、求过一、求过A点沿点沿N方向的任一微分线段方向的任一微分线段AB的正应变的正应变该微分线段在直角坐标轴上的投影为：该微分线段在直角坐标轴上的投影为：设设A点的位移分量为点的位移分量为u，v，w，则，则B点的位移为：点的位移为：ABBAl，m，nl，m，ndrdr 物体变形后，微分线段物体变形后，微分线段AB变为变为AB，则，则AB在坐标轴在坐标轴上的投影为上的投影为(B点的位移分量点的位移分量+AB的长度的长度
15、-A点的位移分量点的位移分量)设线段设线段AB 的正应变为的正应变为利用矩阵表示为：利用矩阵表示为：称为应变张量称为应变张量二、求过二、求过A A点的两条任意方向微分线段间夹角的改变量点的两条任意方向微分线段间夹角的改变量Adr1CBCBAdr2dr2dr1CCAB的方向余弦为的方向余弦为AC的方向余弦为的方向余弦为变形前夹角变形前夹角变形后夹角变形后夹角AB的方向余弦为的方向余弦为AC的方向余弦为的方向余弦为利用矩阵表示为：利用矩阵表示为：变形后夹角变形后夹角夹角改变量为夹角改变量为矩阵表示3-4 转轴时应变分量的变换转轴时应变分量的变换 与应力分析相似，当坐标轴旋转时，物体内一点对旋转与应
16、力分析相似，当坐标轴旋转时，物体内一点对旋转后新坐标系的应变分量，可以由原来的应变分量来表示。后新坐标系的应变分量，可以由原来的应变分量来表示。将坐标系转过某个角度，得到新坐标系将坐标系转过某个角度，得到新坐标系新老坐标之间的关系为：新老坐标之间的关系为：n3m3l3n2m2l2n1m1l1zyxl,m,n表示新坐标轴对原老坐标轴的方向余表示新坐标轴对原老坐标轴的方向余弦弦3-5 主应变和主方向主应变和主方向 过物体内一点不同方向上的正应变以及同一点两垂直过物体内一点不同方向上的正应变以及同一点两垂直方向的剪应变是不同的。方向的剪应变是不同的。问题问题：过该点是否存在这样三个互相垂直的方向，使
17、沿这三：过该点是否存在这样三个互相垂直的方向，使沿这三个方向的微分线段，在物体变形后只是各自改变了长度，而个方向的微分线段，在物体变形后只是各自改变了长度，而夹角仍保持为直角。夹角仍保持为直角。 我们可以证明存在此单元体；我们可以证明存在此单元体； 我们把具有性质的方向称为该点应变的主方向，或应变我们把具有性质的方向称为该点应变的主方向，或应变主轴，此方向的正应变称为主应变。主轴，此方向的正应变称为主应变。 设设AB表示物体内一点沿表示物体内一点沿A沿其主方向的微分线段，其沿其主方向的微分线段，其方向余弦为方向余弦为l,m,n,变形后，线段变形后，线段AB变为变为AB,方向余弦为方向余弦为l,
18、m,n 表示线段表示线段ABAB的正的正应变，即应变，即主应变主应变。将式子变形可得：将式子变形可得： 线段线段AB的方向余弦为的方向余弦为l,m,n,变形后，线段变形后，线段AB变为变为AB,方向余弦为方向余弦为l,m,n；一般来说，它们是不；一般来说，它们是不 相等的。相等的。 但是它们的但是它们的偏离偏离是由于单元体的是由于单元体的刚性转动刚性转动所引起的。所引起的。故故（l,m,n）与与（l,m,n）一致）一致此为应变主方向应该满足的方程，方向余弦还应该满足此为应变主方向应该满足的方程，方向余弦还应该满足 与应力分析相似，采用分析主应力的方法可以得出与应力分析相似，采用分析主应力的方法
19、可以得出求主应变的方程为：求主应变的方程为：应变状态的特征方程应变状态的特征方程分别称为第一、第二、第三应变不变量分别称为第一、第二、第三应变不变量 由应变状态的特征方程求德的三个根就是由应变状态的特征方程求德的三个根就是A点的点的三个三个主应变主应变。 求主应变的方向，即求主应变的方向，即应变主方向应变主方向，将主应变的结，将主应变的结果带入方程可以求出。果带入方程可以求出。当已知主应变时当已知主应变时求与主应变所对应方向余弦求与主应变所对应方向余弦两式均除以两式均除以可以求出可以求出同理，可以求出另外两个主平面的方向余弦。同理，可以求出另外两个主平面的方向余弦。主应变与主方向之间的对应关系
20、方程根的讨论必定为三个实根，证明方式同第二章证明应力时相同，采用反证法。特点一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐标变换不影响应变状态是确定的。应变不变量就是应变状态性质的表现应力张量应变张量应力不变量应变不变量主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性类似各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的公式比较公式比较3-6 体积应变体积应变体积应变体积应变：物体变形后单位体积的变化：物体变形后单位体积的变化 用体积的相对变化（用体积的相对变化（体积应变体积应变）来反映物体内任一点体）来反映物体内任一点体积的变化。积的变化。 物体内任一点物体内任一点M（x，y，z）附近取一个微分六面体，）附近取一个微
21、分六面体，各棱边长度为各棱边长度为dx，dy，dz，其体积为：，其体积为： 变形后，由于在线性应变的情况下，剪应变不会引起微变形后，由于在线性应变的情况下，剪应变不会引起微分体各边长度的改变，而剪应变引起的体积改变为高阶微量，分体各边长度的改变，而剪应变引起的体积改变为高阶微量，可以略去不记。可以略去不记。 因此，研究体积改变只考虑正应变所产生的影响。因此，研究体积改变只考虑正应变所产生的影响。变形前：变形前：变形后：变形后：即应变的第一应变不变量。即应变的第一应变不变量。一点的体积应变等于位移场的一点的体积应变等于位移场的散度散度。3-7 无旋变形和等体积变形无旋变形和等体积变形位移矢量公式
22、位移矢量公式 考虑位移在物体所占空间各点的分布和变化的规律，考虑位移在物体所占空间各点的分布和变化的规律，引入引入位移场位移场的概念。的概念。 由场的概念定义位移场由场的概念定义位移场 如果在物体所占空间内的每一点，都对于着大小和方如果在物体所占空间内的每一点，都对于着大小和方向完全确定的位移，就称在这个空间里确定了该位移的场，向完全确定的位移，就称在这个空间里确定了该位移的场，而这空间区域叫做位移场。而这空间区域叫做位移场。用用场论场论的观点来分析位移：的观点来分析位移：一、无旋变形一、无旋变形 势量场势量场 如物体变形时，其中任一微小体积都不作刚性转如物体变形时，其中任一微小体积都不作刚性
23、转动，这样的变形称为无旋变形，即：动，这样的变形称为无旋变形，即： 如果连续体内的位移场有一个标量位如果连续体内的位移场有一个标量位，则位移场等于，则位移场等于此标量位的梯度。此标量位的梯度。这种位移场称为这种位移场称为势量场，或无旋场势量场，或无旋场证明：证明：位移场是势量场的必要充分条件是位移场是势量场的必要充分条件是故证明了，如位移场是势量场，则位移场的旋度等于零故证明了，如位移场是势量场，则位移场的旋度等于零如果位移场的旋度为零，则此位移场是势量场如果位移场的旋度为零，则此位移场是势量场1、2、二、等体积变形二、等体积变形 管量场管量场 如物体变形时，其中任一微小体积的大小都不改如物体
24、变形时，其中任一微小体积的大小都不改变，即体积应变为零，这样的变形称为等体积变形。变，即体积应变为零，这样的变形称为等体积变形。在此情况下：在此情况下： 如果连续体内的位移场有一个矢量位如果连续体内的位移场有一个矢量位则位移场等于此矢量位的旋度。则位移场等于此矢量位的旋度。这种位移场称为这种位移场称为管量场或无源场管量场或无源场。位移场是管量场的必要充分条件是位移场是管量场的必要充分条件是证明：证明：1、故证明了，如位移场是管量场，则位移场的散度等于零故证明了，如位移场是管量场，则位移场的散度等于零2、具体的求一组解的方法：具体的求一组解的方法：对对y积分可以得到积分可以得到可以满足上式。可以
25、满足上式。可以得到此方程的一组解；可以得到此方程的一组解； 证明了由位移场的散度为零所决定的矢量位存在，证明了由位移场的散度为零所决定的矢量位存在，但是解不是唯一的。但是解不是唯一的。 所以知道：如果位移场的散度为零，则此位移场是所以知道：如果位移场的散度为零，则此位移场是管量场。管量场。三、位移矢量公式三、位移矢量公式 一般情况下，物体变形时，其中任一微小体积既有体一般情况下，物体变形时，其中任一微小体积既有体积改变，又作刚性转动。积改变，又作刚性转动。 因此，相应的位移场就是势量场和管量场的迭加。因此，相应的位移场就是势量场和管量场的迭加。即位移矢量可以分解为两个分矢量，即位移矢量可以分解
26、为两个分矢量，第一个分矢量表示无转动，而是纯体积膨胀的位移，第一个分矢量表示无转动，而是纯体积膨胀的位移，就是标量位的梯度。就是标量位的梯度。第二个分矢量表示没有体积膨胀的纯转动的位移，第二个分矢量表示没有体积膨胀的纯转动的位移，就是矢量位的旋度。就是矢量位的旋度。此为位移矢量公式此为位移矢量公式3-8 位移边界条件位移边界条件解决弹性力学问题，必须考虑边界条件解决弹性力学问题，必须考虑边界条件力的边界条件：物体表面上给定了面力，力的边界条件：物体表面上给定了面力，位移边界条件：物体表面给定的是位移。位移边界条件：物体表面给定的是位移。力的边界条件力的边界条件给出了应力和面力之间的关系。给出了
27、应力和面力之间的关系。位移边界条件位移边界条件是指当物体变形时，相应的位移函数在边界是指当物体变形时，相应的位移函数在边界上应满足的条件。上应满足的条件。如果物体表面的位移已知，称为位移边界位移边界用Su表示。如果物体表面的位移 已知边界条件为称为位移边界条件设物体表面为S位移已知边界Su面力已知边界Ss则 SSuSs弹性体的整个边界，是由面力边界和位移边界构成的。任意一段边界，可以是面力边界，或者位移边界。面力边界和位移边界在一定条件下是可以转换的，例如静定问题。某些问题，边界部分位移已知，另一部分面力已知，这种边界条件称为混合边界条件混合边界条件。不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合
28、边界条件，弹性体任意边界的边界条件数目不能超过或者少于3个，必须等于3个。位移边界条件例题弹性半空间上有一厚度为H的弹性层二者紧密相连，试写出此半间与弹性层分界面上的位移边界条件。3.9 应变协调方程应变协调方程数学意义：几何方程6个应变分量通过3个位移分量描述力学意义变形连续弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束变形协调方程的数学意义使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。 3
29、.9 应变协调方程应变协调方程应变协调方程应变协调方程 由连续性假设，物体在变形前后均是连续体，因此由连续性假设，物体在变形前后均是连续体，因此物体内各单元体与单元体之间的变形必须相互协调；否物体内各单元体与单元体之间的变形必须相互协调；否则各单元体发生变形以后，就不能再组成一个连续体。则各单元体发生变形以后，就不能再组成一个连续体。位移分量：位移分量：u，v，w应变分量：应变分量：几何方程：几何方程：例例3-1 设 ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。解解：显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的
30、条件。以下我们将着手建立这一条件。 考虑考虑xy平面内各应变分量之间的关系：平面内各应变分量之间的关系：将几何方程：将几何方程：作如下运算：作如下运算：显然有：显然有： 应变协调方程（或相容方程）应变协调方程（或相容方程）即：即： 必须满足上式才能保证位移分量必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协的存在与协调，才能求得这些位移分量。调，才能求得这些位移分量。考虑不同平面内的应变分量之间的关系：考虑不同平面内的应变分量之间的关系：应变协调方程圣维南 （Saint Venant）方程 3- 球对称坐标中的变形表达式球对称坐标中的变形表达式和应力情况对应，以弹性体的对称点为坐标原点，用球和
31、应力情况对应，以弹性体的对称点为坐标原点，用球坐标来分析；根据对称性，所以点的位移均沿径向方向，而坐标来分析；根据对称性，所以点的位移均沿径向方向，而且此位移只是径向坐标的函数，不随其余两个坐标且此位移只是径向坐标的函数，不随其余两个坐标，的变化而变化。的变化而变化。可以导出球对称问题的几何方程：可以导出球对称问题的几何方程：几何方程的推导几何方程的推导球对称问题的几何方程：球对称问题的几何方程：球对称问题的体积应变：球对称问题的体积应变：球对称问题，弹性体的任何部分只沿着方向移动，不球对称问题，弹性体的任何部分只沿着方向移动，不发生任何旋转，所以转动矢量等于零。发生任何旋转，所以转动矢量等于零。一般情况下，用球坐标表示的变形表达式为：一般情况下，用球坐标表示的变形表达式为：（）应变分量与位移分量间的关系：（）应变分量与位移分量间的关系：（）体积应变与位移分量间的关系：（）体积应变与位移分量间的关系：（）转动分量与位移分量间的关系：（）转动分量与位移分量间的关系：本章小结位移分量和应变分量的关系几何方程物体内无限临近两点之间的位置关系如何表述物体内一点的应变状态正应变和剪切应变坐标旋转时应变分量的表示公式主应变、应变主方向的求解，以及主应变和主方向之间的对应关系无旋变形、等体变形和位移矢量公式位移边界条件和应变协调方程球对称坐标系的几何方程
