《第八节定积分几何应用ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八节定积分几何应用ppt课件（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八节第八节 定积分的几何运用定积分的几何运用平面图形的面积平面图形的面积体积体积平面曲线的弧长平面曲线的弧长小结小结回想回想 曲曲边梯形求面梯形求面积的的问题ab xyo面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下3 求和，得求和，得A的近似的近似值ab xyo4 求极限，得求极限，得A的准确值的准确值提示提示面面积元元素素元素法的普通步骤：元素法的普通步骤：这个方法通常叫做元素法个方法通常叫做元素法运用方向：运用方向：平面平面图形的面形的面积；体；体积；平面曲；平面曲线的弧的弧长；功；水功；水压力；引力和平均力；引力和平均值等等曲曲边梯形的面梯形的面积曲曲边梯形的面梯形的面积一、平
2、面图形的面积一、平面图形的面积1、直角坐标系情形、直角坐标系情形解解两曲两曲线的交点的交点面面积元素元素选选 为积分变量为积分变量解解两曲两曲线的交点的交点选选 为积分变量为积分变量于是所求面积于是所求面积阐明：留意各明：留意各积分区分区间上被上被积函数的方式函数的方式问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗吗？解解两曲两曲线的交点的交点选选 为积分变量为积分变量假设曲边梯形的曲边为参数方程假设曲边梯形的曲边为参数方程曲曲边梯形的面梯形的面积解解椭圆的参数方程的参数方程由由对称性知称性知总面面积等于等于4倍第一象限部分面倍第一象限部分面积面面积元素元素曲曲边扇形的面扇形的面积2、极坐标系情形、极
3、坐标系情形解解由由对称性知称性知总面面积=4倍第倍第一象限部分面一象限部分面积解解利用利用对称性知称性知 旋旋转体就是由一个平面体就是由一个平面图形形饶这平面内平面内一条直一条直线旋旋转一周而成的立体一周而成的立体这直直线叫做叫做旋旋转轴圆柱柱圆锥圆台台二、体积二、体积1、旋转体的体积、旋转体的体积xyo旋旋转体的体体的体积为解解直线直线 方程为方程为解解解解补充补充利用利用这个公式，可知上例中个公式，可知上例中解解体体积元素元素为2、平行截面面积为知的立体的体积、平行截面面积为知的立体的体积 假假设一个立体不是旋一个立体不是旋转体，但却知道体，但却知道该立立体上垂直于一定体上垂直于一定轴的各
4、个截面面的各个截面面积，那么，那么，这个立体的体个立体的体积也可用定也可用定积分来分来计算算.立体体积立体体积解解取坐取坐标系如系如图底底圆方程方程为截面面截面面积立体体立体体积解解取坐取坐标系如系如图底底圆方程方程为截面面截面面积立体体立体体积三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长弧弧长元素元素弧弧长1、直角坐标情形、直角坐标情形解解所求弧所求弧长为解解曲曲线弧弧为弧弧长2、参数方程情形、参数方程情形解解 星形星形线的参数方程的参数方程为根据根据对称性称性第一象限部分的弧第一象限部分的弧第一象限部分的弧第一象限部分的弧长长证根据根据椭圆的的对称性知称性知故原故原结论成立成立.曲曲线弧弧为弧弧长
5、3、极坐标情形、极坐标情形解解解解求在直角坐求在直角坐标系下、参数方程方式系下、参数方程方式下、极坐下、极坐标系下平面系下平面图形的面形的面积.留意恰当的留意恰当的选择积分分变量有助于量有助于简化化积分运算分运算四、小结四、小结旋旋转体的体体的体积平行截面面平行截面面积为知的立体的体知的立体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕非非轴直直线旋旋转一周一周直角坐直角坐标系下系下参数方程情形下参数方程情形下极坐极坐标系下系下弧微分的概念弧微分的概念求弧求弧长的公式的公式思索题思索题思索题解答思索题解答xyo两边同时对两边同时对 求导求导积分得分得所以所求曲所以所求曲线为练练 习习 题题练习题答案练习题答案
