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1、飞行管理问题飞行管理问题在约1万米高空的某边长为160公里的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行,区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时,记录其数据后,要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞,如果会碰撞,则应计算如何调整每架(包括新进入的)飞机飞行的方向角,以避免碰撞。现假定条件如下:(1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里;(2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度;(3)所有飞机飞行速度均为每小时800公里;(4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时与区域内飞机的距离应在60公里以上;(5)最多需考虑6架
2、飞机;(6)不必考虑飞机离开此区域后的状况。请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。并对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度).飞机编号飞机编号横坐标横坐标X纵坐标纵坐标Y方向角方向角(度度)1150140243285852363150155220.54145501595130150230新进入新进入0052飞行管理问题参考解答飞行管理问题参考解答1.问题分析问题分析目的：不碰撞。手段：调整飞行方向角。要求：调整的幅度尽量小。求解思路：(1)找出不碰撞的条件。(2)求调整幅度的极小值。建立优化模型。题目的条件题目的条件(1)飞机在
3、正方形区域内水平飞行。(2)飞机不碰撞的标准为二者距离大于8公里。根据(1)可将飞机飞行的空域视为二维平面xoy中的一个正方形区域,顶点为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。根据(2)可将每架飞机视为一个以飞机坐标点为圆心、以4公里为半径的圆状物体。每架飞机在空域中的状态由圆心的位置矢量和飞行速度矢量确定。这样两架飞机是否碰撞就化为两圆在运行过程中是否相交的问题。两圆是否相交只要讨论它们的相对运动即可。2.模型假设模型假设(1)飞机进入区域边缘时,立即作出计算,每架飞机按照计算后的指示立即作方向角改变;(2)每架飞机在整个过程中至多改变一次方向;(3)忽略飞机转向的
4、影响(转弯半径和转弯时间的影响);(4)新飞机进入空域时,已在空域内部飞行的飞机的飞行方向已调合适,不会碰撞;(5)对每架飞机方向角的相同调整量的满意程度是一样的。3.模型的建立模型的建立(1) 圆状模型圆状模型由前面的分析将飞机作为圆状模型进行研究。两圆不相交,则表明不会发生碰撞事故;若两圆相交,则表明会发生碰撞事故。为了研究两飞机相撞问题,采用相对速度作为研究对象,因为飞机是否相撞的关键是相对速度。下图给出任意两架飞机间的关系。图中符号含义如下:i,j第i、第j架飞机的圆心;aij 第i架飞机与第j架飞机的碰撞角,是两圆的切线交角中指向圆的那个角的一半.;vij第i架飞机相对于第j架飞机的
5、相对飞行速度;lij第i架飞机与第j架飞机的圆心距;ij第i架飞机对于第j架飞机的相对速度与两架飞机圆心连线的交角。规定以第i架飞机为原点,ij连线从i指向j为正方向,逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角; AB、CD为两圆的公切线, mi/AB, nj/CD另外再引入记号:i 第i架飞机的飞行方向与直角坐标xoy中x轴正向的夹角(转角);xi 第i架飞机在坐标xoy中的位置矢量;vi 第i架飞机的飞行速度矢量。 由图得到两飞机不相撞(两圆不相交)的充要条件是|ij|aij.当|ij|aij时,则通过调整两飞机的方向角i与i,使飞机不相撞。(2) 决策目标决策目标 题目要求飞机飞行方向角调整的幅
6、度尽量小,这个尽量小是针对每架飞机而言,同时也要求整体满意程度(即对管理层而言,应使每架飞机的调整都尽量的小). 构造目标函数时,可以认为若对方向角调整量最大的飞机而言,其调整量可满意,则由假设(5)对其余飞机调整量均可满意。即要求每架飞机的调整量都小于某个数 故可取目标函数为 ,求其最小值min(3) 由圆状模型导出的方程由圆状模型导出的方程飞行方向角改变量i 、j 相对飞行速度方向角ij的改变量ij讨论ij 与i 、j的关系。对飞行速度矢量vi，由题目条件有，|vi=|vi=800 =A(km)飞行方向角为i用复数表示vi得。记第i,j两架飞机飞行方向改变前的速度、两架飞机的相对速度分别为
7、：飞行方向改变后的速度、相对速度分别为：则相对飞行速度方向角的改变量ij由 得出。定定理理 对第i,j架飞机,其相对速度方向的改变量ij等于两飞机飞行方向角改变量的平均值。故则调整方向后两飞机不相撞的充要条件是： |ij + ij |aij.总结以上结果得如下优化模型 min (1) s.t.|ij+ ij |aij.,ij =（i +j） (2) |i |, i=16, (3) |i |30,i=16, (4) 0 i 30 (5) (4) 线性规划模型。 将上述优化模型进行化简,可转化为线性规划模型。|ij+ ij |aij可化为：ij+ ij aij 当ij0ij + ij -aij 当
8、ij2aij -2 ij 当ij0 (7) i1 -i2 + j1 -j2 2 ij -2 aij 当ijaij(即不会相撞)。 其中有些飞机对有|ij|-aij aij 0.01, 只须将模型中的ai用 ai0.01代替即可。 将调整后各量再代入模型进行计算得 min= 0即此时无需再调整。经模拟程序运行可观察动态结果是正确的。6. 6. 模型评价与推广模型评价与推广 (1)此模型采用圆状模型分析碰撞问题是合理的,同时采用相对速度作为判断标准,即体现了碰撞的本质(相对运动),又简化了模型的计算。(2) 建模中用了适当的简化,将一个复杂的非线性规划问题简化为线性规划问题。既求到合理的解,又提高了运算速度。这对于解决高速运行的飞机碰撞问题是十分重要的。此模型对题目所提供的例子计算得出的结果是令人满意的。(3) 简化模型中忽略了ij =0(即两架飞机迎面飞行)的情况。 ij =0时,可使用约束条件(7)式或(8)式求出最优解。比较此两组解可得最优解。(4) 模型中的约束条件数为 +4n=n(n+7)/2 (n是飞机数),n增大时,约束条件数是n的二次函数,计算量增加不大。
