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1、13.4 13.4 真空中的高斯定理真空中的高斯定理本节内容：本节内容：1、电场线的定义和性质；、电场线的定义和性质；2、电场强度通量的概念和计算公式；、电场强度通量的概念和计算公式；3、高斯定理的内容、数学表达式和物理、高斯定理的内容、数学表达式和物理 意义；（重点）意义；（重点）4、利用高斯定理计算特殊带电体的电、利用高斯定理计算特殊带电体的电 场。场。(重点重点)一、电场线电力线）一、电场线电力线）用矢量一点一点表示场强的缺点：用矢量一点一点表示场强的缺点：1只能表示有限个点场强；只能表示有限个点场强；2场中箭头零乱。场中箭头零乱。1 1线上每一点切线方向表示该点场强的方向；线上每一点切
2、线方向表示该点场强的方向；2 2通过垂直于电力线单位面积的电力线数电通过垂直于电力线单位面积的电力线数电力线密度应等于该点的电场强度值。力线密度应等于该点的电场强度值。曰曰规定：规定：规定：规定：1 1线上每一点切向方向表示该点电场线上每一点切向方向表示该点电场 强度的方向；强度的方向；2 2通过垂直于电力线单位面积的电力通过垂直于电力线单位面积的电力 线数电力线密度应等于该点的线数电力线密度应等于该点的 电场强度值。电场强度值。电力线有什么特点呢？电力线有什么特点呢？电力线特点：电力线特点：1起于正电荷或起于正电荷或“ ”远），止于负电远），止于负电荷荷 （或（或“ ”远）。远）。2任何两条
3、电力线不能相交。任何两条电力线不能相交。3电力线越密的地方，场强电力线越密的地方，场强 越大；电力线越越大；电力线越 疏的地方，疏的地方， 场强越小。场强越小。电力线作用有：电力线作用有：说明场强的方向；说明场强的方向；说明电场的强弱；说明电场的强弱；说明电场的整体分布。说明电场的整体分布。二、电场强度通量电通量）二、电场强度通量电通量）1定义：通过某一面积的电力线数，叫通过定义：通过某一面积的电力线数，叫通过 这一面积的电通量。记为这一面积的电通量。记为“ e”。2计算：计算：A均匀电场均匀电场时：时：S nS nS定义面积矢量定义面积矢量大小：面积大小大小：面积大小方向：面积正法线方向；方
4、向：面积正法线方向；面积有两个面，规定一个面面积有两个面，规定一个面为正面，则另一面则为负面。为正面，则另一面则为负面。建立面积矢量建立面积矢量则电通量：则电通量：注意：注意：S nSB非均匀场非均匀场 因各点场强不一样。因各点场强不一样。分割成许多小面元，任分割成许多小面元，任取一面元取一面元C通过封闭曲面的电通量通过封闭曲面的电通量+规定面积正法线规定面积正法线由曲面指向外由曲面指向外例在一球面内有一点电荷，求通过此球面的例在一球面内有一点电荷，求通过此球面的 电通量。电通量。注意：注意： 是球面上是球面上的电场强度的电场强度+ +解：解：解：解：例例 真空中一立方体形的封闭面真空中一立方
5、体形的封闭面,位于图示位置。已知位于图示位置。已知立方体边长为立方体边长为a =0.1m，空间的场强分布为：，空间的场强分布为：常数常数b = 1000 N/(C.m)。试求通过该闭合面的电场强度。试求通过该闭合面的电场强度通量。通量。因为场强为沿因为场强为沿x x方向的非均匀电方向的非均匀电场场. .因而因而, ,通过立方体上通过立方体上, ,下下, ,前前, ,后四个面的电场强度通量为零后四个面的电场强度通量为零. . 设通过左、右两个平面的设通过左、右两个平面的电场强度通量分别为电场强度通量分别为 和和通过闭合面的总通量通过闭合面的总通量 穿出任一闭合曲面的电通量穿出任一闭合曲面的电通量
6、 等于该曲面等于该曲面内所包围的所有电荷的代数和除以内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与，而与闭合面外的电荷无关。闭合面外的电荷无关。三、高斯定理三、高斯定理-+例：例：+-+证明：证明：1仅有一个点电荷仅有一个点电荷A点电荷在点电荷在S面内：面内：+B点电荷在点电荷在S面外：面外：+2 2S S面内有面内有n n个电荷。个电荷。S S面外有面外有k k个电荷。个电荷。+-+-+-+-+-+-+从电力线性质看：从电力线性质看：3S面内外有带电体面内外有带电体带电体是点电荷带电体是点电荷的集合。同样可的集合。同样可证明高斯定理的证明高斯定理的结论。结论。+ + +Q1定理证毕！定理证毕！ 穿出
7、任一闭合曲面的电通量穿出任一闭合曲面的电通量 等于该曲面等于该曲面内所包围的所有电荷的代数和除以内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与，而与闭合面外的电荷无关。闭合面外的电荷无关。注意：注意：1高斯定理的数学表达式中高斯定理的数学表达式中 是是S面内面内 外所有电荷在外所有电荷在S面上所产生的总场强。面上所产生的总场强。2）仅指仅指S面内的所有电荷的代数和。面内的所有电荷的代数和。S面内外所有电荷在面内外所有电荷在S面上产生的场强面上产生的场强S面内电荷代数和面内电荷代数和3） 当当时，时，面内有正电荷，并非面内有正电荷，并非一定仅只有正电荷一定仅只有正电荷+-当当时，时，面内有负电荷，并非面
8、内有负电荷，并非一定仅有有负电荷一定仅有有负电荷当当时，时，+-面内净电荷为零，但面内净电荷为零，但并非没有电荷。并非没有电荷。+-4静电场是有源场静电场是有源场当当S面内只有正电荷面内只有正电荷从从S面内发出正通量面内发出正通量+ +正电荷称为源头正电荷称为源头当当S面内只有负电荷面内只有负电荷从从S面内发出负通量吸进通量）面内发出负通量吸进通量）负电荷称为负源头尾闾）负电荷称为负源头尾闾）- -这种有源头、尾闾的场称这种有源头、尾闾的场称之为有源场。高斯定理是之为有源场。高斯定理是说明静电场基本性质的方说明静电场基本性质的方程。程。四、应用高斯定理计算场强四、应用高斯定理计算场强若某个电场
9、可找到这样的高斯面，高斯面上若某个电场可找到这样的高斯面，高斯面上的场强处处相等或分区域相等，那么：的场强处处相等或分区域相等，那么：S面是一个简单易求的曲面面积：面是一个简单易求的曲面面积：这样的高斯面通常应满足：这样的高斯面通常应满足：1高斯面上的场强大小相等高斯面上的场强大小相等或分区域相等，其方向与面或分区域相等，其方向与面积正法线之间的夹角相同或积正法线之间的夹角相同或分区域相同。（或场强与面分区域相同。（或场强与面法线垂直，其通量为零法线垂直，其通量为零)+ +2高斯面是简单而又便于高斯面是简单而又便于计算的平面或曲面。计算的平面或曲面。3高斯面上的场强为所求。高斯面上的场强为所求
10、。通常是具有某种对称性通常是具有某种对称性的电场的电场-轴对称、球对轴对称、球对称、均匀场等。称、均匀场等。例例1 1求半径为求半径为R R均匀带电均匀带电q q的球壳所产生电场的球壳所产生电场 的分布。的分布。+知：知：R、q求：求：解：解：1分析对称性分析对称性将电荷看成许多成对的点电荷将电荷看成许多成对的点电荷的集合的集合OR+其球内也一样。其球内也一样。+结论：结论： 是以是以O O为中心的为中心的球对称电场。球对称电场。+2作半径为作半径为 的高斯球面的高斯球面+S依高斯定理：依高斯定理：或或+3作半径为作半径为 的高斯球面的高斯球面RS例例2 2一半径为一半径为R R、均匀带电、均
11、匀带电q q的球体，求其电场的球体，求其电场的分布。的分布。+Rq+Rq知：知：R、q求：求：解：解：1对称性分析：对称性分析：将球体看成许多薄球壳组成。将球体看成许多薄球壳组成。+Rq+结论：球内外都是球对称分结论：球内外都是球对称分 布。布。+Rq+S2作半径为作半径为 的球面的球面由高斯定理：由高斯定理：或或+2作半径为作半径为 的球面的球面由高斯定理：由高斯定理：SRq2作半径为作半径为 的球面的球面+ +RqR此题能用叠加原理求，你能求出吗？此题能用叠加原理求，你能求出吗？例例3 3求无限大带电平面的电场。设电荷面密度为求无限大带电平面的电场。设电荷面密度为 。知：知： ， 求：求：
12、解：对称性分析；解：对称性分析；+ 结论：是以面为对称的场。与带电面等距离的结论：是以面为对称的场。与带电面等距离的 两平行平面处场强值相等。两平行平面处场强值相等。+ 2作垂直于带电面的高斯圆柱面作垂直于带电面的高斯圆柱面依高斯定理：依高斯定理：XOS1S2S3S1S3S2+知：知： 、R求：求：解：对称性分析：解：对称性分析：例例4求一无限长，单位长度带电求一无限长，单位长度带电 的直圆柱带电的直圆柱带电 体的电场。体的电场。+结论：电场以结论：电场以中心轴线为对中心轴线为对称。称。S侧侧以轴线为中心，作半径为以轴线为中心，作半径为r r的圆柱形高斯面的圆柱形高斯面S S2 2）依高斯定理：依高斯定理：+S下下S上上以轴线为中心，作半径为以轴线为中心，作半径为r的圆柱形高斯面的圆柱形高斯面S3）依高斯定理：依高斯定理：+S侧侧S下下S上上综合：综合：rEr）R+R作业作业P3136：选：选5、6； 计计5、7。
