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1、简单的线性规划问题简单的线性规划问题xyo2新课探究新课探究 某工厂用某工厂用A A、B B两种配件生产甲、乙两种产品，每生两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用产一件甲产品使用4 4个个A A配件耗时配件耗时1h1h，每生产一件乙，每生产一件乙产品使用产品使用4 4个个B B配件耗时配件耗时2h2h，该厂每天最多可从配件，该厂每天最多可从配件厂获得厂获得1616个个A A配件和配件和1212个个B B配件，按每天工作配件，按每天工作8h8h计算，计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？该厂所有可能的日生产安排是什么？解：按甲、乙两种产品分别生产解：按甲、乙两种产品分别生产x x、y
2、y件，由已知条件，由已知条件可得二元一次不等式组件可得二元一次不等式组 将上述不等式组表示成平面上的区域将上述不等式组表示成平面上的区域yx4843o 若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利2 2万元，生万元，生产一件乙产品获利产一件乙产品获利3 3万元，采用那种生万元，采用那种生产安排利润最大？产安排利润最大？ 设工厂获得的利润为设工厂获得的利润为z z，则，则z z2x2x3y3y把把z z2x2x3y3y变形为变形为 它表示斜率为它表示斜率为 的一组平行直线，的一组平行直线，z z与与这条直线的截距有关。这条直线的截距有关。 如图可见，当直线经过区域上的点如图可见，当直线经过区域上的点
3、M M时，截距时，截距最大，即最大，即z z最大。最大。M甲、乙两种产品分别生产甲、乙两种产品分别生产x x、y y件件象这样关于象这样关于x,yx,y一次不等一次不等式组的约束条件称为式组的约束条件称为线性约束线性约束条件条件Z=2x+3yZ=2x+3y称为目标函数称为目标函数,(,(因这里因这里目标函数为关于目标函数为关于x,yx,y的一次式的一次式, ,又又称为称为线性目标函数线性目标函数 在线性约束下求线性目标函数在线性约束下求线性目标函数的最值问题的最值问题, ,统称为统称为线性规划线性规划, , 二、基本概念二、基本概念 二、基本概念二、基本概念yx4843o 满足线性约束的满足线
4、性约束的解（解（x x，y y）叫做可行解。）叫做可行解。 由所有可行解组由所有可行解组成的集合叫做可行域。成的集合叫做可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。做这个问题的最优解。可行域可行域可行解可行解最优解最优解可行域可行域线性规划概念理解问题：设z=2x+y，式中，式中变量量满足足下列条件：下列条件：求求z的最大的最大值与最小与最小值。 目标函数（线性目标函数）线性性约束条件束条件变式：变式：求利润求利润z=x+4y的最大值的最大值.解解:按甲、乙两种产品分别生产按甲、乙两种产品分别生产x x、y y件，件，目标函数目标函
5、数为为Z,Z,那么：那么：约束条件约束条件为为目标函数为目标函数为作出上述约束条件所表示的作出上述约束条件所表示的可可行域如下：行域如下：yx48oM将 变形为 这是斜率为这是斜率为 ，随，随z变化的平变化的平行直线系，行直线系， 是是 直线在直线在Y轴上的轴上的截距，当截距，当 最大时，最大时，z取得最大取得最大值。所以直线值。所以直线 与可行域相交且在与可行域相交且在Y轴上的截距轴上的截距最大时，目标函数取得最大值最大时，目标函数取得最大值。N由图可见，当由图可见，当 直线直线 经过可行域上的经过可行域上的N点时点时 最最大，即大，即 最大。最大。解方程组解方程组 得得N点的坐标为（点的坐
6、标为（2，3）。）。所以所以线性性规划：划：求求线性目性目标函数在函数在线性性约束条件下的最束条件下的最大大值或最小或最小值的的问题，统称称为线性性规划划问题 可行解可行解 ：满足足线性性约束条束条件的解件的解(x，y)叫可行解；叫可行解； 可行域可行域 ：由所有可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域；成的集合叫做可行域； 最最优解解 ：使目使目标函数取得函数取得最大或最小最大或最小值的可行解叫的可行解叫线性性规划划问题的最的最优解。解。 可行域可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)复复习线性性规划划练习练习解下列线性规划问题：解下列线性规划问题：1、求、求z=2x+y的最大值，
7、使式中的的最大值，使式中的x、y满足约束条件：满足约束条件：xOyABCy=x x+y=1y=-12x+y=0B:(-1,-1)C:(2,-1)Zmin=-3Zmax=3 目标函数：目标函数： Z=2x+y14解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤： （1）2、画画：画出画出线性性约束条件所表示的可行域；束条件所表示的可行域； （2）3、移移：在在线性目性目标函数所表示的一函数所表示的一组平行平行线中，中，利用平移的方法找出与可行域有公共点利用平移的方法找出与可行域有公共点且且纵截距最大或最小的直截距最大或最小的直线； （3）4、求求：通：通过解方程解方程组求出最求出最优解；解； （4）5
8、、答：作出答案。答：作出答案。 1、找、找找出找出线性性约束条件、目束条件、目标函数；函数； 例例2 2：xy0二、练习二、练习1、求求z3x5y的最小值，使的最小值，使x、y满足约束条件：满足约束条件：1.解：作出平面区域解：作出平面区域xyoABCz3x5y 作出直线作出直线3x5y z 的的图像，可知直线经过图像，可知直线经过A点时，点时，Z取最大值；直线经过取最大值；直线经过B点点时，时，Z取最小值。取最小值。 求得求得A（，），（，），B（2，1），则），则Zmax=17，Zmin=11。 第二课时xyo复习线性规划线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称
9、为线性规划问题 可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解； 可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域； 最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。 可行域可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)20解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤： （1）2、画画：画出画出线性性约束条件所表示的可行域；束条件所表示的可行域； （2）3、移移：在在线性目性目标函数所表示的一函数所表示的一组平行平行线中，中，利用平移的方法找出与可行域有公共点利用平移的方法找出与可行域有公共点且且纵截距最大或最小的直截距最大或最小的直线； （3）4、求求：通：通过解方程解方
10、程组求出最求出最优解；解； （4）5、答：作出答案。答：作出答案。 1、找、找找出找出线性性约束条件、目束条件、目标函数；函数； 一、线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、一是在人力、物力、资金等金等资源一定的条件下，源一定的条件下，如何使用它如何使用它们来完成最多的任来完成最多的任务；二是二是给定一定一项任任务，如何合理安排和，如何合理安排和规划，能以最少的人力、划，能以最少的人力、物力、物力、资金等金等资源来完成源来完成该项任任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用： 二、例题二、例题例例例例5 5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应
11、该至少提、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供的碳水化合物，的蛋白质，的脂肪，供的碳水化合物，的蛋白质，的脂肪，供的碳水化合物，的蛋白质，的脂肪，供的碳水化合物，的蛋白质，的脂肪，1kg1kg食物食物食物食物A A含有含有含有含有碳水化合物，蛋白质，脂肪，花费碳水化合物，蛋白质，脂肪，花费碳水化合物，蛋白质，脂肪，花费碳水化合物，蛋白质，脂肪，花费2828元；而元；而元；而元；而1kg1kg食物食物食物食物B B含有碳水化合物，蛋白质，脂肪，花费含有碳水化合物，蛋白质，脂肪，花费含有碳水化合物，蛋白
12、质，脂肪，花费含有碳水化合物，蛋白质，脂肪，花费2121元。为了满元。为了满元。为了满元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物需要同时食用食物需要同时食用食物需要同时食用食物A A和食物和食物和食物和食物B B多少多少多少多少kgkg？分析：将已知数据列成表格分析：将已知数据列成表格分析：将已知数据列成表格分析：将已知数据列成表格食物kg碳水化合物kg蛋白质/kg脂肪kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07
13、解：设每天食用解：设每天食用xkg食物食物A，ykg食物食物B，总成本为，总成本为z，那么，那么目标函数为：目标函数为：z28x21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域1、找、找把目标函数把目标函数z28x21y 变形为变形为xyo/ 575/76/73/73/76/7 它表示斜率为它表示斜率为 纵截纵截距随距随z变化的一组平行变化的一组平行直线直线 是直线在是直线在y轴上轴上的截距，当截距最的截距，当截距最小时，小时，z的值最小。的值最小。M如图可见，当直线如图可见，当直线z28x21y 经过可行经过可行域上的点域上的点M时，纵截距时
14、，纵截距最小，即最小，即z最小。最小。2、画、画3、移移M点是两条直线的交点，解方程组点是两条直线的交点，解方程组得得M点的坐标为：点的坐标为：所以所以zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A143g，食物，食物B约约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为最低成本为16元。元。4、求求5、答答例例6 6、要要将将两两种种大大小小不不同同规规格格的的钢钢板板截截成成A A、 B B、C C三三种种规规格格，每每张张钢钢板板可可同同时时截截得得三三种种规规格的小钢板的块数如下表所示格的小钢板的块数如下表所示 ：
15、规格类型规格类型钢板类型钢板类型第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板A A规格规格B B规格规格C C规格规格2 21 12 21 13 31 1今需要今需要A,B,CA,B,C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为1515，1818，2727块，问各截这两种钢板多少张可得所需三块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。种规格成品，且使所用钢板张数最少。解：设需截第一种钢板解：设需截第一种钢板x x张、第二种钢板张、第二种钢板y y张，可得张，可得x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xN
16、*y0 yN* 经经过过可可行行域域内内的的整整点点B(3,9)和和C(4,8)且且和和原原点点距距离离最近的直线是最近的直线是x+y=12，它们是最优解它们是最优解.答答:(略略)作出一组平行直线作出一组平行直线z= x+y，目标函数目标函数z=x+yz=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法打网格线法在可行域内打出网格线，在可行域内打出网格线，当直线经过点当直线经过点A A时时, ,但它不是最优整数解，但它不是最优整数解，将直线继续向上平移将直线继续向上平移,2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =0直线直线x+y=12x+y=12经过的整点是经过的整
17、点是B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)，它们是最优解，它们是最优解. . 作出一组平行直线作出一组平行直线z z = = x+yx+y，目标函数目标函数z = x+yz = x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)当当直直线线经经过过点点A A时时, ,但但它它不不是是最最优优整整数数解解. .作作直直线线x+y=12x+y=12x+y=12解得解得交点交点B,C的坐标的坐标B(3,9)和和C(4,8)调整优值法调整优值法2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xN*y0 yN*x0y 即先求非整数条件下的最优解，即先求非整数条件下的最优解，调整调整Z
18、的值使不定方程的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（小）存在最大（小）的整点值，最后筛选出整点最优解的整点值，最后筛选出整点最优解 即先打网格，描出可行域内的即先打网格，描出可行域内的整点整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点坐平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标即为最优整解标即为最优整解线性规划求最优整数解的一般方法线性规划求最优整数解的一般方法:1.1.平移找解法：平移找解法： 2.2.调整优解法调整优解法：小结：小结：例例7 7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝
19、酸盐、硝酸盐18t18t，获利，获利1000010000元；生产元；生产1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t，获利，获利50005000元。现库存磷酸盐元。现库存磷酸盐10t10t、硝酸盐硝酸盐66t66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？大的利润？解：设解：设x、y分别为计划生产甲、乙两
20、种混合分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo解：设生产甲种肥料解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y车皮，能够产车皮，能够产生利润生利润Z万元。目标函数为万元。目标函数为Zx，可行域如图：，可行域如图：把把Zx变形为变形为y2x2z，它表示斜率为，它表示斜率为2，在，在y轴上的截距为轴上的截距为2z的一组直线系。的一组直线系。 xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，时，截距截距2z最大，即最大，即z最大。最大。 故生产甲种、乙种肥料各故生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利
21、润，车皮，能够产生最大利润，最大利润为最大利润为3万元。万元。M 容易求得容易求得M点的坐标为点的坐标为（2，2），则），则Zmin3例例8 8、某人准备投资、某人准备投资12001200万元兴办一所完全中学。万元兴办一所完全中学。对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）（以班级为单位） 分别用数学关系式和图形表示上述限制条件分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费16001600元，元，高中每人每年可收学费高中每人每年可收学费27002700元。
22、那么开设初中班和高元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？中班多少个？每年收费的学费总额最多？ 学学段段班级学生数班级学生数 配备教师数配备教师数初中初中45226班班2人人高中高中40354班班2人人把上面四个不等式合在一起，把上面四个不等式合在一起，得到得到yx2030402030o 另外，开设的班级不能为负，则另外，开设的班级不能为负，则x0x0，y0y0。而由于资金限制而由于资金限制，26x26x54y54y22x22x23y120023y1200 解：设开设初中班解：设开设初中班x x个，高中班个，高中班y y个。因办学规模以个。因办学规模以20203030个班为宜
23、，所以，个班为宜，所以， 20x20xy30y30yx2030402030o 由图可以看出，当直由图可以看出，当直线线Z经过可行域上经过可行域上的点的点M时，截距最大，时，截距最大，即即Z最大。最大。 设收取的学费总额为设收取的学费总额为Z万元，则目标函数万元，则目标函数Z0.1645x0.2740y。Z变形为变形为它表示斜率为它表示斜率为 的直线系，的直线系，Z与这条直线的截距有关。与这条直线的截距有关。M 易求得易求得M（20，10），则），则Zmax 252 故开设故开设20个初中班和个初中班和10个高中班，收取的学费最个高中班，收取的学费最多，为多，为252万元。万元。咖啡馆配制两种饮
24、料甲种饮料每杯含奶粉咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡、咖啡4g、糖、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡、咖啡5g、糖、糖10g已知每天原料的已知每天原料的使用限额为奶粉使用限额为奶粉3600g ，咖啡，咖啡2000g糖糖3000g,如果甲种饮料每如果甲种饮料每杯能获利元，乙种饮料每杯能获利元，每天在原料的使用限额杯能获利元，乙种饮料每杯能获利元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？解：将已知数据列为下表：解：将已知数据列为下表：解解: :设每天应配制甲种饮料设每天
25、应配制甲种饮料x x杯，乙种饮料杯，乙种饮料y y杯，则杯，则把直线把直线l l向右上方平移至向右上方平移至l l1 1的位置时，的位置时，直直线线经经过过可可行行域域上上的的点点C C，且且与与原原点点距距 离最大，离最大，此时取最大值此时取最大值解方程组解方程组 得点得点C C的坐标为（的坐标为（200200，240240）_0_ 9 x + 4 y = 3600_ C (200,240)_ 4 x + 5 y = 2000_ 3 x + 10 y = 3000_ 7 x + 12 y = 0_ 400_ 400_ 300_ 500_ 1000_ 900_ 0_ x_ y目标函数为：目标函
26、数为：答答:每天配制甲种饮料每天配制甲种饮料200杯杯,乙种饮料乙种饮料240杯可获取最大利润杯可获取最大利润.小结作出可行域：作出可行域：目标函数为：目标函数为：作直线作直线l:0.7x+1.2y=0，巩固练习二巩固练习二巩固练习二巩固练习二 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为30003000元、元、元、元、20002000元，甲、乙产品都需要在元，甲、乙产品都需要在元，甲、乙产品都需要在元，甲、乙产品都需要在A A、B B两种设备上加
27、工，两种设备上加工，两种设备上加工，两种设备上加工，在每台在每台在每台在每台A A、B B上加工上加工上加工上加工1 1件甲所需工时分别为件甲所需工时分别为件甲所需工时分别为件甲所需工时分别为1h1h、2h2h，在每台，在每台，在每台，在每台A A、B B上加工上加工上加工上加工1 1件乙所需工时分别为件乙所需工时分别为件乙所需工时分别为件乙所需工时分别为2h2h、1h1h， A A、B B两种设备每月两种设备每月两种设备每月两种设备每月有效使用台数分别为有效使用台数分别为有效使用台数分别为有效使用台数分别为400h400h和和和和500h500h。如何安排生产可使收入最。如何安排生产可使收入
28、最。如何安排生产可使收入最。如何安排生产可使收入最大？大？大？大？ 设每月生产甲产品设每月生产甲产品x件，生产乙产品件，生产乙产品y件，每月收件，每月收入为入为z，目标函数为，目标函数为Z3x2y，满足的条件是，满足的条件是 Z 3x2y 变形为变形为它表示斜率为它表示斜率为 的直线系，的直线系，Z与这条直线的截距有关。与这条直线的截距有关。XYO400200250500 当直线经过点当直线经过点M时，截距最大，时，截距最大，Z最大。最大。M解方程组解方程组可得可得M（200，100）Z 的最大值的最大值Z 3x2y800故生产甲产品故生产甲产品200件，件，乙产品乙产品100件，收入件，收入
29、最大，为最大，为80万元。万元。四四.课时小结课时小结 线性规划的两类重要实际问题的解题思路： 1.应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。 2.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较。） 3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。 例例2 2：xy0xy0例例2 2：xy0例例2 2：xy0例例2 2：xy01)1)求求z=2x-yz=2x-y的最值的最值例例3 3：xy02)2)求求z=x+2yz=x+2y的最值的最值 例例3 ：xy03)3)求求z=3x+5yz=3x+5y的最值的最值 例例3 ：xy0例例3 ：xy0P例例3：xy0P6)6)若若 z=ax+yz=ax+y取得最取得最大大值的最优解有值的最优解有无数个无数个, , 求实数求实数a a的值的值例例3 ：xy07)7)若若 z=ax+yz=ax+y取得最取得最小小值的最优解有值的最优解有无数个无数个, , 求实数求实数a a的值的值例例3 ：xy0
