第十二章结构动力计算

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1、第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算教学内容：教学内容：结构振动自由度的确定；单自由度体系无阻尼自由振动；阻尼对自由振动的影响；单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动；多自由度体系自由振动。教学要求：教学要求：1、了解多自由度系统振频、振型计算一般理论；2、理解振动自由度的概念；3、掌握单自由度结构的自由振动和在简谐荷载作用下的受迫振动，多自由度体系自由振动。重点：重点：单自由度结构的自由振动和在简谐荷载作用下的受迫振动。难点：点：多自由度体系的自由振动第十二章第十二章 结构构动力力计算算整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算12-1 12-1 概述概述12-2 12-2

2、运运动方程的建立方程的建立12-3 12-3 单自由度体系的自由振自由度体系的自由振动12-4 12-4 阻尼阻尼对自由振自由振动的影响的影响12-5 12-5 简谐荷荷载作用下无阻尼作用下无阻尼单自由度体自由度体 系的受迫振系的受迫振动12-6 12-6 多自由度体系的自振多自由度体系的自振频率和振型率和振型计算算第十二章第十二章 结构构动力力计算算整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算一、一、动荷荷载及其分及其分类 动荷荷载是指其大小、方向和作用位置随是指其大小、方向和作用位置随时间变化的化的荷荷载。由于荷。由于荷载随随时间变化化较快，所快，所产生的生的惯性力不容性力不容忽忽

3、视。因此，考。因此，考虑惯性力的影响是性力的影响是结构构动力学的最主要力学的最主要特征。特征。 静荷静荷载只与作用位置有关，而只与作用位置有关，而动荷荷载是坐是坐标和和时间的函数。的函数。 12-1 12-1 概述概述整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算动荷荷载按其随按其随时间的的变化化规律律进行分行分类： 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算二、二、结构构动力力计算的目的算的目的 研究研究结构在构在动荷荷载作用下的反作用下的反应规律，找出律，找出动荷荷载作用下作用下结构的最大构的最大动内力和最大内力和最大动位移，位移，为结构的构的动力力可靠性可靠性设计提供依据

4、。提供依据。 三、三、动力反力反应的特点的特点 在在动荷荷载作作用用下下，结构构的的动力力反反应（动内内力力、动位位移移等等）都都随随时间变化化，它它除除了了与与动荷荷载的的变化化规律律有有关关外外，还与与结构构的的固固有有特特性性（自自振振频率率、振振型型和和阻阻尼尼）有有关。关。 不同的不同的结构，如果它构，如果它们具有相同的阻尼、具有相同的阻尼、频率和振率和振型，型，则在相同的荷在相同的荷载下具有相同的反下具有相同的反应。可。可见，结构的构的固有特性能确定固有特性能确定动荷荷载下的反下的反应，故称之，故称之为结构的构的动力力特性。特性。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算

5、 强迫迫振振动：结构构在在动荷荷载作作用用下下产生生的的振振动。研研究究强迫振迫振动，可得到，可得到结构的构的动力反力反应。 四、自由振四、自由振动和和强迫振迫振动 自由振自由振动：结构在没有构在没有动荷荷载作用作用时，由初速度、，由初速度、初位移所引起的振初位移所引起的振动。 研究研究结构的自由振构的自由振动，可得到，可得到结构的自振构的自振频率、振率、振型和阻尼参数。型和阻尼参数。 结构在构在强迫振迫振动时各截面的最大内力、位移都与各截面的最大内力、位移都与结构的构的自由振自由振动的的频率率密切有关。密切有关。 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 确定体系运确定体系运动过

6、程中任一程中任一时刻全部刻全部质点位置所需的点位置所需的独立几何参数数目，称独立几何参数数目，称为体系的体系的自由度自由度。 根据自由度的数目，根据自由度的数目，结构可分构可分为单自由度体系，多自由度体系，多自由度体系和无限自由度体系自由度体系和无限自由度体系。五、五、动力分析中的自由度力分析中的自由度1 1自由度的定自由度的定义 将将连续分分布布的的结构构质量量按按一一定定的的力力学学原原则集集中中到到若若干干几几何何点点上上，使使结构构只只在在这些些点点上上有有质量量。从从而而把把一个无限自由度一个无限自由度问题简化化为有限自由度有限自由度问题。 2.2.实际结构自由度的构自由度的简化方法

7、化方法 为分析分析计算方便，往往将具有无限自由度体系的算方便，往往将具有无限自由度体系的实际结构构简化化为有限自由度。常用的有限自由度。常用的简化方法有：化方法有：（1 1）集中）集中质量法量法整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算不不计轴向向变形形: W=1: W=1平面平面: :计轴向向变形形: W=2: W=2整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算3.3.确定体系振确定体系振动自由度的方法自由度的方法4 4个自由度个自由度2 2个自由度个自由度方法一方法一: :可以运用附加可以运用附加链杆法，使杆法，使质量不量不发生生线位移位移所所施加的附加施加的附加链杆数即

8、杆数即为体系的体系的计算自由度。算自由度。方法二方法二: :当当忽略杆件的忽略杆件的轴向向变形形时，可以运用几何构造分，可以运用几何构造分析中的析中的铰接接链杆法杆法将所有将所有质点和点和刚结点点变为铰结点后，点后，使使铰接接链杆体系成杆体系成为几何不几何不变体系所需要增加的体系所需要增加的链杆数即杆数即为自由度数。自由度数。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算不不计轴向向变形：形： W=1W=1W=2W=2整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算W=3W=3W=1W=1整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算结论： 结构自由度数目与构自由度数目与质点的

9、个数无关点的个数无关结构自由度数目与超静定次数无关构自由度数目与超静定次数无关考考虑轴向向变形后各形后各计算算简图的的动力自由度力自由度数是多少？数是多少？思考：思考：整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 描述体系振描述体系振动时质点点动位移位移的数学表达式，称的数学表达式，称为动力体系的运力体系的运动方程方程（亦称振（亦称振动方程）。方程）。 单自由度体系的自由度体系的动力分析能反映出振力分析能反映出振动的基本特的基本特性，是多个自由度体系分析的基性，是多个自由度体系分析的基础。本章只介。本章只介绍微幅微幅振振动（线性振性振动）。）。 根据达朗根据达朗贝尔原理建立运原理建立运

10、动方程的方法称方程的方法称为动静法（或静法（或惯性力法）。具体作法有两种：性力法）。具体作法有两种：刚度法度法和和柔度法。柔度法。12-2 12-2 运运动方程的建立方程的建立整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算刚度法：度法：将力写成位移的函数，将力写成位移的函数，按平衡条件按平衡条件列出外列出外力（包括假想作用在力（包括假想作用在质量上的量上的惯性力和阻尼力）与性力和阻尼力）与结构抗力（构抗力（弹性恢复力）的性恢复力）的动力平衡方程（力平衡方程（刚度方度方程），程），类似于位移法。似于位移法。 柔度法：柔度法：将位移写成力的函数，将位移写成力的函数，按位移按位移协调条件条件列

11、出列出位移方程（柔度方程），位移方程（柔度方程），类似于力法。似于力法。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算质量量m所所产生的水平位移，可生的水平位移，可视为由由动力荷力荷载P P( (t t) )和和惯性力性力 共同作用在共同作用在悬臂梁臂梁顶端所端所产生的。根据叠加原理，生的。根据叠加原理，得得一、按位移一、按位移协调条件建立运条件建立运动方程方程柔度法柔度法 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算1111柔度系数。柔度系数。表示在表示在质量的运量的运动方向施加方向施加单位力位力时，在，在该运运动方向所方向所产生的静力位移。生的静力位移。式（式（B B）可改写

12、）可改写为：整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算1 1、单自由度体系的振自由度体系的振动模型模型 二、二、 按平衡条件建立运按平衡条件建立运动方程方程 刚度法度法（1 1）动力荷力荷载： （2 2）弹性恢复力：性恢复力： （3 3）惯性力：性力： 2 2、取、取质量量m m为隔离体，其上作用有：隔离体，其上作用有： 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算3 3、建立运、建立运动方程方程根据达朗根据达朗贝尔原理，由原理，由X X0 0，得，得代入，即得代入，即得 K K1111刚度系数。度系数。表示在表示在质量的运量的运动方向方向产生生单位位移位位移所需施加的力。所

13、需施加的力。刚度系数与柔度系数互度系数与柔度系数互为倒数：倒数：整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例1 1：试用用刚度法建立度法建立图示示刚架受架受动力荷力荷载P P( (t t) )作用的运作用的运动方程。方程。解：解：1)1)确定自由度确定自由度（建模）：（建模）：结构的构的质量量m分布于分布于刚性性横梁，只能横梁，只能产生水平位移，属生水平位移，属单自由度体系。自由度体系。 2)2)确定位移参数确定位移参数：设刚梁在任一梁在任一时刻的位移刻的位移为y(t)，向向右右为正正 。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算3)3)绘隔离体受力隔离体受力图：取出隔离

14、体。：取出隔离体。图中中给出了出了惯性力、性力、弹性恢复力。各力均性恢复力。各力均设沿坐沿坐标正向正向为正。正。 4)4)列运列运动方程方程：按：按动静法列静法列动力平衡方程，可得力平衡方程，可得 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算式中：式中：代入整理，可得运代入整理，可得运动方程：方程：式中，式中，刚度系数度系数 k k又称又称为楼楼层刚度，系指上下楼面度，系指上下楼面发生生单位相位相对位移位移（1 1）时，楼，楼层中各柱剪力之和，如中各柱剪力之和，如图所示）。所示）。 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例3:3:试用柔度法建立用柔度法建立图示静定示静定

15、刚架受架受动力荷力荷载作用的运作用的运动方程。方程。解：本解：本题为单自由度体系的振自由度体系的振动。取。取质量量m水平水平方向的位移方向的位移y y为坐坐标 。运运动方程方程为: : 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算绘出出 、 图如如图所示。由所示。由图乘法得乘法得得运得运动方程方程 图图整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算也可写作也可写作 为等效等效动力荷力荷载 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算四、建立运四、建立运动方程小方程小结1) 1) 判断判断动力自由度数目，力自由度数目，标出出质量未知位移正向。量未知位移正向。2) 2) 沿所

16、沿所设位移正向加位移正向加惯性力、阻尼力和性力、阻尼力和弹性恢复力，性恢复力，并冠以并冠以负号。号。 3) 3) 根据是求柔度系数方便根据是求柔度系数方便还是求是求刚度系数方便，确定度系数方便，确定是写柔度方程是写柔度方程还是写是写刚度方程。度方程。 4) 4) 刚度方程几种写法的度方程几种写法的选择： 当当结构构给质体的反力亦即体的反力亦即弹性恢复力性恢复力F FS S容易求容易求时，宜以宜以质体体为隔离体建立方程（方法二）；否隔离体建立方程（方法二）；否则以以结构构为对象列方程（方法一）。象列方程（方法一）。 当用上述方法一和方法二有困当用上述方法一和方法二有困难时，则宜用添加附宜用添加附

17、加加约束的方法列方程（方法三）。束的方法列方程（方法三）。 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算1 1、刚度法：度法：质点在点在惯性力与性力与弹簧的恢复力作用下将簧的恢复力作用下将处于于一种虚一种虚拟平衡。平衡。一、运一、运动方程：方程： 体系在没有外部体系在没有外部动力荷力荷载作用，而由初始位移作用，而由初始位移y y0 0和初和初始速度始速度u u0 0 引起的振引起的振动，叫做自由振，叫做自由振动12-3 12-3 单自由度体系的自由振自由度体系的自由振动( (不不计阻尼阻尼) )整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算2 2、柔度法：、柔度法： 当当质点振点

18、振动时，把，把惯性力看作是一个静力荷性力看作是一个静力荷载，则质点在其作用下点在其作用下结构在构在质点点处的的位移位移y(t)y(t)应等于：等于： 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算二、运二、运动方程的解：方程的解： 初始条件定初始条件定积分常数分常数 当当t=0t=0时则运运动方程方程为：设初始初始时刻有初位移刻有初位移y y0 0和初速度和初速度v v0 0整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算三、自由振三、自由振动解的分析解的分析1 1质点的运点的运动规律律简谐振振动，质点作点作直直线往复运往复运动。Tyt0-AA质点离平衡位置的位移随点离平衡位置的位移

19、随时间t t变化的函数化的函数图 振幅振幅: :初相位初相位: :整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算初相角初相角a a ：标志着志着t=0t=0时的位置。的位置。频率率f f：每每1 1秒秒间振振动次数，次数，圆频率（率（简称称频率）率）：表示表示22秒内的振秒内的振动次数。次数。振幅振幅A A：振振动过程中的程中的质点的最大的位移。点的最大的位移。周期周期T T ：Tyt0-AA整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算2 2自由振自由振动中速度的改中速度的改变规律律最大速度等于振幅最大速度等于振幅A A与与频率率w w的乘的乘积。最大加速度等于振幅最大加速度等于

20、振幅A A与与频率率w w平方的乘平方的乘积3 3自振中加速度和自振中加速度和惯性力的性力的变化化规律：律：惯性力幅性力幅值等于等于质量、振幅与量、振幅与频率平方的乘率平方的乘积整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 由于阻尼的作用，自振在几秒乃至百分之几秒内消由于阻尼的作用，自振在几秒乃至百分之几秒内消失。但阻尼失。但阻尼对自振自振频率的影响很小。率的影响很小。4 4自振的衰减自振的衰减四、求自振四、求自振频率的方法：率的方法： 1 1用于柔度系数好求的体系。用于柔度系数好求的体系。 2 2用于用于刚度系数好求的体系度系数好求的体系。 用于用于单质点的点的单自由度体系自由度体系

21、整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算3 3能量法求自振能量法求自振频率。率。（用于多用于多质点点的的单自由度体自由度体系系、复、复杂体系）体系）4 4幅幅值方程求自振方程求自振频率。率。两者按同一两者按同一规律律 改改变。由式（由式（12-3212-32）：）：整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算在达到振幅在达到振幅时，惯性力性力Z(t)Z(t)达到其幅达到其幅值 ， 惯性力与位移方向一致，位移性力与位移方向一致，位移A A是是惯性力幅性力幅值 产生的。生的。故：故：由柔度方程由柔度方程： 由由刚度方程：度方程：幅幅值方程求自振方程求自振频率率整理ppt第十二章

22、第十二章 结构动力计算结构动力计算例例12-812-8：图示示钢制制悬臂梁，梁端部有一个臂梁，梁端部有一个质量量为123kg123kg的的电机。已知机。已知梁跨梁跨为1m1m，弹性模量：性模量： , ,截面截面惯性矩性矩I I=78cm=78cm4 4。不。不计梁的自重，求自振梁的自重，求自振频率和周期。率和周期。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算解：解：图示体系示体系为单质点的点的单自由度自由度体系体系1 1）画）画单位力作用下的位力作用下的单位弯矩位弯矩图。2 2）图乘法乘法计算柔度系数。算柔度系数。3 3）求自振）求自振频率率 lP=1整理ppt第十二章第十二章 结构动

23、力计算结构动力计算例例12-912-9图示排架的横梁示排架的横梁为刚性杆，性杆，质量量为m m，柱，柱质量不量不计, ,求其自振求其自振频率。率。 解解: :整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 不考不考虑轴向向变形，故形，故为一一单自由度体系。作自由度体系。作 图，求出，求出刚度度系数系数: :自振自振频率率 例例12-912-9图示排架的横梁示排架的横梁为刚性杆，性杆，质量量为m m，柱，柱质量不量不计, ,求其自振求其自振频率。率。 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例3 3：求：求图示示刚架的自振架的自振频率。各杆率。各杆EIEI为常数。常数。1 1

24、0.6l0.6lMi图解解:1:1）作出）作出单位力引起的弯矩位力引起的弯矩图，整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算10.6l0.6l1 1）作出）作出单位力引起的弯矩位力引起的弯矩图，3 3）求自振）求自振频率：率：2 2）按）按图乘法求出柔度系数乘法求出柔度系数为：Mi图整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例4 4：求：求图示示刚架的自振架的自振频率。各杆率。各杆EIEI为常数。常数。11ll分析：分析：图示体系有两个振示体系有两个振质，均无，均无竖向位移，向位移，仅有水平有水平位移且相同，故是位移且相同，故是单自由度体系自由度体系。由于。由于两个两个质点

25、上的点上的惯性力共性力共线，列方程，列方程时可以合并，所以可以合并，所以可按一个可按一个质点的情点的情况考况考虑。解解: :（1 1）作出）作出虚虚设位移方向的位移方向的单位力位力引起的弯矩引起的弯矩图整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算（1 1）作出）作出单位力引起的弯矩位力引起的弯矩图，（3 3）求自振）求自振频率：率：（2 2）按）按图乘法求出柔度系数乘法求出柔度系数为：11ll0整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例5 5：求：求图刚架水平振架水平振动的自振的自振频率，不率，不计横梁的横梁的变形。形。k11k11解：解：图示体系示体系为单自由度自由度体

26、系体系: :1)1)在在质量上沿位移方向加量上沿位移方向加链杆，并令杆，并令链杆沿位移方向杆沿位移方向发生生单位位移，作出位位移，作出单位弯矩位弯矩图。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算2 2）求）求链杆反力，即杆反力，即为刚度系数度系数3 3）求自振）求自振频率：率：k11k11EI例例5 5：求：求图刚架水平振架水平振动的自振的自振频率，不率，不计横梁的横梁的变形。形。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例6 6：求：求图示体系的自振示体系的自振频率。已知杆的率。已知杆的刚度度为无无穷大，大，不不计杆的杆的质量，量，弹簧簧刚度系数度系数为K K。解：解：

27、图示体系示体系为单自由度体系。由于两个自由度体系。由于两个质点的点的惯性力性力不共不共线，所以不能将，所以不能将质量合并量合并。利用幅。利用幅值方程求解。方程求解。 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算方法一：方法一：利用幅利用幅值方程。方程。 以以质点点C C 的位移作基本位移的位移作基本位移参数，其最大位移参数，其最大位移设为A A，以，以A A点点为矩心列力矩方程，有矩心列力矩方程，有 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算方法二：能量法方法二：能量法 求体系的最大求体系的最大动能和最大能和最大势能。能。 振子的最大振子的最大动能：能：弹性性势能：能：令令整

28、理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算思考：思考： 图示三种支承情况的梁，跨度、示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中度相等，在中点有一集中点有一集中质量量m m。当不考。当不考虑的自重，的自重，试比比较三者的自振三者的自振频率。率。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算P=1思考：思考： 图示三种支承情况的梁，跨度、示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中度相等，在中点有一集中点有一集中质量量m m。当不考。当不考虑的自重，的自重，试比比较三者的自振三者的自振频率。率。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算mgP=1MP图Mi图stst表示重力所表示

29、重力所产生的静位移生的静位移思考：思考： 图示三种支承情况的梁，跨度、示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中度相等，在中点有一集中点有一集中质量量m m。当不考。当不考虑梁的自重，梁的自重，试比比较三者的自三者的自振振频率。率。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算MP图mgP=1Mi图思考：思考： 图示三种支承情况的梁，跨度、示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中度相等，在中点有一集中点有一集中质量量m m。当不考。当不考虑梁的自重，梁的自重，试比比较三者的自三者的自振振频率。率。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 结构的自振构的自振频率只取决于它本身的率

30、只取决于它本身的质量、量、刚度，随着度，随着结构构刚度的加大，其自振度的加大，其自振频率也相率也相应增高。增高。思考：思考： 图示三种支承情况的梁，跨度、示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中度相等，在中点有一集中点有一集中质量量m m。当不考。当不考虑梁的自重，梁的自重，试比比较三者的自三者的自振振频率。率。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算作作业：教材教材12-1512-15、1616总结： 1 1、质点的运点的运动规律律简谐振振动。 2 2、自由振、自由振动中速度、加速度、中速度、加速度、惯性力的改性力的改变规律律 3 3、求自振、求自振频率的方法：率的方法： 柔度法

31、柔度法刚度法度法能量法能量法幅幅值法法单质点、点、单自由度体系自由度体系多多质点点单自由度自由度体系、复体系、复杂体系体系整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算12-5 12-5 简谐荷荷载作用下无阻尼作用下无阻尼单自由度体系的受迫振自由度体系的受迫振动强迫振迫振动结构在构在动荷荷载作用下的振作用下的振动 单自由度体系在自由度体系在动荷荷载下的振下的振动及相及相应的振的振动模型模型如如图示示: : 弹性力性力惯性力性力 平衡方程平衡方程 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算不同的不同的动荷荷载作用，体系的作用，体系的动力反力反应不同。不同。常常见的几种的几种动荷荷

32、载作用下体系的作用下体系的动力反力反应：或或 式中式中 结构的自振构的自振频率率 单自由度体系自由度体系强迫振迫振动方程方程 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算一、一、简谐荷荷载 荷荷载幅幅值 荷荷载的的圆频率率( (扰频) ) 1 1、运、运动方程及其解方程及其解 二二阶线性非性非齐次常微分方程次常微分方程 通解：通解： 齐次解：次解： 设特解：特解： 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算运运动方程的通解方程的通解为： 由初始条件确定由初始条件确定故特解故特解为：代入方程，求得代入方程，求得式（式（12-6112-61）第三）第三项按按扰频 振振动，称，称为

33、纯受迫振受迫振动。前。前两两项消逝后，只考消逝后，只考虑稳态，即：，即：整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算式（式（12-6212-62）中振幅）中振幅A A等于：等于：其中：其中：由此可得：由此可得：叫静位移。是将叫静位移。是将扰力力 的幅的幅值P P作作为静力加上去静力加上去时产生的位移生的位移令：令：得振幅的表达式：得振幅的表达式：动力系数力系数整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算得振幅的表达式：得振幅的表达式：求求动位移、位移、动内力最大内力最大值的的计算步算步骤：1 1）在）在扰力幅力幅值P P作用下求静位移作用下求静位移 及静内力；及静内力；2 2）

34、求）求动力系数力系数 ；3 3）将静位移、静内力乘以）将静位移、静内力乘以动力系数即得力系数即得动位移、位移、动内力内力的幅的幅值；思考思考题:P70 :P70 例例题12-1512-15整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算动力系数力系数 是是频率比率比 的函数的函数 2 2、算式分析、算式分析它反映了干它反映了干扰力力对结构的构的动力作用。力作用。振幅算式：振幅算式：动力系数：力系数：当当 时， 即即动位移与干位移与干扰力指向一致；力指向一致；当当 时， 即即动位移与干位移与干扰力指向相反。力指向相反。 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算1 1） 时， 干干

35、扰力力产生的生的动力作用不明力作用不明显， 因此可当作静荷因此可当作静荷载处理；理； 极限情况，即极限情况，即 或或 ，则 。意味着。意味着结构构为刚体或荷体或荷载不随不随时间变化，因此不存在振化，因此不存在振动问题。当当 时， 为增函数。增函数。 2 2、算式分析、算式分析振幅算式：振幅算式：动力系数：力系数：整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算2 2）当）当 时， ，共振，共振, ,为避开共振，可改避开共振，可改变干干扰力力频率率 或改或改变结构的自振构的自振频率率 使使 或或 。 3 3）当）当 时， 为减函数减函数当当 时， ， ，体系，体系处于静止状于静止状态。2 2

36、、算式分析、算式分析振幅算式：振幅算式：动力系数：力系数：整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例：求例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩支梁跨中最大位移和最大弯矩. . 已知：已知：整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算解解: (1) (1) 计算算动力系数力系数梁的自振梁的自振频率：率： 荷荷载频率：率： 动力系数：力系数： 例：求例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩支梁跨中最大位移和最大弯矩. . 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(2) (2) 动荷荷载幅幅值作作为静荷静荷载作用作用时的位移和内力的位移和内力 (3)(3)振幅和振幅和动弯矩幅弯

37、矩幅值 振幅振幅 动弯矩幅弯矩幅值 例：求例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩支梁跨中最大位移和最大弯矩. . 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(4) (4) 最大位移和最大弯矩最大位移和最大弯矩 简支梁的最大位移和最大弯矩支梁的最大位移和最大弯矩均在梁跨中点均在梁跨中点 跨中重量跨中重量G G产生的静位移生的静位移 :跨中的最大位移跨中的最大位移: : 跨中重量跨中重量G G产生的静弯矩生的静弯矩:跨中的最大弯矩跨中的最大弯矩: : 例：求例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩支梁跨中最大位移和最大弯矩. . 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算4. 4. 动荷

38、荷载不作用在不作用在质点上点上时的的动计算算 振振动方程方程 令令 (a) (b) 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算则稳态解解 同式同式(12-62)(12-62) (c) (d) (e) 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 （1 1）、振幅）、振幅 结论: :仍是位移的仍是位移的动力系数力系数. .整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 （2 2）、）、动内力幅内力幅值 三者同三者同时达到幅达到幅值。、作同作同频同步运同步运动， 根据根据稳态振振动的振幅，算出的振幅，算出惯性力。然后，将性力。然后，将惯性力性力幅幅值和干和干扰力幅力幅值同同

39、时作用在体系上，按静力学作用在体系上，按静力学计算方法算方法便可求得便可求得动内力幅内力幅值。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例：求例：求图示示简支梁的振幅，作支梁的振幅，作动弯矩幅弯矩幅值图。已知已知： (a) (b) 解解 (1)(1)计算算动力系数力系数 (2) (2) 简支梁的振幅支梁的振幅 (c)整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 (d) (e) (3) (3) 作作动弯矩的幅弯矩的幅值图惯性力幅性力幅值动弯矩幅弯矩幅值图(f) 将将动荷荷载幅幅值 F F 和和惯性性力幅力幅值 I I 作用在梁上，按静作用在梁上，按静力学方法作出弯矩力学方法作出

40、弯矩图-动弯弯矩幅矩幅值图。 例：求例：求图示示简支梁的振幅，作支梁的振幅，作动弯矩幅弯矩幅值图。已知已知：整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算结 论 对于于单自由度体系自由度体系，当干，当干扰力作用在力作用在质量上量上时，位，位移的移的动力系数和内力的力系数和内力的动力系数是相同的；当干力系数是相同的；当干扰力不作力不作用在用在质量上量上时，位移和内力各自的，位移和内力各自的动力系数通常是不同的。力系数通常是不同的。 对于位移和内力于位移和内力动力系数相同的情况，求力系数相同的情况，求结构的最构的最大大动力反力反应时，可将，可将干干扰力幅力幅值当作静荷当作静荷载作用作用计算算

41、结构构的位移和内力的位移和内力，然后再，然后再乘以乘以动力系数力系数，便可得到，便可得到稳态振振动时结构的最大构的最大动位移和最大位移和最大动内力。内力。 对于位移和内力于位移和内力动力系数不同的情况，力系数不同的情况，则要从体系要从体系的运的运动方程出方程出发，先求出，先求出稳态振振动的位移幅的位移幅值，再算出，再算出惯性力。最后，按静力性力。最后，按静力计算方法求出算方法求出结构在干构在干扰力幅力幅值和和惯性力幅性力幅值共同作用下的内力，此即共同作用下的内力，此即结构的最大构的最大动内力。内力。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算工程工程实例例1)1)多多层房屋的房屋的侧向

42、振向振动，2)2)不等高排架的振不等高排架的振动，3)3)块式基式基础的水平回的水平回转振振动，4)4)高高耸结构构( (如烟囱如烟囱) )在地震在地震作用下的振作用下的振动，5) 5) 桥梁的振梁的振动，6) 6) 拱拱坝和水和水闸的振的振动等，一般均化等，一般均化为多自由度体系多自由度体系计算。算。目的目的1) 1) 计算自振算自振频率，即率，即 ， ， ， 。2) 2) 确定振型（振确定振型（振动形式），即形式），即 ， ， ，或振，或振型常数型常数r r1 1，r r2 2（仅适用于两个自由度体系）。并适用于两个自由度体系）。并讨论振振型的特性型的特性主振型的正交性。主振型的正交性。1

43、2-7 12-7 多自由度体系的自振多自由度体系的自振频率和振型率和振型计算算整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算方法方法1) 1) 刚度法度法根据力的平衡条件建立运根据力的平衡条件建立运动微分方程。微分方程。2) 2) 柔度法柔度法根据位移根据位移协调条件建立运条件建立运动微分方程。微分方程。对于多自由度体系自由振于多自由度体系自由振动分析一般不考分析一般不考虑阻尼。阻尼。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算一、一、 两个自由度体系的自由振两个自由度体系的自由振动1. 1. 刚度法度法(1)(1)运运动方程的建立方程的建立若不考若不考虑阻尼，取阻尼，取质量量m

44、1和和m2作隔离体，作隔离体，质点上作点上作用用惯性力和性力和弹性恢复力，性恢复力，根据达朗伯原理，可列出根据达朗伯原理，可列出平衡方程平衡方程整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算结构所受的力构所受的力 、 与与结构的位移构的位移 、 之之间应满足足刚度方程度方程是是结构的构的刚度系数度系数 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算可得运可得运动方程方程 也可用矩也可用矩阵表示表示为或或缩写写为式中，式中， 为质量矩量矩阵； 为加速度列加速度列阵； 为刚度矩度矩阵； 为位移列位移列阵。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(2)(2)运运动方程的求解方

45、程的求解设 1) 1) 在振在振动过程中，两个程中，两个质点同点同频率（率（w w）、同相位（）、同相位（a a）。）。 上式所表明的运上式所表明的运动具有以下特点：具有以下特点：2) 2) 在振在振动过程中，两个程中，两个质点的位移在数点的位移在数值上随上随时间而而变化，但二者的比化，但二者的比值始始终保持不保持不变，即，即常数常数结构位移形状保持不构位移形状保持不变的振的振动形式，称形式，称为主振型主振型或或振型振型。这样的振的振动称称为按振型自振（按振型自振（单频振振动，具有不，具有不变的振的振动形式）形式），而，而实际的多自由度体系的自由振的多自由度体系的自由振动是多是多频振振动，振，

46、振动形状形状随随时间而而变化，但可化化，但可化为各个振型振各个振型振动的叠加。的叠加。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(3)(3)求自振求自振频率率w wi i将将 代入运代入运动方程方程 得得 或或为了要求得了要求得A A1 1、A A2 2不全不全为零的解答，零的解答，应使其使其系数行列式系数行列式为零零，即，即由此式可确定体系的自振由此式可确定体系的自振频率率w wi i，因此称，因此称频率方程率方程或或特特征方程征方程。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算将将D D展开，整理后，得展开，整理后，得由此可以解出由此可以解出w w2的两个根，即的两个根，

47、即由上式可由上式可见，w w 只与体系本身的只与体系本身的刚度系数及其度系数及其质量分量分布情形有关，而与外部荷布情形有关，而与外部荷载无关。无关。约定定w w1 l l2 2( (从而从而满足足w w1 1 w w2 2) )，于是求得，于是求得整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(4)求主振型求主振型1) 第一主振型：将第一主振型：将w w = =w w1 1代入代入2) 第二主振型：将第二主振型：将w w = =w w2 2代入代入整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算【例例12-23】试求求图示示结构的自振构的自振频率及主振型。各杆率及主振型。各杆EI为常

48、数，常数，弹性支座的性支座的刚度系数度系数 。解解 (1)计算柔度系数算柔度系数d dijij应考考虑弹性支座性支座变形形对位移的影响。位移的影响。 图整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算图图(1)计算柔度系数算柔度系数d dij整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(2)求自振求自振频率率w wi将将m1=m2=m及已求得的及已求得的d dij代入代入(3)求主振型求主振型r ri整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(4)作振型曲作振型曲线 第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算【例例12-

49、24】试求求图示等截面梁的自振示等截面梁的自振频率和主振型。率和主振型。质量量m1=m2=m1000kg。E200GPa，I2104cm4，l=4m。 图 图 图 图解解:(1)求柔度系数求柔度系数d dij整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(2)求自振求自振频率率w wi整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(3)求主振型求主振型r ri第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型(4)作振型曲作振型曲线 第一主振型（反第一主振型（反对称）称）第二主振型（第二主振型（对称）称） 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算如果如果结构和构和质量布置都是量布

50、置都是对称的，体系的振型必定是称的，体系的振型必定是对称或称或反反对称的称的 ,可以利用可以利用对称性，取半称性，取半边结构构计算体系的第一算体系的第一频率率,第二第二频率率 。这样，就将两个自由度体系的，就将两个自由度体系的计算算问题，简化化为按两个按两个单自由度体系分自由度体系分别进行行计算。算。 反反对称半称半边结构构 对称半称半边结构构第一主振型（反第一主振型（反对称称 ) 第二主振型（第二主振型（对称）称） 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算【例例12-25】试计算算图示示刚架的自振架的自振频率和主振型。率和主振型。解：解：取集中取集中质量量m处竖向位移向位移y和和

51、刚性杆性杆CD绕C点的点的转角角q q 作作为独独立的几何位移立的几何位移 。由于。由于本本题是由是由线位移和角位移和角位移耦合位移耦合组成的振成的振动，因此，不能因此，不能简单地利地利用前面按柔度法推出用前面按柔度法推出的公式的公式计算自振算自振频率率和主振型，而和主振型，而应从考从考虑结构整体平衡，建构整体平衡，建立运立运动方程入手。方程入手。整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算某一瞬某一瞬时t，刚架上作用的架上作用的惯性力如性力如图所示。所示。由分布由分布质量所量所产生的生的惯性力性力对C点的合力矩点的合力矩为(1)计算柔度系数算柔度系数d dij 图 图 惯性力性力 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算建立运建立运动方程方程:惯性力性力 将将 及各柔度系数及各柔度系数d dij代入式代入式(a)，经整理后，得整理后，得 (a)与运与运动方程方程对比可知：比可知： m1=m， 整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(3)求自振求自振频率率w wi(4)求主振型求主振型r ri整理ppt第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(5)作振型曲作振型曲线 第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型 整理ppt