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1、第第 5 章章 概率与概率分布概率与概率分布2021/8/311小游戏：掷骰子掷1枚骰子有几种结果如果只掷1次，结果是？2021/8/3121.试 验(experiment)1.在相同条件下，对事物或现象所进行的观察如：掷一枚骰子，观察其出现的点数2.试验的特点可以在相同的条件下重复进行每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果2021/8/3132.事件的概念1.事事件件(event)：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)如：掷一枚骰子出现的点数为32.随随机机事事件件(random event)：每次试验可能出
2、现也可能不出现的事件如：掷一枚骰子可能出现的点数3.必必然然事事件件(certain event)：每次试验一定出现的事件，用表示如：掷一枚骰子出现的点数小于74.不不可可能能事事件件(impossible event)：每次试验一定不出现的事件，用表示如：掷一枚骰子出现的点数大于62021/8/3143.事件与样本空间1.基本事件基本事件(elementary event)一个不可能再分的随机事件如：掷一枚骰子出现的点数2.样本空间样本空间(sample space)一个试验中所有基本事件的集合，用表示如：在掷枚骰子的试验中，1,2,3,4,5,6在投掷硬币的试验中，正面，反面2021/8/
3、315小游戏：掷骰子掷1个骰子后：点数为3的概率？点数为偶数的概率？点数大于10的概率？点数小于7的概率？2021/8/3164.概率的古典定义2021/8/317例1：某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从 该公司中随机抽取1人，问： (1)该职工为男性的概率 (2)该职工为炼钢厂职工的概率某钢铁公司所属企业职工人数某钢铁公司所属企业职工人数工厂工厂男职工男职工女职工女职工合计合计炼钢厂炼钢厂炼铁厂炼铁厂轧钢厂轧钢厂4400320090018001600600620048001500合计合计85004000125002021/8/318某钢铁公司所属企业职工人数某钢铁公司所属企业职工人数
4、工厂工厂男职工男职工女职工女职工合计合计炼钢厂炼钢厂炼铁厂炼铁厂轧钢厂轧钢厂4400320090018001600600620048001500合计合计85004000125002021/8/319小游戏：抛硬币试验结果样本空间2021/8/31105.概率的统计定义试验的次数试验的次数正面正面 /试验次数试验次数1.001.000.000.000.250.250.500.500.750.750 02525505075751001001251252021/8/3111例2：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过规定指标，若第二个月
5、仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。2021/8/3112小游戏：轮盘赌停在数字8的概率？停在数字37的概率？停在红色的概率？停在红色或黑色的概率？2021/8/31136.概率的性质1.非负性： 0 P(A) 12.规范性：P ( ) = 1； P ( ) = 03.可加性：若A与B互斥，则P ( AB ) = P ( A ) + P ( B )多个两两互斥事件A1，A2，An， P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An )2021/8/3114小游戏：轮盘赌停在奇数的概率？停在红色或奇数的概率？8 8008 82021/8
6、/31157.概率的加法法则(additive rule) P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ) A AB BA AB B P ( AB ) = P ( A ) + P ( B )2021/8/3116例例3：设设某某地地有有甲甲、乙乙两两种种报报纸纸，该该地地成成年年人人中中有有20%读读甲甲报报纸纸，16%读读乙乙报报纸纸，8%两两种种报报纸纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。解：设解：设A A 读甲报纸读甲报纸 ， B B 读乙报纸读乙报纸 ， C 至少读一种报纸至少读一种报纸 。则则 P ( C
7、 ) =P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ) =0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.282021/8/3117小游戏：轮盘赌特别情报：停在红色区停在奇数的概率？8 8008 82021/8/31188.条件概率(conditional probability)P(B)P(AB)P(A|B) =P(AB)=P(B)P(A|B)P(AB)=P(A)P(B|A)2021/8/3119例例4：设设有有1000件件产产品品，其其中中850件件是是正正品品，150件件是是次次品品，从从中中依依次次抽抽取取2件件，两两件件都都是是次次品品的的概率是多少？概率
8、是多少？解：设解：设 Ai 表示表示“第第 i 次抽到的是次品次抽到的是次品”(i=1,2)， 2021/8/3120小游戏：轮盘赌2次都停在红色的概率？2021/8/31219.事件的独立性(independence)一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立若事件A与B独立， 则P(B|A)=P(B)， P(A|B)=P(A) P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2) P(An) 2021/8/3122例例5：某某工工人人同同时时看看管管三三台台机机床床，每每单单位位时时间间(如如30分分钟钟)内内机机床床不不需
9、需要要看看管管的的概概率率：甲甲机机床床为为0.9，乙乙机机床床为为0.8，丙丙机机床床为为0.85。若机床是自动且独立地工作，求。若机床是自动且独立地工作，求 （1）在）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率分钟内三台机床都不需要看管的概率 （2）在在30分分钟钟内内甲甲、乙乙机机床床不不需需要要看看管管，且且丙丙机机床床需需要要看看管的概率管的概率 解：设解：设 A A ，A A2 2，A A3 3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件，为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件， A A3 3 为丙机床需要看管的事件，为丙机床需要看管的事件， (1) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2)
10、 P(A3)=0.90.80.85=0.612 (2) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3) = 0.90.8(1-0.85)=0.1082021/8/3123小游戏：轮盘赌黑黑红红绿绿奇奇偶偶奇奇偶偶偶偶8/378/378/378/37/37/378/88/88/88/80/80/80/80/8/2021/8/312410.全概公式设事件A1，A2，An 两两互斥 A1+A2+ An=，且P(Ai)0(i=1,2, ,n)2021/8/3125例例6：某某车车间间用用甲甲、乙乙、丙丙三三台台机机床床进进行行生生产产，各各种种机机床床的的次次品品率率分分别别为为5%、4%、
11、2%，它它们们各各自自的的产产品品分分别别占占总总产产量量的的25%、35%、40%，将将它它们们的的产产品品组组合合在在一一起起，求求任任取取一一个是次品的概率。个是次品的概率。解：设解：设 A A 表示表示“产品来自甲台机床产品来自甲台机床”， A A2 2表示表示“产品来自乙台机床产品来自乙台机床”， A A3 3表示表示“产品来自丙台机床产品来自丙台机床”， B B表示表示“取到次品取到次品”。2021/8/3126小游戏：轮盘赌黑黑红红绿绿奇奇偶偶奇奇偶偶偶偶8/378/378/378/37/37/378/88/88/88/80/80/80/80/8/2021/8/312711.贝叶
12、斯公式u设 n个 事 件 A1， A2， ， An 两 两 互 斥 ， A1+A2+ An= ，且P(Ai)0(i=1,2, ,n)，则2021/8/3128例例7：某某车车间间用用甲甲、乙乙、丙丙三三台台机机床床进进行行生生产产，各各种种机机床床的的次次品品率率分分别别为为5%、4%、2%，它它们们各各自自的的产产品品分分别别占占总总产产量量的的25%、35%、40%，将将它它们们的的产产品品组组合合在在一一起起，如如果果取取到到的的一一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率解：设解：设 A A 表示表示“产品来自甲台机床产品来自
13、甲台机床”， A A2 2表示表示“产品来自乙台机床产品来自乙台机床”， A A3 3表示表示“产品来自丙台机床产品来自丙台机床”， B B表示表示“取到次品取到次品”。2021/8/3129小结随机事件：0 P(A) 1必然事件：P ( ) = 1不可能事件：P ( ) = 0互斥事件：P ( AB ) = P ( A ) + P ( B )非互斥事件：P ( AB ) = P ( A ) + P ( B )- P ( AB )条件概率：P(A|B)=P(AB)/P(B)，P(AB)=P(B)P(A|B) 独立事件：P(AB)=P(A)P(B)全概率公式：贝叶斯公式：2021/8/3130练
14、1：芒果公司有2款游戏，调查发现100名玩家中有80位玩第1款游戏，有20位玩第2款游戏，在游戏1的玩家中有60%的客户认为好玩，在游戏2的玩家中有30%的客户认为不好玩，经理在这100名玩家中随机挑选了1名玩家，问他游戏是否好玩，他说好玩，那么他玩游戏1的概率是多少？2021/8/3131练2：52张扑克牌中有13张红桃，问：随机从中抽了一张牌，发现是红桃的概率是多少？第1张不放回，又随机抽了一张红桃的概率是多少？2021/8/3132练3：芒果健身俱乐部现有游泳班和瑜伽班，他们想知道参加游泳班的人是否更有可能参加瑜伽班，所以他们调查了96个人，其中32人参加瑜伽班，72人参加游泳班，还有2
15、4人两个班都参加，问参加瑜伽班和游泳班是相关的，还是独立的？2021/8/3133练4：抛硬币，连续10次都是正面朝上，问第11次反面朝上的概率是多少？2021/8/3134二、离散型随机变量及其分布2021/8/31351.随机变量(random variables)试验试验随机变量随机变量可能的取值可能的取值抽查抽查100个产品个产品一家餐馆营业一天一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售电脑公司一个月的销售销售一辆汽车销售一辆汽车取到次品的个数取到次品的个数顾客数顾客数销售量销售量顾客性别顾客性别0,1,2, ,1000,1,2, 0,1, 2,男性为男性为0,女性为女性为1试验试验随机变量
16、随机变量可能的取值可能的取值抽查一批电子元件抽查一批电子元件新建一座住宅楼新建一座住宅楼测量一个产品的测量一个产品的长度长度使用寿命使用寿命(小时小时)半年后工程完成的百分比半年后工程完成的百分比测量误差测量误差(cm)X 00 X 100X 02021/8/31362. 概率函数与概率分布X = xi123456P(X =xi)1/61/61/61/61/61/61/61/6P P( (X X) )1 1X X2 23 34 45 56 62021/8/31372. 概率函数与概率分布X = xi123P(X =xi)1/41/21/41/1/2 2P P( (X X) )1 1X X2 2
17、3 31/1/4 42021/8/31382. 概率函数与概率分布X = xi01P(X =xi)0.050.950.950.95P P( (X X) )0 0X X1 12021/8/31393. 期望与方差X = xi123456P(X =xi)1/61/61/61/61/61/62021/8/31403. 期望与方差2021/8/31414. 贝努里试验 试验包含了试验包含了n 个个相同相同的试验的试验每次试验只有每次试验只有2个可能的结果，即个可能的结果，即“成功成功”和和“失败失败”出出现现“成成功功”的的概概率率 p 对对每每次次试试验验结结果果是是相相同同的的；“失失败败”的概率
18、的概率 q 也相同，且也相同，且 p + q = 1试验是相互试验是相互独立独立的的试验试验“成功成功”或或“失败失败”可以计数可以计数2021/8/31424. 贝努里试验 X = xi01P(X =xi)0.50.50.50.5P P( (X X) )0 0X X1 12021/8/31434. 贝努里试验 X = xiP(X =xi)0123r2021/8/31445. 二项分布(Binomial distribution)0nmXX2021/8/31455. 二项分布的E ( X ) 和D ( X ) E ( X ) npD ( X ) npq2021/8/3146例1：智力问答游戏共
19、5个问题，每题各有A、B、C、D共4个选项，每题回答正确的概率为25%，问：1.该问题属于什么分布？其中，试验、事件、随机变量、概率函数、概率分布分别是什么？2.答对2题的概率？3.答对2题或3题的概率？4.答对3题以上的概率？（包括3题）5.1题也答不对的概率？6.平均答对几题？其方差与标准差多少？2021/8/3147已已知知100件件产产品品中中有有5件件次次品品，现现从从中中任任取取一一件件，有有放放回回地地抽抽取取3次次。求求在在所所抽抽取取的的3件件产产品品中中恰恰好有好有2件次品的概率件次品的概率？例2：解：解：随机变量随机变量 X 表示表示次品数，次品数，XB ( 3 , 0.
20、05)， 2021/8/31486. 泊松分布(Poisson distribution)1.用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布2.泊松分布的例子一个城市在一个月内发生的交通事故次数消费者协会一个星期内收到的消费者投诉次数人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数2021/8/31496. 泊松概率分布函数 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数e = 2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数2021/8/31506. 泊松概率分布的E ( X ) 和D ( X )E ( X ) = D ( X ) = 1. 202
21、1/8/3151假假假假定定定定某某某某类类类类型型型型的的的的混混混混凝凝凝凝土土土土样样样样品品品品上上上上的的的的裂裂裂裂缝缝缝缝数数数数量量量量X X近近近近似似似似服服服服从从从从泊泊泊泊松松松松分分分分布，且设布，且设布，且设布，且设每块样品裂缝的每块样品裂缝的每块样品裂缝的每块样品裂缝的平均数为平均数为平均数为平均数为2.52.5。求。求。求。求： （1 1）X X 的均值及标准差的均值及标准差的均值及标准差的均值及标准差 （2 2）随机抽取一块样品恰有随机抽取一块样品恰有随机抽取一块样品恰有随机抽取一块样品恰有5 5处裂缝处裂缝处裂缝处裂缝的概率的概率的概率的概率 （3 3）随
22、机抽取一块样品有随机抽取一块样品有随机抽取一块样品有随机抽取一块样品有2 2处或处或处或处或2 2处以上裂缝处以上裂缝处以上裂缝处以上裂缝的概率的概率的概率的概率 （4 4）求）求）求）求P -2-2 X X 20，np 5时，时，近似效果良好近似效果良好2021/8/3154例5：某人射击，单次命中率为0.3，连续射击10次，问命中2次以内（不包含2次）的概率？服从哪种分布？期望？方差？某路公交车平均每15分钟停一站，问在15分钟内等不到该路公交车的概率是多少？服从哪种分布？期望？方差？2021/8/3155三、连续连续型随机变量及其分布2021/8/31561. 概率密度函数f(x)xab
23、2021/8/31572. 分布函数f(x)xab2021/8/31583. 连续型随机变量的E ( X ) 和D ( X )2021/8/3159例1：若随机变量X的概率密度函数为求它的分布函数、期望与方差？2021/8/31604. 正态分布(normal distribution)x xf f ( (x x) )2021/8/3161 和 对正态曲线的影响xf(x)CAB2021/8/31625. 标准正态分布 (-x) x P (a X b) b a P (|X| a) 2 a 12021/8/3163练习1：(1) (1) P P( (X X 1. 2 2.2 .2) )(3) (3
24、) P P(-1(-1.5 .5 X X 3 3.1 .1) ) (4) (4) P P(| (| X X | | 2) 2)( (5 5) ) P P( (X X x x) )=0.1423,=0.1423,问问x x = =？2021/8/3164练习2：某专利产品理论上可利用细菌去除果汁中几乎所有的苦味，但实际上可以去除50%的苦味，该专利拥有者声称使用该产品去除500ml的鲜果汁中苦味的百分率X服从正态分布（XN(50.1，10.42)）；为检验这个声明，现专利局进行试验，将这种产品应用于随机选取的500ml的鲜果汁；假设声明是正确的，求这种方法除苦味少于40%的概率？2021/8/3
25、165练习3：已知： 连续型随机变量连续型随机变量X X 服从正态分布，其中服从正态分布，其中P P( (X X 5 5) ) =0.0045=0.0045P P( (X X 1515) )=0.9641=0.9641求：求：X X的均值与标准差？的均值与标准差？2021/8/3166例2：应用统计学考试有100道题，小明考前并未做任何复习，仅考猜测答题，假定每题答对的概率为0.1，请问小明答对10题的概率是多少N(np , np(1-p)PO(10)2021/8/31676. 二项分布vs正态分布例例3：100台台机机床床彼彼此此独独立立地地工工作作，每每台台机机床床的的实实际际工工作作时时
26、间间占占全部工作时间的全部工作时间的80%。求。求 (1)任一时刻有任一时刻有7086台机床在工作的概率台机床在工作的概率 (2)任一时刻有任一时刻有80台以上机床在工作的概率台以上机床在工作的概率解：设解：设X表示表示100台机床台机床中工作着的机床数，中工作着的机床数，XB(100,0.8)。现用正态分布近似计算，现用正态分布近似计算，np=80，npq=162021/8/3168本章重点1.理解理解试验、结果、事件、样本空间、概率试验、结果、事件、样本空间、概率2.概率的运算法则概率的运算法则3.随机变量及其分布随机变量及其分布4.随机变量的数学期望和方差随机变量的数学期望和方差5.离散型随机变量的概率和概率分布离散型随机变量的概率和概率分布6.连续型随机变量的概率连续型随机变量的概率7.用正态分布近似二项分布用正态分布近似二项分布8.用用Excel计算分布的概率计算分布的概率2021/8/3169谢 谢！2021/8/3170部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
