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1、2.4 稳定球面腔中的模构造定球面腔中的模构造方形镜共焦腔与圆形镜共焦腔的自再现模普通稳定球面腔的方式特征方形镜共焦腔与圆形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔与圆形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔方式积分方程的准确解析解是长椭球函数本征函数角向/本征值径向；圆形镜共焦腔方式积分方程的准确解析解是超椭球函数在xa，ya的区域内，即在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数可以表示为厄米特多项式和高斯函数的乘积当腔的菲涅耳数Na2/L时，圆形镜共焦腔自再现模可用拉盖尔-高斯函数描画知道了镜面上的场以后，如何求出共焦腔中任一点的场？利用菲涅耳利用菲涅耳基基尔霍夫衍射霍夫衍射积分分The Hermite-Gau
2、ssian or Laguerre-Gaussian mode are exact and yet mathematically convenient solutions to the paraxial wave equation in free space. They also provide very close (though not quite exact) approximations for the transverse eigenmodes of stable laser resonators with finite diameter mirrors.对称共焦腔基模在镜面上的分布
3、高阶横模强度花样相位分布单程损耗单程相移调和振频率一、镜面上场的振幅和相位分布一、镜面上场的振幅和相位分布1、对称共焦腔基模在镜面上的分布为 基模在镜面上的分布是高斯型的什么 函数？在离中心的间隔为 处场的振幅降落为中心处的1/e，通常就用半径 的圆来规定基模光斑的大小，并定义 为共焦腔基模在镜面上的光斑尺寸或光斑半径。共焦腔基模在镜面上的光斑大小与镜的横向几何尺寸无关，只决议于腔长。举例。共焦腔模的共焦腔模的场主要集中在主要集中在镜面中心附近。面中心附近。2、高、高阶横模横模方形方形镜的的TEMmn模在镜面上振幅分布的特点取决于厄米特多项式与高斯分布函数的乘积，厄米特多项式的零点决议场的节线
4、，厄米特多项式的正负交替的变化与高斯函数随着x、y的增大而单调下降的特性决议着场分布的外形轮廓。m阶厄米特多项式有m个零点， TEMmn模沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线。(P55)对厄米特高斯函数，高阶横模的光斑尺寸定义为其坐标均方差的四倍高阶横模与基模光斑尺寸之比为圆形镜共焦腔的自再现模为拉盖尔高斯函数所描画，镜面上用极坐标 r , 表示。基模在镜面上的振幅分布是高斯型的，整个镜面上没有场的节线。对高阶横模，镜面上出现节线。 TEMmn模沿辐角方向的节线数目为m，沿径向r方向的节线圆数为n，各节线圆沿r方向不是等距分布的。(P63) 高阶横模的光斑半径mns定义为场振幅降落到最外面一
5、个极大值的1/e的点与镜面中心的间隔。高高阶横模横模圆形形镜的的3、相位分布、相位分布镜面上场的相位分布由自再现模 或 的辐角决议。 与 均为实函数，阐明镜面上各点场的相位一样，共焦腔反射镜本身构成场的一个等相位面，无论对基模或高阶横模，情况都是一样。4、单程损耗、单程损耗共焦腔自再现模TEMmn的单程功率损耗绘出损耗mn作为菲涅耳数N的函数，进展查表在同一菲涅耳数下，不同横模的衍射损耗各不一样，损耗随着模的阶次的增高而增大由于衍射损耗通常很小，平均单程衍射损耗因子近似等于mn单程百分数衍射损耗率5、单程相移调和振频率、单程相移调和振频率共焦腔TEMmn模在腔内一次渡越的总相移为方形镜：圆形镜
6、：方形镜：方形镜：各阶横模的谐振频率P57-58属于同一横模的相邻两个纵模之间的频率间隔为共焦腔模在频率上是高度简并的，共焦腔模在频率上是高度简并的，2q+m+n一样的一切方式都具有一样的一样的一切方式都具有一样的谐振频率谐振频率由于不同的横模具有不同的损耗，在频率由于不同的横模具有不同的损耗，在频率上简并的模在损耗上普通并不是简并的上简并的模在损耗上普通并不是简并的各阶横模的谐振频率属于同一横模的相邻两个纵模之间的频率间隔为圆形镜：圆形镜：振幅分布和光斑尺寸模体积等相位面的分布远场发散角二、共焦腔行波场共焦场的特征二、共焦腔行波场共焦场的特征Emn(x,y,z)表示TEMmn模在腔内恣意点(
7、x,y,z)处的电场强度。是由腔的一个镜面上的场所产生的、并沿着腔的轴线而传播的行波场。共焦场基模的振幅在横截面内的分布由高斯函数所描画定义在振幅的1/e处的基模光斑尺寸(spot size)为0s镜面上基模的光斑半径一、振幅分布和光斑尺寸一、振幅分布和光斑尺寸腔中不同位置处的光斑大小各不一样。在共焦腔镜腔中不同位置处的光斑大小各不一样。在共焦腔镜面上，面上， ，此时，此时在共焦腔的中心在共焦腔的中心z=0处，处， (z)到达极小值到达极小值共焦场中基模光斑的大小随着坐标共焦场中基模光斑的大小随着坐标z按双曲线按双曲线 (hyperbolic) 规律变化规律变化高斯光束的基模腰斑半径高斯光束的
8、基模腰斑半径(waist spot size)The parameter (z) is the distance r at which the field amplitude is down by a factor 1/e compared to its value on the axis. We will consequently refer to it as the beam “spot size. The parameter 0 is the minimum spot size. It is the beam spot size at the plane z=0.These hyperb
9、olas are normal to the phase fronts and thus correspond to the local direction of energy flow. The hyperboloid is the locus of the points where the exponential factor in the field amplitude is down to e-1 from its value on the axis. The quantity (z) is thus defined as the mode spot size at the plane
10、 z. In particular, the distance which the beam travels from the waist before the beam diameter increases by , or before the beam area doubles, is given simply by the parameter f, called Rayleigh range. The Rayleigh range marks the approximate dividing line between the “near-field or Fresnel and the
11、“far-field of Fraunhofer regions for a beam propagating out from a gaussian waist.模体积：某一方式的模体积描画该方式在腔内所扩展的空间范围。模体积大，对该方式的振荡有奉献的激发态粒子数就多，因此，也就能够获得大的输出功率。基模往往集中在腔的轴线附近，模的阶次越高，展布的范围越宽估计共焦腔基模的模体积二、模体积在腔的轴线附近，共焦场的等相位面近似为球面，与腔的轴线在z0点相交的等相位面的曲率半径为(radius of curvature of the wavefronts)等相位面是凹面向着腔的中心的球面，其曲率半
12、径随坐标而变化，当z0 =f= L/2时，R(z0 )=2f=L，共焦腔反射镜面本身与场的两个等相位面重合；当z0 =0时， R(z0 )； z0 时， R(z0 ) 。共焦腔反射镜面是共焦场中曲率最大的等相位面。三、等相位面的分布在场的恣意一个等相位面处放置一块具有相应曲率半径的反射镜片，那么入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向前往，共焦场分布将不会遭到扰动Given a beam of the type we can form an optical resonator merely by inserting at points z1 and z2 two reflectors with
13、 radii of curvature that match those of the propagation beam spherical phase fronts at these points. Since the surfaces are normal to the direction of energy propagation, the reflected beam retraces itself; thus, if the phase shift between the mirrors is some multiple of 2 radians, a self-reproducin
14、g stable field configuration results.四、远场发散角四、远场发散角远场发散角：定义为两根渐近线之间的夹角。远场发散角：定义为两根渐近线之间的夹角。包含在发散角包含在发散角0内的功率占高斯基模光束总功率的内的功率占高斯基模光束总功率的86.5%。More reasonable definition for the far-field beam angle is to use the 1/e or 86% criterion for the beam diameter, so that the far field half-angular spread is d
15、efined by the width corresponding to the 1/e point for the E field amplitude at large z.full angular spread对圆形镜共焦场行波特性的分析可按与方形镜同样的方法进展圆形镜与方形镜的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散角都完全一样。普通稳定球面腔的方式特征普通稳定球面腔的方式特征(P65-70)共焦腔方式实际可以推行到整个稳定球面腔系统恣意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价 任一满足稳定性条件的球面腔独一地等价于某一共焦腔“等价指具有一样的行波场。这种等价性深化地提示出各
16、种稳定腔共焦腔也是其中之一之间的内在联络，使得可以利用共焦腔方式实际的研讨结果来解析地表述普通稳定球面腔模的特征X恣意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔恣意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价等价X 思绪：任一个共焦腔模有无穷多个等相思绪：任一个共焦腔模有无穷多个等相位面，可构成无穷多个等价球面腔位面，可构成无穷多个等价球面腔证证明一切这些球面腔都是稳定腔明一切这些球面腔都是稳定腔X任一满足稳定性条件的球面腔独一地等任一满足稳定性条件的球面腔独一地等价于某一共焦腔价于某一共焦腔X思绪：由稳定球面腔的腔参数思绪：由稳定球面腔的腔参数R1、R2、L可以独一地解出一组数可以独一地解出一组数z1、z2、f2
17、，从而独一地确定等价共焦腔，从而独一地确定等价共焦腔只需当所讨论的稳定腔的孔径足够大，腔中的场集中在轴线附近时，本节的结论才是正确的当z1、z2、f2求出后，等价共焦腔就独一地确定了。Taking the mirror spacing as L= z2- z1, where z2 is to the right of z1.将普通稳定球面腔的方式特征借助于其等价共焦腔行波场的特性而解析地表示出来镜面上的光斑尺寸s1、s2 由R1、R2、L求出独一一组z1、 z2 、f后，代入式模体积等价性是以共焦腔等相位面的分布规律为根据的方形孔径等相位面的分布R(z1)=R1、R(z2)=R2谐振频率基模远场发散角方形镜圆形镜衍射损耗衍射损耗共焦腔的方式实际证明：每一个横模的单程衍射损耗单值地由腔的菲涅耳数 决议对稳定球面腔以及与它等价的共焦腔而言，由于它们的行波场构造完全一样，而且反射镜面都构成场的等相位面，因此，它们的衍射损耗应该服从一样的规律。定义稳定球面腔的有效菲涅耳数对普通稳定球面腔，每一个反射镜对应着一个有效菲涅耳数，然后按共焦腔的单程衍射损耗曲线查得普通稳定球面腔的损耗值end
