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1、第2讲 矩阵算法及弹性力学根底2.1 矩阵算法l线性方程组的表示l行向量和列向量l矩阵加、减、乘法运算l矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵l矩阵行列式l矩阵求逆l矩阵的微分和积分l正定矩阵正定二次型线性方程组的表示求解方法：高斯消元法、迭代法行向量和列向量矩阵加、减、乘法运算对称方阵矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵或矩阵行列式奇特矩阵(方阵)假设方阵A的行列式那么其逆存在，记为A的伴随矩阵矩阵的逆对于：线性方程组的求解，变为求解系数矩阵的逆矩阵矩阵的微分和积分二次型：含有n个变量的二次齐次多项式假设取正定二次型那么利用矩阵及其运算，二次型可表示为A: 对称矩阵正定二次型：设为实二次型，假设对于恣意的非
2、零实向量X，都有A: 正定矩阵关于正定矩阵l正定矩阵是特殊的对称实矩阵l正定矩阵的对角元aii0l正定矩阵的行列式|A|0lA为正定矩阵的充要条件是A的一切顺序主子式皆大于0二次型的微商对向量x各元素的偏导数2.2 弹性力学根底l关于弹性力学l五个根本假定l外力和内力l应力、应变、位移l目的志法和求和商定l张量及Voigt标志l平面问题根本方程及边境条件l三维问题根本方程及边境条件关于弹性力学l弹性力学是研讨弹性体在约束和外载荷作用下内力和变形分布规律的一门学科。力学学科研讨对象特征中学力学质点无变形实际力学质点系及刚体无变形资料力学简单变形体(构件)小变形构造力学数量众多的简单变形体小变形弹
3、性力学恣意变形体小变形弹塑性力学恣意变形体恣意变形力学学科各分支的关系五个根本假定l延续性：无空隙，能用延续函数描画l均匀性：各个位置物质特性一样l各向同性：同一位置的物质各个方向上具有一样特性l线弹性：变形和外力的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状l小变形：变形远小于物体的几何尺寸，建立根本方程时可以忽略高阶小量。外力和内力l膂力分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。l面力分布在物体外表上的力，例如接触压力、流体压力。l分布力：延续分布在外表某一范围内l集中力：分布力的作用面积很小时的简化l内力外力作用下，物体内部相连各部分之间产生的相互作用力。位移、应力、应变对变形体受力和变形进展
4、描画的根本变量位移物体变形后的外形应力物体的受力形状应变物体的变形程度位移l位移就是位置的挪动。物体内恣意一点的位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表示。应 力物体内某一点的内力F1F2F3 应力S在其作用截面上的法向分量为正应力，切向分量称为剪应力，用表示。显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力形状，即经过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小平行六面体。用六面体外表的应力分量来表示p点的应力形状。 一点的应力形状无穷小正六面体,六面体的各棱边边平行于坐标轴l第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。l正应力由于作用外表与作用方
5、向垂直，通常用一个下标。 l应力分量的方向定义 ：l假设某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正；l假设某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。l剪应力互等 l物体内恣意一点的应力形状可以用六个独立的应力分量来表示 或应变l物体的外形改动可以归结为长度和角度的改动。l各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用表示。l两个垂直线段之间的直角的改动，用弧度表示，称为剪应变，用表示。dL+dudLl与应力的定义类似，物体内恣意一点的变形，可以用六个应变分量表示：或目的志法和求和商定l自在目的：表达式每一项中只出现一次的下标，如ij
6、 ,其中i,j为自在目的，可以自在变化。三维问题中， i,j的变化范围为1,2,3，分别和直角坐标系三个坐标轴x,y,z对应。l反复目的哑目的：表达式的每一项中反复出现的下标，如aijxj=bi ，j为哑目的。l求和商定：哑目的意味着求和。l 爱因斯坦求和商定在微分几何、张量分析、延续介质力学等学科中,对于表达式和推导的简化,有着非常重要的作用。按普通写法：用目的志法，那么为 目的变化范围为1,2,3 采用目的志法后，方程(组)的表达方式得到简练。张量及Voigt标志l大部分延续介质力学和有限元相关的文献采用张量符号和目的志法l张量的定义：不同坐标系下满足一定变换关系的物理量,如 u, , l
7、张量通常采用目的志法表示l0阶张量(标量)：无自在目的的量l1阶张量(矢量)：有1个自在目的的量，如uil2阶张量：有2个自在目的的量，如ij , ijln阶张量：有n个自在目的的量l一点的应力形状和应变形状都符合张量的定义，目的志法为ij 和ij，是二阶张量对张量的了解l张量不随坐标系的改动而改动l例如位移矢量ui ：无论从哪一个坐标系察看，它反映的总是A点挪动到B点的客观现实，不随察看者所在的坐标系而改动。l再如应力张量ij和应变张量ij ，虽然在不同的坐标系中具有不同的分量，但是它们所描画的却是某点的同一个应力和应变形状。Voigt标志l含义：在有限元编程中，经常将对称的二阶张量写成列向
8、量，将非常棘手的对称四阶张量如弹性系数矩阵Dijkl转换成二阶张量。这种转换过程称为voigt标志。l转换规那么：l应力张量动力学量的转换l应变张量运动学量的转换应力张量的Voigt标志应变张量的Voigt标志剪切应变需求乘以2，这是源于能量表达式的需求。弹性系数矩阵的Voigt标志平面问题及其根本方程l弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来替代，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。平面应力问题很薄的等厚薄板，只在板边上遭到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，膂力也平行于板面且不沿厚度变化。 平面应变问题很长的柱形体，支
9、承情况不沿长度变化，在柱面上遭到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，膂力也如此分布。 三大类根本方程 在弹性力学中针对微小的单元体建立根本方程，把复杂外形弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。弹性力学的根本方程包括平衡方程：内力和外力的关系几何方程：应变和位移的关系物理方程本构方程：应力和应变的关系平衡方程ab=dxad=dy习惯上张量目的方式：单位体积力几何方程张量目的方式：物理方程 平面应力问题：平面应变问题：张量目的方式：边境条件oxyds外法线n的方向余弦 l=dy/ds m=dx/ds位移BC力 BC张量目的方式：三维问题根本方程及边境条件 可以将平面问题的根本方程推行到三维问题。根本变量如下：位移：应变：应力：平衡方程几何方程物理方程边境条件三维问题根本方程的张量目的方式平衡方程：几何方程：物理方程：边境条件：作业：一维拉杆问题(忽略膂力)用弹性力学的根本方程和边境条件求解拉杆应力、应变及位移分布。E=210000MPa，A=Pi*502 mm2，l =1000mm , P=600N
