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1、章节目录章节目录3.1 典型输入信号和时域性能指标典型输入信号和时域性能指标3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析3.6 系统的稳态特性分析系统的稳态特性分析3.5 系统的稳定性分析系统的稳定性分析3.4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析3.1 典型输入信号和时域性能指标典型输入信号和时域性能指标3.1.1 典型输入信号典型输入信号典型的输入信号的选取可以遵循这样一些原则:1 典型的输入信号的形式应尽可能简单，以便于分析处理;2 典型的输入信号应具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况;3 典型的输入信号可以使系统在最不利的条件下工作。
2、这种处理方法，在许多场合是可行的。例如，炉温控制系统和液位控制系统，以及工作状态突然改变的其它系统，都可采用阶跃函数阶跃函数作为典型输入信号。补充：（1）阶跃函数（3.1）3.1.1 典型输入信号典型输入信号式中，U为常量。幅值为1的阶跃函数称为单位阶跃函数。单位阶跃函数常记为1(t)，单位阶跃函数的拉普拉斯变换为图3.1 单位阶跃函数（2）斜坡函数）斜坡函数（3.2）式中，U为常量。斜率为1的斜坡函数称为单位斜坡函数，斜坡函数也称等速度函数。单位斜坡函数的拉普拉斯变换为：图3.2 斜坡函数（3）抛物线函数）抛物线函数（3.3）式中，U为常量。单位抛物线函数的拉普拉斯变换为 ； 幅值为1的抛物
3、线函数称为单位抛物线函数；抛物线函数也称等加速度函数。图3.3 抛物线函数（4）单位脉冲函数(t)（3.4）图3.4 单位脉冲函数（5）正弦函数（3.5）式中，A为正弦函数的幅值。正弦函数的拉氏变换为正弦函数主要用于频域分析，有时也用于时域分析。正弦函数的图形如下图所示。图：正弦函数图形3.1.2 时域性能指标时域性能指标（1）暂态过程。暂态过程也称过渡过程或瞬态过程或动态过程，指系统在典型输入信号作用下，其输出量从初始状态到最终状态的过程。根据系统结构和参数选择的情况，暂态过程表现为衰减、发散和等幅振荡几种形式。显然，一个可以正常运行的控制系统，其暂态过程必须是衰减衰减的，即系统必须是稳定的
4、，暂态过程除提供系统稳定的信息外，还可以提供其响应速度和阻尼情况等信息，这些信息是用系统暂态性能暂态性能描述的 。（2）稳态过程。稳态过程也称系统的稳态响应，指系统在典型输入信号 作用下，当t时，其输出量的表现形式。稳态过程表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统稳态误差的信息，用系统的稳态性能稳态性能描述。在分析系统性能时，认为当系统的输出对其输入的复现进入允许的误差范围以后，系统进入稳态。由此可见，控制系统在典型输入信号作用下的性能指标由暂态性能指标暂态性能指标和稳稳态性能指标态性能指标两部分组成，一般认为阶跃输入对系统来说是最为严峻的工作状态，如果系统在阶跃函数阶跃函数作用下的暂态性
5、能满足要求，那么在其他输入形式作用下的暂态性能也能满足要求。暂态性能暂态性能 在本章中，时域中评价系统的暂态性能，通常以系统对单位阶跃输入信号单位阶跃输入信号的暂态响应为依据。图3.5 单位阶跃输入信号下的暂态响应2)上升时间上升时间tr ：响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。对于有振荡的系统，单位阶跃响应曲线从零第一次上升到稳态值所需的时间为上升时间。 3)峰值时间峰值时间tp ：阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值所需要的时间。 1)延迟时间延迟时间td ：响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 暂态性能指标（暂态性能指标（1）图3.5 单
6、位阶跃输入信号下的暂态响应4)调调节节时间时间ts：阶跃响应曲线进入允许的误差带(一般取稳态值附近5%或2%作为误差带)并不再超出该误差带的最小时间，称为调节时间(或过渡过程时间)。暂态性能指标（暂态性能指标（2）图3.5 单位阶跃输入信号下的暂态响应5)超调量超调量 ： 阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比，即（3.6）暂态性能指标（暂态性能指标（3）图3.5 单位阶跃输入信号下的暂态响应稳态误差稳态误差ess ：稳态性能稳态性能 在图3.5所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的稳态误差可以用ess来表示。定义：当时间t趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差，即3.2 一阶
7、系统的时域分析一阶系统的时域分析能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统一阶系统，其传递函数为图3.6 一阶系统的结构图3.2.1 单位阶跃响应（一阶系统）单位阶跃响应（一阶系统）（3.7）对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为：(t0)图3.7 一阶系统的阶跃响应曲线性能指标性能指标1)系统的实际输出y(t)在时间t趋于无穷大时，接近于输入值，即2）一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为零、以指数曲线规律上升的终值为1的曲线。其特点是单调上升而无振荡 现象,故有时也称为非周期响应非周期响应。 故系统无振荡、无超调， =0。 3）由此可见，一阶系统的时间常数越小，系统的快速性越好。t0图3.7 一阶
8、系统的阶跃响应曲线性能指标性能指标ts3T ，(对应=5误差带)ts4T，(对应=2误差带)所以， 经过时间3T4T，响应曲线已达稳态值的95%98%，可以认为其调整过程已完成，故一般取ts=(34)T。4）一阶系统单位阶跃响应曲线的值和系统时间常数T： t = T 时， y(T) = 0.632； t = 2T 时，y(2T) = 0.865； t = 3T 时，y(3T) = 0.950； t = 4T 时，y(4T) = 0.982。t03.2.2 单位斜坡响应（一阶系统）单位斜坡响应（一阶系统）（3.8）当输入信号u(t)=t时，U(s)=1/s2，系统输出量的拉氏变换为对上式取拉氏反
9、变换，得单位斜坡响应为(t0)图3.8 单位斜坡响应曲线(一阶系统)根据式（3-16）可以求得系统的输出信号与输入信号之差(t)，即性能指标性能指标(t0)3.2.3 单位脉冲响应（一阶系统）单位脉冲响应（一阶系统）（3.9）当u(t)=(t)时，系统的输出响应为该系统的脉冲响应。因为L (t)=1，一阶系统的脉冲响应的拉氏变换为对应单位脉冲响应为(t0)图3.9 脉冲响应曲线(一阶系统)一阶系统单位脉冲响应曲线的值和系统时间常数T的对应关系如下：由图3.9可以看出，一阶系统的脉冲响应是一单调下降的指数曲线。如果定义上述指数曲线衰减到其初值的2为过渡过程时间ts，则ts=4T。因此，系统的惯性
10、越小（即时间常数越小），则过渡过程的持续时间便越短，也就是说系统对输入信号的响应的速度越快（即快速性越好）。性能指标性能指标t = 0时，t = T时，t = 时，y() = 0(t0)3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析3.3.1 典型的二阶系统典型的二阶系统图3.10为典型的二阶系统动态结构图，系统的开环传递函数为（3.10）系统的闭环传递函数为（3.11）图3.10 典型的二阶系统动态结构图典型二阶系统的特征方程式为它的两个特征根是3.3.2 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应（1）欠阻尼情况（01） 由于01）（3.15） 式3.15表明，系统响应含有两个单调衰减的指数项，它
11、们的代数和决不会超过稳态值1，因而过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是非振荡的。响应曲线如图3.11所示。（4）无阻尼情况（）无阻尼情况（=0） （3.16）上式表明，系统为不衰减的振荡，其振荡频率为n，系统属临界稳定系统。 图3.11 典型二阶系统的单位阶跃响应3.3.3 系统的暂态性能指标系统的暂态性能指标（1）上升时间）上升时间tr于是上升时间（3.18）（2）峰值时间）峰值时间tp（3.19）上式说明，峰值时间恰好等于阻尼振荡周期的一半，当一定时极点距实轴越远， tp越小。（3）最大超调量）最大超调量p% 可见超调量仅由决定，越大，p%越小。 p%和的关系见图3.11。（3.20）（4）调节
12、时间）调节时间ts（3.21）（3.22）阻尼比是二阶系统的重要参数，由值的大小，可以间接判断一个二阶系统的暂态品质。一般情况下，系统在欠阻尼情况下工作。调节时间与系统阻尼比和n这两个特征参数的乘积成反比。为了限制超调量，并使调节时间ts较短，阻尼比一般在0.40.8之间，这时阶跃响应的超调量将在25% 1.5%之间。3.4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析（3.24）分析高阶系统单位阶跃响应表达式可以得到如下结论：高阶系统暂态响应各分量衰减的快慢由-pj和k、nk决定，即由闭环极点在S平面左半边离虚轴的距离决定。高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极点在S平面的位置有关，还与零点的位置有关
13、。如果所有的闭环极点都具有负实部，由式（3-24）可知，随着时间的推移，系统的暂态分量不断的衰减，最后只剩下由极点所决定的稳态分量。假如高阶系统中距虚轴最近的极点的实部绝对值仅为其他极点的1/5或更小，并且附近又没有闭环零点，则可以认为系统的响应主要由该极点（或共轭复数极点）来决定。3.5 系统的稳定性分析系统的稳定性分析3.5.1 系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件 所谓稳定性，是指系统受到扰动作用后偏离原来的平衡状态，在扰动作用消失后，经过一段过度时间能否恢复到原来的平衡状态或足够准确地回到原来的平衡状态的性能。 所以，线性系统稳定的充分必要条件充分必
14、要条件是：系统特征方程式所有的根（即闭环传递函数的极点）全部为负实数或为具有负实部的共轭复数，也就是所有的极点分布在S平面虚轴的左侧。例如，一阶系统的特征方程式为例如，一阶系统的特征方程式为特征方程式的根为显然特征方程式根为负的充分必要条件是a0、a1均为正值，即（3.25）例如，二阶系统的特征方程式为例如，二阶系统的特征方程式为特征方程式的根为 要使系统稳定，特征方程式的根必须有负实部。因此二阶系统稳定的充分必要条件是：（3.26）3.5.2 劳斯判据劳斯判据（1）首先列出系统特征方程式（2）根据特征方程式列出劳斯数组表（3）根据劳斯表中第一列各元素的符号，用劳斯判据来判断系统的稳定性。劳斯
15、判据的内容如下：劳斯判据的内容如下：如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号发生变化，则系统不稳定，且第一列元素正负号的改变次数等于特征方程式的根在S平面右半部分的个数。例例4 三阶系统的特征方程式为三阶系统的特征方程式为列出劳斯表为系统稳定的充要条件是例例5 设系统的特征方程式为设系统的特征方程式为使用劳斯判据判断系统的稳定性。使用劳斯判据判断系统的稳定性。解：劳斯表如下 劳斯表左端第一列中有负数，所以系统不稳定；又由于第一列数的符号改变两次，1-65，所以系统有两个根在S平面的右半平面。（4）两种特殊情况）两种特
16、殊情况 1）劳斯表中某一行左边第一个数为零，但其余各项不为零。在这种情况下，可以用一个很小的正数正数代替这个零，并据此计算出数组中其余各项。 2）如果劳斯表中某一行中的所有元素都为零，则表明系统存在两个大小相等符号相反的实根和（或）两个共轭虚根，或存在更多的这种大小相等，但在S平面上位置径向相反的根。3.5.3 古尔维茨判据古尔维茨判据设系统的特征方程式为对于n阶微分方程式来说，主行列式为（3.27） 如果上述主行列式及其对角线上的各子行列式都大于零，则系统稳定，即特征方程式的各根都具有负实部；否则，系统不稳定。例8 对于四阶特征方程式稳定判别主行列式为因此系统稳定的充要条件为主行列式及各子行
17、列式也必须大于零。即例例9 系统方程式为使用古尔维茨判断，判别系统的稳定性。其中子行列式由于D10，7500K10，即K10，6-K 0，即K6。因此，K的取值范围为所以，临界放大系数K1=6。 分析系统内部的参数变化对稳定性的影响。解：解：系统的特征方程式为根据代数稳定判据，三阶系统稳定的充要条件是：例例12系统的闭环传递函数为对应于该系统，由于 均大于零，所以要使系统稳定，要求经整理得 假设 则使系统稳定的临界放大系数为 如果取 则临界放大系数变为 由此可见，各环节的时间常数错开程度越大，则系统的临界开环放大系数越大。反过来，如果系统的开环放大系数一定，则时间常数错开程度越大，系统的稳定性
18、越好。讨论：讨论：3.6 系统的稳态特性分析系统的稳态特性分析3.6.1 稳态误差的定义设控制系统的典型动态结构图如图3.19所示。图3.19 控制系统的典型动态结构图当时间t时，此值就是稳态误差，用ess表示，即给定稳态误差为 由此可见，有两个因素决定稳态误差，即系统的开环传递函数开环传递函数G(s)和输入信号输入信号U(s)。即系统的结构和参数的不同，输入信号的形式和大小的差异，都会引起系统稳态误差的变化。（3.29）（3.33）3.6.2 系统的分类系统按v的不同取值可以分为不同类型。v=0，1，2时，系统分别称为0型，型和型系统。（3.34）3.6.3 给定作用下的稳态误差给定作用下的
19、稳态误差（1）单位阶跃函数输入（3.35）（3.36）对0型系统对型系统及型以上的系统 由此可见，对于单位阶跃输入，只有0型系统有稳态误差，其大小与系统的开环增益成反比。而型和型以上的系统位置误差系数均为无穷大，稳态误差均为零。（2）单位斜坡函数输入）单位斜坡函数输入（3.38）（3.37）对0型系统对型系统对型或高于型系统 由此可见，对于单位斜坡输入，0型系统稳态误差为无穷大；型系统可以跟踪输入信号，但有稳态误差，该误差与系统的开环增益成反比；型或高于型系统，稳态误差为零。（3）单位抛物线函数输入）单位抛物线函数输入（3.39）（3.40）对0型系统对型系统对型系统对型或高于型系统 由此可知
20、，0型及型系统都不能跟踪抛物线输入；型系统可以跟踪抛物线输入，但存在一定的误差，该误差与系统的开环增益成反比；只有型或高于型的系统，才能准确跟踪抛物线输入信号。 表3.1列出了不同类型的系统在不同参考输入下的稳态误差。3.6.4 扰动输入作用下的稳态误差扰动输入作用下的稳态误差 计算系统在干扰作用下的稳态误差常用终值定理。 下面以图3.19所示的控制系统为例，当给定量u (t)=0时，讨论扰动作用下，系统的稳态误差。此时，扰动作用下的误差称为扰动误差，用en（t）表示，其拉氏变换为其中，G(s)系统开环传递函数。扰动作用下系统的误差传递函数为根据拉氏变换终值定理，求得扰动作用下的稳态误差为（3
21、.42）（3.41）（3.43）由上式可知，系统扰动误差决定于系统的误差传递函数和扰动量。例例17 如图3.22是典型工业过程控制系统的动态结构图。设被控对象的传递函数为求当采用比例调节器和比例积分调节器时，系统的稳态误差。图3.22 典型工业过程控制系统 由图3.19可以看出，系统对给定输入为型系统，令扰动N(s)=0，给定输入U(s)=U/s，则系统对阶跃给定输入的稳定误差为零。 若令U(s)=0，N(s)= N/s，则系统对阶跃扰动输入的稳态误差为解：解：若采用比例调节器，即 可见，阶跃扰动输入下系统的稳态误差为常值，它与阶跃信号的幅值成正比，与控制器比例系数KP成反比。若采用比例积分调
22、节器，即 这时控制系统对给定输入来说是型系统，因此给定输入为阶跃信号、斜率信号时，系统的稳定误差为零。 可见，采用比例积分调节器后，能够消除阶跃扰动作用下的稳态误差。其物理意义在于：因为调节器中包含积分环节，只要稳态误差不为零，调节器的输出必然继续增加，并力图减小这个误差。只有当稳态误差为零时，才能使调节器的输出与扰动信号大小相等而方向相反。这时，系统才进入新的平衡状态。在斜坡扰动作用下，由于扰动为斜坡函数，因此调节器必须有一个反向斜坡输出与之平衡，这只有调节输入的误差信号为负常值才行。3.6.5 减小稳态误差的方法减小稳态误差的方法保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性，必要时需采用误差补偿措施。增大开环放大系数，以提高系统对给定输入的跟踪能力；增大扰动作用前系统前向通道的增益，以降低扰动稳态误差。增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。采用前馈控制（复合控制）。（1）对干扰补偿图3.23是按扰动进行补偿的系统框图。图3.23 按扰动进行补偿的复合控制系统（2）对给定输入进行补偿图3.24是对输入进行补偿的系统框图。（3.45）（3.46）精品课件精品课件！精品课件精品课件！图3.24 对输入进行补偿的复合控制系统
