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1、2.3 伯努利试验与直线上的随机游动Ch2：条件概率与统计独立性3 伯努利试验与直线上的随机游动伯努利试验与直线上的随机游动一、伯努利概型一、伯努利概型三、直线上的随机游动三、直线上的随机游动二、伯努利概型中的一些分布二、伯努利概型中的一些分布一 、伯努利概型 如果随机试验如果随机试验E E只有两个可能的结果，如只有两个可能的结果，如: :掷一枚硬币，只出现掷一枚硬币，只出现“正面正面”或或“反面反面”；考察一条线路，只有考察一条线路，只有“通通”与与“不通不通”；传递一个信号，只有传递一个信号，只有“正确正确”与与“错误错误”；播下一颗种子，了解它播下一颗种子，了解它“发芽发芽”与否；与否；
2、观察一台机器观察一台机器“开动开动”与否与否这种随机试验称为这种随机试验称为这种随机试验称为这种随机试验称为伯努利伯努利伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)(Bernoulli)(Bernoulli)试验试验试验试验. . . . 伯努利试验有时试验的可能结果虽有多种，但有时试验的可能结果虽有多种，但如果只考虑某如果只考虑某事件事件A A发生与否发生与否，也可作为，也可作为伯努利试验伯努利试验. .例如抽检一个产品，虽有各种质量指标，但如果例如抽检一个产品，虽有各种质量指标，但如果只考虑合格与否，就是伯努利试验只考虑合格与否，就是伯努利试验. . 此时，事件域可取为：此时，
3、事件域可取为：则称则称E E为为 Bernoulli Bernoulli 试验试验n n 重伯努利试验重伯努利试验（记作En ): : n n次次独立独立 重复重复的的伯努利伯努利试验试验. .n n 重伯努利试验重伯努利试验n n重伯努利试验的特点重伯努利试验的特点: :每次试验最多出现两个可能结果之一每次试验最多出现两个可能结果之一A A在每次试验种出现的概率在每次试验种出现的概率p p保持不变保持不变各次试验相互独立各次试验相互独立共进行了共进行了n n次试验次试验n n 重伯努利试验的样本空间重伯努利试验的样本空间：可列重伯努利试验可列重伯努利试验（记作（记作E E）：）： 样本点样本
4、点w w= =( (w w1 1,w,w2 2,.,w,.,wn n,.),.)样本点个数不可列样本点个数不可列, ,无限样本空间。无限样本空间。可列可列重伯努利试验二二 伯努利概型中的一些分布伯努利概型中的一些分布只进行一次伯努利试验只进行一次伯努利试验概率分布为概率分布为: :1.1.伯努利分布伯努利分布这种概率分布称为伯努利分布这种概率分布称为伯努利分布伯努利概型中最简单的情形伯努利概型中最简单的情形也称两点分布也称两点分布例例1 200件产品中件产品中,有有190件合格品件合格品,10件次品件次品,现现从中随机抽取一件从中随机抽取一件,令令A表示取得次品，则：表示取得次品，则：此为此为
5、两点分布两点分布.“掷硬币掷硬币”、“婴儿性别婴儿性别”等试验均为等试验均为两点分布两点分布. 在在n重重Bernoulli试验中试验中,事件事件A恰好发生恰好发生k次的概率次的概率记为，记为， 则则2.2.二项分布二项分布称称b b( (k k; ;n n, ,p p) )决定的概率分布为决定的概率分布为二项分布二项分布。例例2 2、设一批产品中有、设一批产品中有a a件是次品件是次品, ,b b件是正品件是正品. . 现有现有放回地从中抽取放回地从中抽取n n件产品件产品. .求求: :事件事件A A=n n件产品中恰有件产品中恰有k k件次品件次品 的概率其中，的概率其中，k k=0,1
6、,2,=0,1,2,n n. .解解: : 属于属于 n n重伯努利分布重伯努利分布, ,且：且：例例3 3: : 某病的自然痊愈率为某病的自然痊愈率为 0.250.25，某医生为检验，某医生为检验某种新药是否有效，他事先制定了一个决策规则：某种新药是否有效，他事先制定了一个决策规则：把这药给把这药给 10 10 个病人服用，如果这个病人服用，如果这 10 10 人中至少有人中至少有4 4 个人痊愈，则认为新药有效；反之，则认为新药个人痊愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无效求：无效求： 新药有效，并且把痊愈率提高到新药有效，并且把痊愈率提高到 0.350.35，但通过，但通过试验却被否定的
7、概率试验却被否定的概率新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概率新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概率分析：此为分析：此为1010重伯努利试验，令重伯努利试验，令A A痊愈痊愈（2）药物本身无效时，（1）药物本来有效的情况下，令k痊愈的人数，“被否定”=“k=0,1,2,3”课堂练习：设一批产品中有课堂练习：设一批产品中有3030的产品是一级品的产品是一级品. .现现对该产品中进行重复抽样检查对该产品中进行重复抽样检查, ,共取共取5 5个样品。求个样品。求 ：(1)(1)取出的取出的5 5个样品中恰有个样品中恰有2 2个一级品的概率个一级品的概率(2)(2)取出的取出的5 5个样品中至少
8、有个样品中至少有2 2个一级品的概率个一级品的概率(1)解解: :(2)A:“5个样品中个样品中至少有至少有2个一级品个一级品” 在伯努利试验中，在伯努利试验中，“事件事件A A在第在第k k次才首次出现次才首次出现”的的概率概率, ,记为：记为： ，显然：，显然：3.3.几何分布几何分布例4、一个人要开门，共有n把钥匙，其中仅有一把钥匙能开门，这人在第s次试开时才首次成功的概率是多少分析：可列重伯努利试验 p=1/n 第s次才首次成功的概率： g(s;1/n)=1/n (n-1)/ns-1相继的伯努利试验中，要多长时间才会出现第相继的伯努利试验中，要多长时间才会出现第r r 次成功次成功记记
9、C Ck k=第第r r 次成功发生在第次成功发生在第k k 次次 记记 f f ( (k k; ; r r, , p p)=)=P P ( (C Ck k) )C Ck k=前前k k-1-1次成功次成功r r-1-1次次, ,且第且第k k 次成功次成功 ，则：，则：称称 f f ( (k k; ; r r, , p p) )为帕斯卡分布，当为帕斯卡分布，当r r=1=1时时, ,即为几何即为几何分布分布4. 4. 帕斯卡分布帕斯卡分布例例5 5、分赌注问题、分赌注问题 甲、乙两赌徒按某种方式下注赌博，先胜t 局者将赢得全部赌注，但进行到甲胜r 局、乙胜s 局(rt, st)时，因故不得不
10、中止。试问如何分配这些赌注才公平合理？建议：1.用 r:s 来分配2.用最终甲乙取胜的概率 P甲:P乙 来分配分析：甲若想获胜，需要再胜n=t-r 局乙若想获胜，需要再胜m=t-s 局记A=每局中甲获胜,P(A)=p, P(Ac)=q甲获胜，当且仅当：甲再胜n局时，乙再胜的局数km，即A的第n次成功发生在第n+k次(k=n,即Ac的第m次成功发生在m+k次(k=n)试验：显然:再赌n+m-1局可以决定胜负甲若想获胜甲若想获胜, ,必须在必须在n+m-n+m-1 1局中胜局中胜n n次，由二项分布次，由二项分布: :例6、巴拿赫火柴问题：两盒火柴，各装n根,每次抽烟时任取一盒用一根，求发现一盒用
11、光时，另一盒有k根的概率。看作p=1/2的伯努利试验。一盒取过n+1次而另一盒取过n-k次：由对称性，所求概率为：5 推广的伯努利试验与多项分布二项分布的推广n次重复独立试验每次实验有多个可能结果记每次实验的所有可能结果为：由此概率确定的分布称为多项分布， r=2时，退化为二项分布三、直线上的随机游走无限制随机游动有吸收壁随机游动分类分类无限制随机游动无限制随机游动假定质点的初始位置在原点。两端带有吸收壁的随机游动两端带有吸收壁的随机游动特别有特别有注意对该式令 用洛比达法则求极限也可以获得例例7 7、赌徒输光问题、赌徒输光问题甲乙赌本分别为a元及b元，每局赌注为1元，甲获胜的概率为p，试求甲
12、输光的概率。分析：可看成两端带有吸收壁的随机游动模型。以Pa记甲从a出发而在0点被吸收（赌本输光），赢一局看成向右走一步，输一局看成向左走一步，则：注解：若ab，则不管甲赢一局的概率是多少，都终输光。平面上的随机游动 一质点从平面上某点出发，等可能地向上下左右一质点从平面上某点出发，等可能地向上下左右方向移动，每次移动的距离为方向移动，每次移动的距离为1 1，求经过，求经过2 2n n次移动次移动后回到出发点的概率后回到出发点的概率分析：分析： 从某点出发，向上下左右四个方向移动从某点出发，向上下左右四个方向移动的概率均为的概率均为1/4，可以归结为多项分布的问题。，可以归结为多项分布的问题。若要在若要在2n次移动后回到原来的出发点，则向左移次移动后回到原来的出发点，则向左移动的次数动的次数(k)与与向右移动的次数应该相等，向上移向右移动的次数应该相等，向上移动的次数动的次数(m)与向下移动的次数也应该相等，而总与向下移动的次数也应该相等，而总移动次数为移动次数为2n (k+m=n)。因此，所求概率为：。因此，所求概率为： 自动生产线调整以后出现废品的概率为 p, 当生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间的合格产品数的分布. 问问 题题第第8 8周周
