平面的基本性质（1）

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1、高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学 必修必修必修必修必修必修2 2 2 2 2 2问题情境：问题情境：l3.现实生活中有哪些事物能够给我们以平面现实生活中有哪些事物能够给我们以平面的形象，它们有什么共同特征？的形象，它们有什么共同特征？l1.在直观图的画法中如何画水平放置的正方在直观图的画法中如何画水平放置的正方形的直观图？形的直观图？2.右图中正方体的底面是什么形状？右图中正方体的底面是什么形状？为何画成了平行四边形？为何画成了平行四边形？问题：问题： 1.1.平静的湖面，干净的地面平静的湖面，干净的地面, , 课桌面等课桌面等画面会给你画面会给你留下怎样的印象呢？留下怎样的印

2、象呢？ 2. 2. 能不能说一个平面有边界？能不能说一个平面有边界？3.3.当我们想象海平面是一平如镜时，它有什么特点？当我们想象海平面是一平如镜时，它有什么特点？很大、很平很大、很平. 以上问题给了我们以上问题给了我们“平面平面”的直观形象，平面是一个不的直观形象，平面是一个不加定义的概念，具有加定义的概念，具有“平平”、“无限延展无限延展”、“没有厚薄没有厚薄”的特点的特点. .1平面的认识平面的认识 一个平面的面积可以等于一个平面的面积可以等于100cm2吗？吗？ 通常通常200页书会比页书会比20页书厚一些，那么页书厚一些，那么200个平面重合在个平面重合在一起时比一起时比20个平面重

3、合在一起时要厚吗？个平面重合在一起时要厚吗？无限延展（无边界、无面积）无限延展（无边界、无面积）没有厚薄之分没有厚薄之分2平面的画法及表示平面的画法及表示 通常我们画出直线的一部分来表示直线；同样地，通常我们画出直线的一部分来表示直线；同样地，我们也可以画出平面的一部分来表示平面我们也可以画出平面的一部分来表示平面. .l几何里的平面是几何里的平面是无限延展无限延展的常见的桌面、平静的的常见的桌面、平静的水面都给我们以平面的形象，那么如何画出平面呢？水面都给我们以平面的形象，那么如何画出平面呢？.平面的表示：平面的表示： 通常用希腊字母通常用希腊字母 、 、 等等来表示来表示，如平面，如平面

4、，平面，平面 也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示如平面也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示如平面AC有有时也可写成平面时也可写成平面ABCD.2平面的画法及表示平面的画法及表示ABCD . 平面通平面通常用常用平行四边形来平行四边形来表示：表示：以不同形状的平行四边形表示不以不同形状的平行四边形表示不同位置的平面。例如可同位置的平面。例如可用水平放置的正方形的直观图表示水平放用水平放置的正方形的直观图表示水平放置的平面。置的平面。 3空间点、直线和平面的位置关系空间点、直线和平面的位置关系 空间中点、直线和平面的位置关系，该空间中点、直线和平面的位置关系，该如何表示呢？如何表示呢

5、？ 可以借用集合中的符号来表示。可以借用集合中的符号来表示。(1)点与直线位置关系点与直线位置关系点点A在直线在直线l上上A l点点A不在直线不在直线l上上文字语言文字语言 图形语言图形语言符号语言符号语言lAlAA l(2)点与平面位置关系点与平面位置关系文字语言文字语言 图形语言图形语言符号语言符号语言点点A在平面在平面 内内点点A不在平面不在平面 内内A A AA (3)直线与直线位置关系直线与直线位置关系(平面内平面内)文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言l2A(4)直线与平面位置关系直线与平面位置关系文字语言文字语言符号语言符号语言A直线直线AB在平面在平面 内内AB 直

6、线直线l1与直线与直线l2相交相交直线直线l1与直线与直线l2平行平行l1l1l2=Al2l1l1l2直线直线AB与平面与平面 平行平行类似地，还有平面与平面的位置关系类似地，还有平面与平面的位置关系图形语言图形语言 BA BAB 在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中，正方体的三个面所在中，正方体的三个面所在平面平面A1C1，A1B，BC1分别记作分别记作 ， ， A1 A1B1 ，B1 _ A1B1 ，C1 _ AB ； A1 ， B _ ， B1 _ ； A1B1， _， _. A1B1 _ ，BB1 _ , A1B1 _ BB1B1C1练习：练习： 1. 1. 将一把直尺置于桌面上

7、，通过是否漏光就能检查桌将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整，为什么？面是否平整，为什么？你能回答吗？你能回答吗？2. 2. 如图，如图，P P ，Q Q ，则直线，则直线PQPQ与平面与平面 的位置关的位置关系是什么？系是什么？PQ PP Q 在生产生活中，人们经过长期的观察与实践，总结出在生产生活中，人们经过长期的观察与实践，总结出关于平面的基本性质。我们把它们当作公理，作为进一步关于平面的基本性质。我们把它们当作公理，作为进一步推理的基础。推理的基础。若改为若改为P ，Q 呢呢？4平面的基本性质平面的基本性质A B用符号语言可表示为用符号语言可表示为A B AB 公理公

8、理1 如果一条直线上的如果一条直线上的两点两点在一个平面内，那在一个平面内，那么这条直线上么这条直线上所有的点所有的点都在这个平面内都在这个平面内用图形表示用图形表示 公理公理1中只一个平面的情形，若对于两个不重合的平中只一个平面的情形，若对于两个不重合的平面，有公共点吗？面，有公共点吗？ 它们有公共点时，则只有一个吗？它们有公共点时，则只有一个吗？想一想：这个公理有什么作用？想一想：这个公理有什么作用？ 公理公理1 1可以用来可以用来判断一条直线是否在一个平面内，判断一条直线是否在一个平面内，同时说明了平面的无限延展性。同时说明了平面的无限延展性。 A B公理公理2 如果两个平面有一个公共点

9、，那么它们还有其他公共点，这如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过此公共点的一条直线些公共点的集合是经过此公共点的一条直线 .4平面的基本性质平面的基本性质P ，P ，且，且 l P l 判断两个平面是否相交；判断两个平面是否相交； 判定点是否在线上：判定点是否在线上：即常用于判定几点共线或几线共点问题即常用于判定几点共线或几线共点问题 公理公理2常用于：常用于：a P P l，且，且P l .符号表示：符号表示： 如果两个平面有一条公共直线，则称这两个如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相平面相交交，这条公共直线叫做这两个平面的交线。，这条公共直线叫做

10、这两个平面的交线。两个平面相交的画法：两个平面相交的画法： (对两个相交平面对两个相交平面, 被遮住的部分用虚线表示或不被遮住的部分用虚线表示或不画画)例例1 1如图，在长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，P为棱为棱BB1的中的中点，画出由点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面三点所确定的平面 与长方体表面的与长方体表面的交线交线 DBB1AA1D1CC1P因为点因为点P既在平面既在平面 内又在平面内又在平面AB1内，内，所以点所以点P在平面在平面 与平面与平面AB1的交线上的交线上同理点同理点A1在平面在平面 与平面与平面AB1的交线上的交线上因此，因此，PA1就是平面就是

11、平面 与平面与平面AB1的交线的交线 同理，连结同理，连结PC1，A1C1，它们就是平面，它们就是平面 与长方体表面交线与长方体表面交线例例2 2 根根据据下下列列符符号号表表示示的的语语句句，说说出出有有关关点、线、面的关系，并画出图形点、线、面的关系，并画出图形例例3 3：已知已知ABC在平面在平面 外，它的三边所在外，它的三边所在直线分别交直线分别交 于于P，Q，R 求证：求证：P，Q，R三点共线三点共线 ABC三点共线三点共线 点在线上点在线上PRQ1下列叙述中，正确的是下列叙述中，正确的是_因为因为P ，Q ，所以，所以PQ ；因为因为P ，Q ，所以，所以 PQ；因为因为AB ，C

12、 AB，D AB，所以，所以CD ；因为因为AB ，AB ，所以，所以 AB. 练习：练习：2用符号表示下列语句，并画出图形：用符号表示下列语句，并画出图形： (1) 点点A在平面在平面 内，点内，点B在平面在平面 外；外； (2) 直线直线l 经过平面经过平面 外一点外一点P和平面和平面 内一点内一点Q； (3) 直线直线l在平面在平面 内，直线内，直线m不在平面不在平面 内；内； (4) 平面平面 和和 相交于直线相交于直线AB； (5) 直线直线l是平面是平面 和和 的交线，直线的交线，直线m在平面在平面 内，内，l 和和m相交于点相交于点P练习：练习：3. 如图，点如图，点P是长方体是

13、长方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱AB上一点上一点(不同不同于端点于端点A、B)，试画出由，试画出由D1，C，P三点所确定的平面三点所确定的平面 与长与长方体表面的交线方体表面的交线DBB1AA1D1CC1PQR思考：思考：找两个平面的交线找两个平面的交线小结：小结：公理公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内都在这个平面内 用符号语言可表示为用符号语言可表示为A B AB 公理公理2： 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过此公共点的一条直线共点的集合是经过此公共点的一条直线 .符号表示：符号表示：P ，P l，P l .公理公理2常用于：常用于： (1)找两平面的交线；找两平面的交线；(2)判定三点共线与三线共点问题判定三点共线与三线共点问题公理公理1可以理解为根据点与平面的关系确定直线与平面的位置关系，可以理解为根据点与平面的关系确定直线与平面的位置关系，公理公理2可以理解为由点与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系可以理解为由点与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系.作业：作业：课本课本22页练习页练习2、3、4