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1、 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（习题课） 一、曲线积分的计算法 曲线积分计算的关键是必须明确被积函数f(x,y)为定义在积分曲线L上的连续函数，x、y之间符合L的方程，故可化为定积分计算，切不可与二重积分混淆。并第一型曲线积分与L的方向无关，第二型曲线积分与L的方向有关。 10.1 第一型曲线积分的计算 10.2 第二型曲线积分的计算 1. 直接计算法 2. 利用格林公式化为二重积分计算格林公式：P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，L+ 则 3.利用积分与路径无关的条件，选择便于积分的路径 D：单连域， P、Q在D 上具有一阶连续偏导数,且0xyY2=xY
2、=x2(1,1) 例3 计算积分B（2，0） 解解1 选x为参数 解解2 选y为参数类似解法1，计算仍然麻繁.0A（1，1）y1x（补线段B0,和0AB构成闭合路径，方向取顺时针） 比较以上几种解法，方法5最简便，方法6次之. 其中L为曲线y=sinx 按x增大方向 . 解解 应用格林公式xA0y LDL- 补线段0A，使之成为和L-所围成区域D的边界曲线正向. 0A: y=0 dy=0.dx 所以 例例 5 计算曲线积分 其中L是由y2=2(x+2)及x=2所围成的区域D的边界，L的方向为逆时针方向. 解解 当x=y=0时， 无意义；且 在原点不成立，该点又在题设圆内，所以不能直接利用格林公
3、式计算，但以原点为中心，可作一半径为的小圆包含该奇点，即挖去此不连 0 y L L1 x 续点，在形成的复连通区域上再应用格林公式计算. 如图，在L包围的区域D内作顺时针方向的小圆周L1： 在L与L1包围的区域上，由 和格林公式，L为从点A（2,0)沿曲线 到点o(0,0) 的的弧. 解解 添加从点o(0,0)沿y=0到点A（2,0)的有向直线段L1，由格林公式，前一积分 例 6 计算曲线积分 L1 L2 L3 X Y Z 0 利用被积函数及积分路径的对称性 例 7 计算曲线积分 其中L是从原点到A（2，2）再到B（4，0）的折线. x A(2,2) B(4,0) y o D L L- 解解1
4、 补线段0B,使0B和积分路径L围成区域 D，且0B+L-成为D的边界曲线的正向，由格林公式 例 8 计算 其中ABCDA是逆时针正方形闭回路 |x|+|y|=1,A点在x轴正方向上. 解解 想图易知 ，此正方形的四个顶点坐标分别为： A（1，0），B（0，1），C（-1，0），D（0，-1）. 四边的方程分别为： AB：x+y=1; BC:-x+y=1; CD: -x-y=1; DA: x-y=1 即 y=1-x ; y=1+x; y=-1-x; y=x-1. 例 9 试确定a、b之值，使 是某函数 u(x,y)的全微分，并求出这样的一个原函数. 解解 由题设之式是du,有Py=Qx,即 这
5、里原点(0,0)是P、Q的不连续点（奇异点），求u(x,y)时须选取(x0,y0) (0,0),不妨取为(0,1),并选择折线作为积分路径，代入a、b之值，算得A(0,1)B(0,y)C(x,y)xy0 二、二、曲面积分的计算法 曲面积分计算的关键是要明确被积函数f(x,y,z)为定义在积分曲面上的连续函数，x,y,z之间符合的方程，故可化为二重积分计算，切不可与三重积分混淆。且第一型曲面积分与的方向无关，第二型曲面积分与的方向有关。 10.2 第一型曲面积分的计算 例11 计算曲面积分 ,其中曲面s是球面x2+y2+z2=a2的下半部，法线朝上，是曲面s的法线正向与0z轴正向的夹角. 解解
6、：根据第一，第二型曲面积分之间的关系 直接计算法直接计算法（前正后负）前正后负）（上正下负）上正下负）（右正左负）右正左负） 2. 利用高斯公式化为三重积分利用高斯公式化为三重积分 若P（x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在空间域及边界曲面上有连续偏导数， 取外侧，则 3.利用斯托斯公式化为线积分利用斯托斯公式化为线积分y0x1Z=x1xz0DZX.2所围成的立体表面外侧及=z（在第九章习题课中已计算过 此三重积分）,eR0,QP, , 2 22zyx +=利用高斯公式解,22yxezRyQxPz+=+=dxdydzyxez22 原式注意：切不可如下计算（a,0,0)0yzx10xzy11 解解 利用两类面积分的关系计算 平面的法向量n=1,-1,1,单位法向量其中平面与三条坐标轴的截距为1 ,所成三角形的边长均为 ，高线长01111234xyz此题用高斯公式计算较方便.81241241241I =+= 例 18 设线积分 与路径无关，其中（x)具有连续的导数，且（0)=0，计算: 解解 此题的P=xy2,Q=y （x),由题设积分与路径无关，有Py=Qx,即 再由题设积分与路径无关，选取从点(0,0)到(1,1) 的直线段y=x作为积分路径（选取折线段也可以），算得 yH0 x z R
