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1、2021/3/1012021/3/102一.定义:直线直线a、b是异面直线，经过空是异面直线，经过空间间任意一点任意一点 O ,分别引直线分别引直线aa , b b。我们把直线我们把直线a和和b所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做叫做异面直线异面直线a和和b所成的角所成的角.2021/3/103说明：1 a和b所成的角的大小与空间点的选取无关. 2 实质：把a和b平行移动使之相交,把抽象的空 间位置用平面内具体的角来体现. 3 范围:(0，2021/3/1042.异面直线所成的角的求法: 例1：如图正方体AC1， 求异面直线AB1和CC1所成角的大小 求异面直线AB1和A1D所成角的大小
2、解: CC1/BB1 AB1和BB1所成的锐角是异面直线AB1和CC1所成的角 在ABB1中，AB1和BB1所成的角是450 异面直线AB1和CC1所成的角是450 。分析 1、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解 D1D1CC1B1A1ADD1B在面A1B1CD中， A1B1 CD A1D/B1C AB1和B1C所成的锐角是异面直线AB1和A1D所成的角 在AB1C中，AB1和CC1所成的角是600 异面直线AB1和A1D所成的角是600 。2021/3/105求角的步骤：1.做（利用定义画平行线，移到同一做（利用定义画平行线，移到同一平面）平面）2.证（
3、简单论证）证（简单论证）3. 求（解平面图形，通常将角置于一求（解平面图形，通常将角置于一个三角形中，利用平面几何知识解决）个三角形中，利用平面几何知识解决）求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤有哪些有哪些？2021/3/106正方体ABCD- A1B1C1D1中,P为 BB1的中点，如图，画出下面各题中指定的异面直线所成的角ABCDD1B1ABCDB1ABDB1PD1D1C2021/3/107例例2 2、长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB=AA=AA1 1= =2 cm2 cm， AD AD= =1cm1cm，求异面直线，求异面直
4、线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角的余弦值。所成角的余弦值。2021/3/108解法二解法二：方法归纳：方法归纳：补形法补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。现两条异面直线的关系。 F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方体的方体B1F， 2021/3/109在空间四边形S-ABC中，SABC且 SA=BC, E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）CSABEFD(A)300 (B)450 (C)600
5、 (D)900练习1B 2021/3/1010SABEFG2021/3/10112. 在空间四边形ABCD中, AD=BC=2, E、F分别是 AB、CD的中点.且EF= 求:异面直线AD和BC所成的角. 且PE/BC, PF/AD 解:设P为AC中点,连结EP、FP. 则 PE与PF所成的锐角（其补角）就是异面直线BC与AD所成的角.在PEF中, PE=PF=1, EF=即异面直线AD和BC成600角ABCDEFG2021/3/1012定角一般方法有：定角一般方法有：定角一般方法有：定角一般方法有：小结：小结：1、求异面直线所成的角要认识到：空间的角可以用、求异面直线所成的角要认识到：空间的
6、角可以用平面的平面的 角来定义，体现了立体几何中的降维思想。角来定义，体现了立体几何中的降维思想。2、求角的方法：解平面图形（一般为三角形）、求角的方法：解平面图形（一般为三角形）用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：范围： （1） 当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为 （2） 当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为 （3） 当当 cos = 0 时，所成角为时，所成角为 3、当异面直线当异面直线垂直垂直时，还可应用线面垂直的有时，还可应用线面垂直的有 关知识关知识解决。解决。90o2021/3/1013思考：已知正方体的棱长为已知正
7、方体的棱长为 a , M a , M 为为 AB AB 的中点的中点, N , N 为为 B BB B1 1的中点，求的中点，求 A A1 1M M 与与 C C1 1 N N 所成角的余弦值。所成角的余弦值。解解：如图，取如图，取A A1 1B B1 1的中点的中点E, 连连BE, 有有BE A A1 1M M 取取CC1的中点的中点G,连连BG. 有有BG C C1 1N N 则则EBG即为所求角。即为所求角。BG=BE= a, F C1 = a由余弦定理，由余弦定理， cosEBG=2/5取取EB1的中点的中点F，连，连NF,有有BENF则则FNC为所求角。为所求角。想一想：想一想：还有其它定角的方法吗还有其它定角的方法吗？在在EBG中中A1D1C1B1ABCDMN2021/3/10142021/3/1015
