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1、压电振子的振振子的振动模式模式vibration modesvibration modes薄薄长条条纵向伸向伸缩振振动 薄薄圆片、棒、薄片、棒、薄圆环、薄球壳、面切、薄球壳、面切变、弯曲振弯曲振动，厚度振，厚度振动，能陷振能陷振动模，模，机机电类比和比和线性机性机电网网络，1前几章我们根据晶体的对称性，分析讨论了不同对称性的压电晶体所具有的独立的介电常数、弹性常数、压电常数，以及这些量与电学量电位移、电场强度等之间的关系，与机械量应力、应变之间的关系（胡克定律），与电学量和机械量之间的关系（压电方程组）等等，但是未涉及到如何确定这些常数的数值。 2在实验上通常是通过测定压电元件的谐振频率和反谐
2、振频率的方法来确定这些常数的，这就要求对晶体的这些常数同晶片的谐振频率和反谐振频率之间的关系进行理论分析。这种实验的和理论的分析工作，是研究压电晶体的一个重要方面。 确定材料参数确定材料参数3另一方面，压电元件常用于振荡器、滤波器、换能器、光调幅器以及延迟线等等。这些器件都是压电效应来激发压电体的机械振动。因此，只有通过对压电元件的振动模式的讨论，才能较深入地了解压电元件的工作原理和工作性质。 元器件的元器件的设计 4虽然压电晶体（包括已极化的压电陶瓷）是各向异性体，但是压电元件都是根据工作需要，选择有利的方向切割下来的晶片，这些晶片大多数薄长片、圆片、方片等较简单的形状，它的基本振动模式（如
3、伸缩振动、切变振动等）大体上与各向同性的弹性介质相同，都是在有限介质中以驻波的形式传播，只有在非常简单的情况下，才可能得到波动方程的准确解。 5对于稍复杂的情况，只有近似解。在本章中，不可能对各种振动方式都进行详细讨论，只是对其中最简单最常用的振动模式作较系统而全面的分析讨论，希望通过对特殊性的讨论了解普遍性。 6薄薄长片片压电振子的振子的长度伸度伸缩振振动 薄长片压电振子的长度伸缩振动，又称纵向振动，是压电元件中常采用的一种振动方式，也是最简单的振动方式。在这一节中除了讨论压电振子的纵向振动特性外，还要讨论压电振子的等效电路以及压电材料的介电常数、弹性常数和压电常数的测量等内容。 7薄薄长片
4、片压电振子的振子的压电方程方程组 设d310的压电晶体的zx切割晶片，长度l沿x方向，宽度lw沿y方向，厚度lt沿z方向，并且有llw和lt，电极面与z轴垂直，如图6-3所示。因为llw和lt，长度方向是主要因素，所以只考虑应力分量T1的作用，其它应力分量T2、T3、T4、T5、T6可以忽略不计。 8因为电极面垂直于z轴，所以只要考虑电场分量E3的作用，其它电场分量E1、E2可以忽略不计。又因为测量时（或工作时）只是薄片的中心被夹住，片的两端为自由端，即薄片的边界条件为机械自由，在边界上的应力分量T1|边界=0。还有电极面是等位面。 9图5-1 薄长片压电振子10在此情况下，可以选T1、E3为
5、自变量，用第一类压电方程组，即：根据牛顿第二运动定律得到薄长片的运动方程为：11为了得到薄长片压电振子的波动方程，就需要根据压电方程组中应力与应变的关系式，代入波动方程得：12因为压电振子的电极面是等位面，电场分量E3在晶片中是均匀分布的，即有E/x=0。将这些关系代入上式式即得薄长片压电振子的波动方程为：声速13若压电振子是在交变电场E3=E0ejt的激发下，通过压电效应产生纵向振动，则上式的通解为：式中波矢k=/c；A、B为待定系数，由边界条件确定。14满足边界条件的解因为压电振子的两端为自由端，它的机械自由边界条件为: x=0时，有T1|x=0=0； x=l时，有T1|x=l=0; T1
6、=?15而应力的表达式可以写为：16代入边界条件得:x=0时,T1=0：x=l时, T1=0：17稍加整理即得:18把A、B代回到波动方程的解中，得到满足边界条件的解为:19为了对上式所表示的波形有较具体的了解，在图5-2中，绘出了t=0及t= /=1/2周期时的波形。从图5-2中可以看出上式代表纵驻波方程式，即在薄长片压电振子中传播的是纵驻波。20图5-2 5-2 薄薄长片片压电振子的振子的纵向振向振动21t=0时：t=/时：22x0l/2lt=0u0t=/u023薄长片压电振子中的应力、应变以及电位移与（x、t）的关系为:式中E3=E0ejt2425式中：或:26通通过薄薄长片片压电振子的
7、振子的电流流 因为通过压电振子电极面上的电流I3等于电极面上的电荷Q3随时间的变化率，即:而电极面上的电荷Q3与电位移D3的关系为27(5-15)28最后得到通过压电振子电极面的电流为:所以有:29薄薄长片片压电振子的等效振子的等效导纳若通过薄长片压电振子的电流为I3，两电极之间电压为V3，则压电振子等效阻抗Z为，压电振子的等效导纳G为:30两电极面之间的电压V3为:压电振子的等效导纳为：31牛顿定律压电方程波动方程边界条件质点位移电位移电流，导纳材料参数，等效材料参数，等效电路路32结果分析果分析以上就是如何通过压电方程和波动方程求得压电振子的等效导纳方法。下面进一步分析在不同频率时压电振子
8、导纳的性质。 33频率很低率很低时的情况的情况low frequencylow frequency当外加交变电场的频率很低时，即很小时，可以近似认为k=/c 0，于是34频率很低时，薄长片压电振子的等效导纳式中电容：35自由介电常数T33的确定可见低频时压电振子等效为一个电容性元件，或者说在低频时，压电振子在电路中只起一个电容器的作用，它的电容数值由（5-21）式确定。实验上就是通过在很低频率下，测量压电振子的电容Clow（称为低频电容）来确定自由介电常数T33。 36应该注意，这里所说的“频率很低”是指外加交变电场的频率f（或）远小于压电振子的谐振频率fr（或r）的情况，即ffr，或0，于是
9、：46在反在反谐振振频率率时的情况的情况因为0，所以(+)/2在第二象限，这时tan(+)/2)0，并随频率的增加在（- 0）范围内变化，因此一定存在某一个频率fa或a，即k=ka=a/c时，使得:47即当k=ka时，薄长片压电振子的等效导纳为零，等效阻抗为无限大；通过压电振子的电流等于零。导纳：48在反在反谐振振频率率时电流：阻抗：49可见，当外加交变电场E3的频率f=fa或=a时，压电振子的等效阻抗为无限大（实际上为最大值），通过的电流为最小（即等于零）。这也是一种谐振现象，相应的频率fa称为反谐振频率。实验上，常通过测量谐振频率与反谐振频率来确定机电耦合系数。50纵向向振振子子的的机机电
10、耦耦合合系系数数k k3131与与谐振振频率率f fr r和反和反谐振振频率率f fa a之之间的关系的关系欲得到的k31与fr和fa的关系式，要从（5-24）式出发，将（5-24）式改写为 （5-25）51再将 以及 代入（5-25）式得 52 （5-26）因为反谐振频率稍大于谐振频率，故可将反谐振频率fa写成53又：将这些关系代入到（5-26）式得：5455再代入上式，并加整理后，即得机电耦合系数k31与谐振频率fr与反谐振频率fa的关系式：因为f/fr很小，可以将展成为幂级数：56机电耦合系数k31的确定因为f/fr很小，通常只取上式的第一项（最多取到第二项）来计算k31值，即57压电常
11、数d31的确定可见实验上，只要测出压电振子的谐振频率fr和反谐振频率fa，代入（5-28）式，即可确定机电耦合系数k31。再结合通过低频电容C0确定的自由介电常数T33=ltC0/llw，即可确定压电常数d3158和夹持介电常数 （5-30）59总之，通过薄长片压电振子的谐振频率fr、反谐振频率fa以及低频电容Clow和密度，即可确定压电晶体（或压电陶瓷）的弹性柔顺常数sE11、压电常数d31、自由介电常数T33、夹住介电常数S33和机电耦合系数k31等物理量。60薄薄长片片压电振子的等效振子的等效电路路equivalent circuitequivalent circuit器件设计For d
12、evice design61已知薄长片压电振子的等效导纳G（或等效阻抗Z）为62当外加电场的频率很低时，压电振子的等效导纳为：可见频率很低时，压电振子在电路中只起着一个电容为Clow的电容器的作用，它的阻抗为Z=1/(jClow)，在此情况下的压电振子的等效电路是如图5-3所示纯电容电路。63图5-3 5-3 频率很低率很低时压电振子的等效振子的等效电路路64串串联谐振振 Series resonant Series resonant等效阻抗Z|fr=0，电流I3=（实际上I3=极大值）。这种谐振现象与无线电中的LC 串联谐振现象相同。因为LC 串联谐振时，电路中的阻抗=0，电流=。当外加电场
13、的频率等于压电振子的谐振频率fr时，压电振子的等效导纳为：65所以可以认为谐振时，压电振子在电路中起着一个串联的电容C1和电感L1的作用。在此情况下，压电振子的等效电路如图5-4所示的串联电路。压电振子的谐振频率fr就等于LC串联电路中的谐振频率fs。66图 5-4 5-4 谐振振时压电振子的等效振子的等效电路路67并并联谐振振 parallel resonant parallel resonant当外加电场的频率等于压电振子的反谐振频率fa时，压电振子的等效导纳为：等效阻抗Z|fa=，电流I3=0（实际上为电流极小）。这种谐振现象与无线电中的LC 并联谐振现象相同。因为LC 并联谐振时，电路
14、中的阻抗无限大，电流为零。68所以可以认为反谐振时，压电振子在电路中起着一个由电容C0和电感L1以及电容C1相并联的作用。在此情况下，压电振子的等效电路如图5-5所示的LC并联电路。压电振子的反谐振频率fa就等于LC并联电路中的谐振频率fp。 69图 5-5 5-5 反反谐振振时压电振子的等效振子的等效电路路70压电振子等效振子等效电路中的路中的C C0 0、L L1 1和和C C1 1与与压电常数、介常数、介电常数和常数和弹性常数之性常数之间的关系的关系 一方面，压电振子的振动特性是由压电振子的内部矛盾来解决的，即由压电振子的压电常数、介电常数和弹性常数来决定的。另一方面，压电振子的振动特性
15、又可用LC 串联电路和LC 并联电路反映出来。因此等效电路中的C0、L1和C1与压电常数、介电常数和弹性常数之间存在一定的关联。 71这个联系可通过压电振子的等效阻抗（或等效导纳）与LC电路中的阻抗加以比较而得到。已知压电振子的等效导纳为： 72其中： 为分路电容， 为分路阻抗， 为动态阻抗，73使动态阻抗Z1在谐振频率附近展开，因为74故得： （5-31）75使LC串联阻抗在串联谐振频率 附近展开得： （5-32） 76比较（5-31）式与（5-32）式可以看出，在谐振频率附近，取一级近似可得动态阻抗等效于（集总参数）LC串联阻抗，其中联系为： （5-34）式 （5-33）式 77（5-33
16、）与（5-34）两式分别给出了压电振子的等效电感、等效电容和压电常数、弹性常数之间的关系。78几点注意事几点注意事项通过上述讨论使我们对薄长片压电振子的振动特性、等效电路以及有关的压电常数、弹性常数、介电常数和机电耦合系数的测量有了一个较全面的了解。但是应该注意，上述讨论是在压电振子不存在损耗的条件下进行的。79实际上压电振子总是存在损耗的，只是在损耗很小时，才可能将损耗忽略不计，近似认为是无损耗的压电振子。 如果压电振子的损耗不能忽略不计，就需要计入损耗的影响，于是问题就比较复杂了。80这里只提出如下两点注意：（ 1） 在 同 样 大 小 的 外 加 交 变 电 场E3=E0cos(t)作用
17、下，有机械损耗的压电振子的振幅比无损耗的压电振子的振幅小一些，这种损耗在等效电路中的反映就是存在等效电阻R1，如图5-6所示。81图 5-6 5-6 有有损耗耗时压电振子的等效振子的等效电路路82其中等效电路参数为： （5-35）其中Qm为机械品质因子。83（2）无损耗时，压电振子的谐振频率fr，就等于LC串联电路的谐振频率fs，也等于阻抗最小（电流最大）时的fm。压电振子的反谐振频率fa等于LC并联电路中的谐振频率fp，也等于等效阻抗最大（电流最小）时的测量频率fn，即有：84有损耗时，压电振子的这些频率不在相等，而是85即有损耗时，实际测量的阻抗最小，电流最大时的频率fm，和阻抗最大，电流
18、最小时的频率fn，既不等于压电振子的谐振频率fr和反谐振频率fa，也不等于LC串联谐振频率fs和LC并联谐振频率fp。86但是当等效电阻R1较小的情况下（即Qm值较高的情况下），fm、fr、fs之间相差较小，fn、fa、fp之间相差也较小。所以实用上常忽略这个差别，近似地认为相等，即： 87这时压电振子的各个参数，也近似认为由下列关系来确定：(5-36)器件的材料、几何参数器件的材料、几何参数频率参数率参数88小小结( (纵向伸向伸缩振振动 ) )一、压电方程组二、波动微分方程式三、满足自由边界条件波动微分方程式的解四、应力、应变、电位移与(x，t)的关系五、通过振子电极面的电流为六、振子的等效导纳G或等效电阻Z为89七、几种频率及其关系:谐振频率,反谐振频率;串联谐振频率,并联谐振频率;最大导纳频率,最小导纳频率八、压电振子有关的常数与谐振频率及反谐振频率的关系九、压电振子的等效电容、等效电感和等效电阻与材料参数的关系90
