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1、复变函数复变函数第第3讲讲本文件可从网址math.shekou上下载5 复变函数1. 复变函数的定义定义 设G是一个复数z=x+iy的集合, 假设有一个确定的法那么存在, 按照这一法那么, 对于集合G中的每一个复数z, 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应, 那么称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数), 记作w=f(z)假设z的一个值对应着w的一个值, 那么函数f(z)是单值的; 否那么就是多值的. 集合G称为f(z)的定义集合, 对应于G中一切z对应的一切w值所成的集合G*, 称为函数值集合.在以后的讨论中, 定义集合G经常是一个平面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨
2、论的函数均为单值函数.由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v, 所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式:u=u(x,y), v=v(x,y),它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.例如, 调查函数w=z2令z=x+iy, w=u+iv, 那么u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,因此函数w=z2对应于两个二元函数:u=x2-y2, v=2xy2. 映射的概念如用z平面上的点表示自变量z的值, 而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值, 那么函数w=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上
3、的一个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点集G*(函数值集合)的映射(或变换). 这个映射通常简称为由函数w=f(z)所构成的映射. 假设G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的点w, 那么w称为z的象(映象), 而z称为w的原象.设函数w=z, xyOuvOABCz1z2ABCw1w22a设函数w=z2, xyOuvOz1z2w2z3w3aw1由于函数w=z2对应于两个二元实变函数:u=x2-y2, v=2xy.(1.5.1)因此, 它把z平面上的两族分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线x2-y2=c1,2xy=c2分别映射成w平面上的两族平行直线u=c1,v=c2,101-1-
4、1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10函数w=z2对应于两个二元实变函数:u=x2-y2, v=2xy.(1.5.1)假设确定直线x=l(常数)与y=m(常数),直线x=l的象的参数方程为 u=l2-y2, v=2ly,消去参数y得直角坐标方程为v2=4l2(l2-u)同理可得直线y=m的象的方程为v2=4m2(m2+u)uy=1y=25-5-224-4vx=1x=2假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的集合G, 函数值集合为w平面上的集合G*, 那么G*中的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点. 按照函数的定义, 在
5、G*上就确定了一个单值(或多值)函数z=j(w), 它称为函数w=f(z)的反函数, 也称为映射w=f(z)的逆映射.从反函数的定义可知, 对恣意的wG*, 有w=fj(w),当反函数为单值函数时, 也有z=jf(z), zG今后, 我们不再区分函数与映射(变换). 假设函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的, 那么称函数(映射)w=f(z)是一一的. 此时, 我们也称集合G与集合G*是一一对应的.6 复变函数的极限和延续性1.函数的极限定义 设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0|z-z0|0, 相应地必有一正数d(e)(0d), 使得当0|z-z0|d时有|
6、f(z)-A|e,那么称A为f(z)当z趋向于z0时的极限, 记作或记作当zz0时, f(z)A这个定义的几何意义是:当变点z一旦进入z0的充分小的d邻域时, 它的象点f(z)就落A的预先给定的e邻域中. 该当留意, z趋向于z0的方式是恣意的, 无论以何种方式趋向于z0, f(z)都要趋向于同一常数A.xyOz0dzOuvAef(z)极限表示xyOuvO定理一 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0, z0=x0+iy0, 那么证 必要性:充分性:定理二例 证明函数当z0时的极限不存在证 令z=x+iy, 那么由此得由此得让z沿直线y=kx趋于零, 我们有显然, 它随k
7、的不同而不同, 所以不存在. 虽然但根据定理一,不存在.此题也可以用另一种方法证明, 令z=r(cosq+isinq), 那么当z沿着不同的射线arg z=q 趋于零时, f(z)趋于不同的值. 例如, z沿正实轴arg z=0趋于0时, f(z)1, z沿arg z=p/2趋于0时, f(z)0.故不存在2. 函数的延续性定义那么说f(z)在z0处延续. 假设f(z)在区域D内处处延续, 我们说f(z)在D内延续.定理三 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0处延续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处延续.例如, 函数f(z)=ln(x2+y2)+
8、i(x2-y2)在复平面内除原点外处处延续, 由于u=ln(x2+y2)除原点外是处处延续的, 而v=x2-y2是处处延续的.定理四 1) 在z0延续的两个函数f(z)与g(z)的和, 差, 积, 商(分母在z0不为零)在z0处延续;2)假设函数h=g(z)在z0处延续, 函数w=f(h)在h0=g(z0)延续, 那么复合函数w=fg(z)在z0处延续.由以上定理, 可以推得有理整函数(多项式) w=P(z)=a0+a1z+a2z2+.+anzn对复平面内一切的z都是延续的, 而有理分式函数其中P(z)和Q(z)都是多项式, 在复平面分母不为零的点也是延续的还应指出, 所谓函数f(z)在曲线C上z0点处延续的意义是指在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上延续的函数f(z)在曲线上是有界的. 即存在一正数M, 在曲线上恒有|f(z)|M作业第34页第26,27,29题
