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1、中垂线及最短距离问题中垂线及最短距离问题 三里畈初中 刘兴旺 活动一：复习活动一：复习v如如左左图图木木条条L与与AB钉钉在在一一起起，L垂垂直直平平分分AB，P1，P2，P3，是是L上上的的点点，分分别别量量一一量量点点P1，P2，P3，到到A与与B的的距距离离，你你有什么发现？有什么发现？图2结论：线段垂直平分线上的点结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等与这条线段两个端点的距离相等老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.ACBPMNw定理应用格式：定理应用格式：w如图如图, ,AC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一点上任意一点
2、( (已知已知),),PA=PB(PA=PB(线段垂直平分线上的点与线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等这条线段两个端点距离相等).).思考思考反过来如果反过来如果PA=PB，那那么点么点P是否在线段是否在线段AB的垂直的垂直平分线上呢？平分线上呢？用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的个简易的“弓弓”，“箭箭”通过木棒中央的孔射出通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出去的方向与木棒垂直呢？去，怎样才能保持射出去的方向与木棒垂直呢？为什么为什么CBA只要AB=BC就可以结论：结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在与一条线段两个端点距离
3、相等的点，在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上活动二 我能行我能行1 1ACBPMNw定理应用格式：定理应用格式：w如图如图, ,PA=PB(PA=PB(已知已知),),点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上( (与一与一条线段两个端点距离相等的点条线段两个端点距离相等的点, ,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上).).老师提示老师提示: :这个结论是经常用这个结论是经常用来证明来证明点在直线上点在直线上( (或或直线经直线经过过某一某一点点) )的根据之一的根据之一. .结论:线段垂直平分线线段垂直平分线上的点上的点与这条线段两个端与这条线段两个端点的距离
4、相等。点的距离相等。反之，与线段两个端点的距离相等的点反之，与线段两个端点的距离相等的点在这条在这条线段垂直平分线线段垂直平分线上。上。所以，线段垂直平分线可以看作到线段两所以，线段垂直平分线可以看作到线段两端的距离相等的所有点的端的距离相等的所有点的集合集合。拓展：v如图所示，在如图所示，在ABC中，中，AB=AC32，MN是是AB的垂直平分的垂直平分线，且有线，且有BC=21，求，求BCN的周长。的周长。1、 如图，ADBC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？AB+BD 与DE有什么关系？已知已知:如图如图,2PPP1BAONM P1、P2分分别别
5、是是点点P关关于于OA、OB的的对称点对称点， P1P2交交OA于于M，交交OB于于N，P1P2=10cm.求求PMN的周长的周长.解：解：P、P1关于关于OA对称对称，P、P2关于关于OB对称对称，M、N分别在分别在OA、OB上，上，M MP1=M=M P ,N P2 =NPMN+MP+NP = MN+MMN+MP+NP = MN+M P1+ N P2 = = P1P2( 等量代换等量代换)又又P1P2=10cmPMN的周长为的周长为10cm已知：已知：ABC中，边中，边AB、BC的垂直平的垂直平分线交于点分线交于点P。求证：求证：PA=PB=PC.PABC结论：三角形三边的垂直平分线交于一
6、点，并结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。且这点到三个顶点的距离相等。 如图，某同学打台球时想绕过黑球，通过击主球如图，某同学打台球时想绕过黑球，通过击主球，使使主球撞击桌边主球撞击桌边 MN后反弹来击中彩球后反弹来击中彩球.请在图中标明请在图中标明,主球撞在主球撞在MN上哪一点才能达到目的上哪一点才能达到目的 (以主球、彩球的以主球、彩球的球心球心A、B来代表两球来代表两球) ?MN主球彩球A想一想想一想B 如图，某同学打台球时想绕过黑球，通过击主如图，某同学打台球时想绕过黑球，通过击主球球，使，使主球主球 撞击桌边撞击桌边 MN后反弹来击中彩球后反弹来击中彩
7、球.请在请在图中标明图中标明,主球撞在主球撞在MN上哪一点才能达到目的上哪一点才能达到目的 (以以主球、彩球的球心主球、彩球的球心A、B来代表两球来代表两球) ?MN主球彩球BA想一想想一想解答解答PMN主球彩球BAPA1.作作点点A关于关于MN的对称点的对称点A ；作法作法:2.连结连结A B,交交MN于于P.点点P P就是所要求的点就是所要求的点如图：A为马厩，B为帐篷牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷请你帮他确定这一天的最短路线草地河ABMNl某开发区新建了两片住宅区某开发区新建了两片住宅区:A区、区、B区区（如图）（如图）.现在要从煤气主管道的
8、一个地方建现在要从煤气主管道的一个地方建立一个接口立一个接口,同时向这两个小区供气同时向这两个小区供气.请问请问,这这个接口应建在哪个接口应建在哪,才能使得所用管道最短才能使得所用管道最短?A小区小区B 小区小区煤气主管煤气主管道道）思考思考 在一条大的河流中有一形如三角形的小岛（如图），在一条大的河流中有一形如三角形的小岛（如图），岸与小岛有一桥相连岸与小岛有一桥相连.现准备在小岛的现准备在小岛的三边上三边上各设立一个各设立一个水质取样点水质取样点.水利部门在岸边设立了一个观测站水利部门在岸边设立了一个观测站,每天有专每天有专人从观测站步行去三个取样点取样人从观测站步行去三个取样点取样,然后
9、带回去化验然后带回去化验.请问请问,三个取样点应分别设在什么位置三个取样点应分别设在什么位置,才能使得每天取样所用才能使得每天取样所用时间最短时间最短(假设速度一定假设速度一定)? 建立模型建立模型ABCDDDEF1.作作点点D关于关于AC的对称点的对称点D、关于关于BC的的对称点对称点D；作法作法:2.连结点连结点D D,交交AC、BC分别于分别于E、F.点点E E、F F就是所要求的点就是所要求的点已知：已知： 在在ABCABC中，点中，点D D为为BCBC边上的一点边上的一点. .求作求作:AC:AC边上的点边上的点E,BCE,BC边边上的点上的点F,F,使得使得DE+EF+FDDE+E
10、F+FD最最小小. .P1BNA（1）当汽车行驶到什么位置时）当汽车行驶到什么位置时距村庄距村庄M最近？最近？行行驶到什么位置时驶到什么位置时距村庄距村庄N最近？最近？例例2 已知如图：一辆汽车在直线公路已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由上由A向向B行驶行驶，M、N分别表示位于公路分别表示位于公路AB两侧的村庄，两侧的村庄，根据：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，根据：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。垂线段最短。答：如图答：如图，当汽车行驶到，当汽车行驶到P1时，距村庄时，距村庄M最近，最近，当汽车行驶到当汽车行驶到P2时，距村庄时，距村庄N最近。最近。P2M例例2
11、 已知如图：一辆汽车在直线公路已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由上由A向向B行驶行驶，M、N分别表示位于公路分别表示位于公路AB两侧的村庄，两侧的村庄，（2）当汽车行驶到什么位置时，）当汽车行驶到什么位置时，与村庄与村庄M、N的距的距离相等？离相等？答：如图答：如图 ，当汽车行驶到，当汽车行驶到P3时，与村庄时，与村庄M、N的距离相的距离相等。等。ABMNP3根据：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点根据：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。的距离相等。例例2 已知如图：一辆汽车在直线公路已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由上由A向向B行驶行驶，M、N分别表示位于公路分别
12、表示位于公路AB两侧的村庄，两侧的村庄，（3）当汽车行驶到什么位置时，）当汽车行驶到什么位置时，到村庄到村庄M、N的距离的距离之和最短？之和最短？答：如图答：如图 ，当汽车行驶到，当汽车行驶到P4时，到村庄时，到村庄M、N的距离之的距离之和最短。和最短。ABMNP4根据：两点之间线段最短。根据：两点之间线段最短。又又问：若村庄问：若村庄M，N在公路在公路AB的同侧，则又如何解决此题的同侧，则又如何解决此题？N1P5MNAB答：若村庄答：若村庄M，N在公路在公路AB的同侧时，的同侧时，当汽车行驶到当汽车行驶到P5时，到村庄时，到村庄M、N的距离的距离之和最短。之和最短。， 如图，七（如图，七（1
13、）班与七（）班与七（2）班两个）班两个班的学生分别在班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，两处参加植树劳动，现要在道路现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶的交叉区域内设一个茶水供应点水供应点P，使，使P到两条道路的距离相等，到两条道路的距离相等，且且PM=PN，请你用折纸的方法找出请你用折纸的方法找出P点并点并说明理由。说明理由。MNBCA2、如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？(4）与与一一条条线线段段两两个个端端点点距距离离相相等等的的点点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.(1)线段是轴对称图形。线段是轴对称图形。(2)垂直并且平分线段的直线叫做这条线段的垂直垂直并且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。简称中垂线。平分线。简称中垂线。（3）线段垂直平分线上的点与这条线段的两）线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点距离相等。个端点距离相等。通过今天这节课你有什么收获通过今天这节课你有什么收获? ?
