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1、第二节 幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质四、典型例题五、小结与思考1一、幂级数的概念1.1.复变函数项级数复变函数项级数定义定义其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义. .表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数, 记作记作 2称为这级数的称为这级数的部分和部分和. . 级数最前面级数最前面n项的和项的和和函数和函数3称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果级数在如果级数在D内处处收敛内处处收敛, 那末它的和一定那末它的和一定42. 2. 幂级数幂级数当当或或函数项级数的特殊情形函数项级数的特殊情形或或这种级数称为这种级数称为
2、幂级数幂级数.5二、幂级数的敛散性1.收敛定理收敛定理(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)如果级数如果级数在在收敛收敛,那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛, 如果如果在在级数发散级数发散, 那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足阿贝尔介绍阿贝尔介绍6证证由收敛的必要条件由收敛的必要条件, 有有因而存在正数因而存在正数M, 使对所有的使对所有的n, 7而而由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知:收敛收敛.另一部分的证明请课后完成另一部分的证明请课后完成.证毕证毕82. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种其收敛半径
3、的情况有三种:(1) 对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛. .9例如例如, 级数级数对任意固定的对任意固定的z, 从某个从某个n开始开始, 总有总有于是有于是有故该级数对任意的故该级数对任意的z均收敛均收敛.10(2) 对所有的正实数除对所有的正实数除 z=0 外都发散外都发散.此时此时, 级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.(3) 既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.例如例如,级数级数通项不趋于零通项不趋于零,
4、如图如图:故级数发散故级数发散.11.收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.12答案答案: 幂级数幂级数的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1: 在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出不能作出一般的结论一般的结论, 要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意问题问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?13例如例如, 级数级数:收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛在收敛圆周上处处收敛.143. 收敛半径的求法收敛半径的求法方法方
5、法1 1: 比值法比值法( (定理二定理二) ):那末收敛半径那末收敛半径证证由于由于收敛收敛.15据阿贝尔定理据阿贝尔定理,根据上节定理三根据上节定理三,16所以收敛半径为所以收敛半径为证毕证毕即假设不成立即假设不成立 .17如果如果:即即注意注意:存在且不为零存在且不为零 .定理中极限定理中极限(极限不存在极限不存在),即即18答案答案课堂练习课堂练习 试求幂级数试求幂级数的收敛半径的收敛半径.19方法方法2: 根值法根值法(定理三定理三)那末收敛半径那末收敛半径说明说明:(与比值法相同与比值法相同)如果如果20三、幂级数的运算和性质1.1.幂级数的有理运算幂级数的有理运算212. 幂级数
6、的代换幂级数的代换( (复合复合) )运算运算如果当如果当时时,又设在又设在内内解析且满足解析且满足那末当那末当时时,说明说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.22定理四定理四设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为那末那末(2)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到, 是收敛圆是收敛圆内的解析函数内的解析函数 .(1)3. 复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质23(3)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分, 简言之简言之: 在收敛圆内在收敛圆内, , 幂级数的和函数解析幂级数的和函数
7、解析; 幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导, , 逐项积分逐项积分. .(常用于求和函数常用于求和函数)即即24四、典型例题例例1 1 求幂级数求幂级数的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解级数的部分和为级数的部分和为25级数级数收敛收敛,级数级数发散发散.且有且有收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:在此圆域内在此圆域内, 级数绝对收敛级数绝对收敛, 收敛半径为收敛半径为1,26例例2求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论并讨论时的情形时的情形)或或解解 (1) 因为因为27所以
8、收敛半径所以收敛半径即原级数在圆即原级数在圆内收敛内收敛, 在圆外发散在圆外发散, 收敛的收敛的级数级数 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周在圆周上上, 级数级数28说明说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有也有 级数的发散点级数的发散点.原级数成为原级数成为交错级数交错级数, 收敛收敛.发散发散.原级数成为原级数成为调和级数，调和级数，(2)29故收敛半径故收敛半径例例3求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解解30解解所以所以例例4 求求 的收敛半径的收敛半径.31例例5 把函数把函数表成形如表成形如的幂的幂级数级数,
9、 其中其中是不相等的复常数是不相等的复常数 .解解把函数把函数写成如下的形式写成如下的形式:代数变形代数变形 , 使其分母中出现使其分母中出现凑出凑出32级数收敛级数收敛,且其和为且其和为33例例6 求级数求级数的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解利用逐项积分利用逐项积分,得得:所以所以34例例7 求级数求级数的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解35例例8 计算计算解解36五、小结与思考 这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质数的运算性质.37思考题思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?38由于在收敛圆周上由于在收敛圆周上确定确定, 可以依复数项级可以依复数项级数敛散性讨论数敛散性讨论.思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .39
