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1、一、切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则越小，则事件事件|X-E(X)|0， 切比雪夫大数定律表明，独立随机变切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列量序列Xn，如果方差有共同的上界，则如果方差有共同的上界，则与其数学期望与其数学期望 偏差很小的偏差很小的 概率接近于概率接近于1. 随机的了，取值接近于其数学期望的概率接随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于近于1.即当即当n充分大时，充分大时，差不多不再是差不多不再是切比雪夫大数定律给出了切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述平均值稳定性的科学描述 作为切比雪夫大数定
2、律的特殊情况，作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的推论有下面的推论.推论推论（独立同分布下的大数定律独立同分布下的大数定律） 设设X1,X2, 是独立同分布的随机变量是独立同分布的随机变量序列，且序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,则对任给则对任给 0,依概率收敛的序列还有以下的性质：依概率收敛的序列还有以下的性质： 下面给出的贝努里大数定律，下面给出的贝努里大数定律，是定理是定理1的一种特例的一种特例.贝努里贝努里 设设Sn是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发发生的次数，生的次数，p是事件是事件A发生的概率，发生的概率，引入引入i=1,2,n则则 是事件是事件
3、A发生的频率发生的频率 设设Sn是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的发生的 次数，次数，p是事件是事件A发生的概率，则对任给的发生的概率，则对任给的 0，定理定理2（贝努里大数定律贝努里大数定律）或或贝努里贝努里 于是有下面的定理：于是有下面的定理： 贝努里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件充分大时，事件A发生的频率发生的频率Sn/n与事件与事件A的概率的概率p有较大偏差的概率很小有较大偏差的概率很小. 贝努里大数定律提供了通过试验来确贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法定事件概率的方法.任给任给0，下面给出的独立同分布下的
4、大数定下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在律，不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2, 独立同独立同分布，具有有限的数学期分布，具有有限的数学期E(Xi)=, i=1,2,， 则对任给则对任给 0 ，定理定理3（辛钦大数定律辛钦大数定律）辛钦辛钦 在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的的相互独立的随机因素的综合影响所形成的.而其而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的这种随机变量往往近似地服从正态分布这种的这种随
5、机变量往往近似地服从正态分布这种现象就是中心极限定理的客观背景本节只介绍三现象就是中心极限定理的客观背景本节只介绍三个常用的中心极限定理个常用的中心极限定理2 2 中心极限定理中心极限定理定理定理1（独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理） 它表明，当它表明，当n充分大时，充分大时，n个具有期望和方差个具有期望和方差的独立同分布的的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布之和近似服从正态分布.设设X1,X2, 是独立同分布的随机是独立同分布的随机变量序列，且变量序列，且E(Xi)= Var(Xi)= ，i=1,2,，则，则定理定理2( (棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯定理） 设
6、随机变量设随机变量 服从参数服从参数n, p( (0p1) )的二的二项分布，则对任意项分布，则对任意x，有，有 定理表明，当定理表明，当n很大，很大，0p1是一个定值是一个定值时（或者说，时（或者说，np(1-p)也不太小时），也不太小时），二项二项变变量量 的的分布近似正态分布分布近似正态分布 N(np,np(1-p).即这个定理表明，正态分布是二项式分布的即这个定理表明，正态分布是二项式分布的极限分布极限分布. .例例1 1 某公司有某公司有500500辆汽车参加保险辆汽车参加保险, ,在一年里在一年里汽车出事故的概率为汽车出事故的概率为0.006,0.006,参加保险的汽车参加保险的汽
7、车每年交每年交800800元的保险费元的保险费, ,若出事故若出事故, ,保险公司最保险公司最多赔偿多赔偿5 5万元万元, ,试利用中心极限定理计算试利用中心极限定理计算, ,保险保险公司一年赚钱不小于公司一年赚钱不小于200000200000元的概率元的概率? ? 解：设解：设 表示表示500500辆汽车中出事故的车辆数辆汽车中出事故的车辆数, ,则则服从服从 的二项分布的二项分布, ,这时这时 而保险公司一年赚钱不少于而保险公司一年赚钱不少于2020万就是事件万就是事件 即事件即事件 . .根据隶莫弗根据隶莫弗拉普拉斯定理拉普拉斯定理 可见可见, ,保险公司在一年里赚钱不少于保险公司在一年
8、里赚钱不少于200000200000元概率为元概率为0.6781.0.6781.实际中实际中, ,保险公保险公司通过进行数据分析司通过进行数据分析, ,来确定保费与赔偿来确定保费与赔偿金额金额. .例例2 2 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率.解解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 , X B( 6000 , 1/6 )近似由德莫佛拉普拉斯中心极限定理, 则有比较几个近似计算的结果比较几个近似计算的结果中心极限定理二项分布(精确结果)Poisson 分布Chebyshev 不等式定理定理3（李雅普诺夫李雅普诺夫(Liapounov)定理定理) 设设随机变量随机变量它们它们具有数学期望和方差具有数学期望和方差记记若存在正数若存在正数相互独立相互独立, ,证明略.四、小结四、小结中中心心极极限限定定理理注注
