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1、第二节第二节 传输线方程及其解传输线方程及其解 传输线方程是传输线理论的基本方程，是描述传输线传输线方程是传输线理论的基本方程，是描述传输线上电压、电流变化规律及其相互关系的微分方程。上电压、电流变化规律及其相互关系的微分方程。 一、时变传输线方程一、时变传输线方程 i(z,t)u(z,t)i(z+dz,t)u(z+dz,t)如图如图2-6，对对dz 等效等效电路电路, 应用应用基尔霍夫基尔霍夫定律得定律得:(1) 整理得时变传输线方程整理得时变传输线方程 ( 分布参数电路微分方程分布参数电路微分方程 )： 二、时谐传输线方程及其解二、时谐传输线方程及其解 1. 时谐传输线方程时谐传输线方程
2、对于角频率为对于角频率为w 的余弦信号的余弦信号式中式中：将时变传输线方程式将时变传输线方程式将时变传输线方程式将时变传输线方程式(2)(2)中中中中的的的的得时谐场的传输线方程：得时谐场的传输线方程：式中式中 单位长度传输线的串联阻抗，单位长度传输线的串联阻抗， 单位长度传输线的并联导钠。单位长度传输线的并联导钠。 时谐场的传输线方程时谐场的传输线方程 (2-2) 暂时撇开时间因子暂时撇开时间因子 e jw t，而只研究沿线电压而只研究沿线电压 、 电流的复数幅度与传输线位置之间电流的复数幅度与传输线位置之间的关系，是一维空间的问题。的关系，是一维空间的问题。2. 2. 时谐均匀长线的波动方
3、程时谐均匀长线的波动方程时谐均匀长线的波动方程时谐均匀长线的波动方程式式(2-2)对对 z 求导求导：得得时谐均匀长线的波动方程时谐均匀长线的波动方程时谐均匀长线的波动方程时谐均匀长线的波动方程( (电报方程电报方程) )： 这是一个二阶齐次常微分方程这是一个二阶齐次常微分方程。g、a、b 分别为分别为传输线的传播常数、衰减常数和相位常数。传输线的传播常数、衰减常数和相位常数。 3. 时谐均匀传输线波动方程的解时谐均匀传输线波动方程的解 1) 电压、电流的通解电压、电流的通解 (1) 通解的表达式通解的表达式 均匀传输线的均匀传输线的 g g 与与 z 无关，式无关，式(2-3a)的电压通解为
4、的电压通解为式中，式中，式中，式中，A A1 1 、 A A2 2为积分常数为积分常数为积分常数为积分常数( (复数复数复数复数) )，其值取决于长线的其值取决于长线的其值取决于长线的其值取决于长线的端接条件端接条件端接条件端接条件( ( ( (边界条件边界条件边界条件边界条件) ) ) )。上式带入式。上式带入式。上式带入式。上式带入式(2-2)(2-2)得得Z0 称为长线的特性阻抗称为长线的特性阻抗。 (2) (2) 入射波与反射波入射波与反射波入射波与反射波入射波与反射波式中含式中含e-jb z 的项表示沿的项表示沿z方向方向(由信号源向负载方向由信号源向负载方向)传播的传播的行波，为入
5、射波；行波，为入射波；含含ejb z 的项表示沿的项表示沿-z方向方向(由负载向信号由负载向信号源方向源方向)传播的行波，为反射波。传播的行波，为反射波。分析电报方程通解的表达式分析电报方程通解的表达式(2-3c) 沿线任何一处的电压沿线任何一处的电压沿线任何一处的电压沿线任何一处的电压 ( (或电流或电流或电流或电流 ) )等于该处电压等于该处电压等于该处电压等于该处电压( (或电流或电流或电流或电流) )的入、反射波的叠加，的入、反射波的叠加，的入、反射波的叠加，的入、反射波的叠加， 分别称为分别称为分别称为分别称为视在视在视在视在电压电压电压电压、视在电流视在电流视在电流视在电流。且有：
6、且有：且有：且有： (2) (2) 电压、电流的终端条件解电压、电流的终端条件解 时谐传输线方程的通解式时谐传输线方程的通解式(2-3c) 中的常数中的常数A1、A2必必 须用边界条件、即端接条件确定。其中终端条件解是最须用边界条件、即端接条件确定。其中终端条件解是最 常用的。常用的。 已知已知终端电压终端电压 、电流、电流 ， 求沿线电压、电流的求沿线电压、电流的 表达式。表达式。 以以 代入代入(2-4a)解得解得 此时，坐此时，坐 标原点标原点 z =0 =0 选选 在终端，以在终端，以-z 代代 z 进行坐标进行坐标 变换，式变换，式(2-3c) 变为变为 代入代入代入代入(2-4(2
7、-4a)a)整理得整理得整理得整理得式式(2-4b)又称终端方程。又称终端方程。第三节第三节 均匀无耗长线的基本特性均匀无耗长线的基本特性 均匀无耗长线的分布参数均匀无耗长线的分布参数 R0=0，G0=0，L0、C0均匀均匀分布分布, 与位置与位置 z 无关。当无关。当 满足条件满足条件R0 w L0 及及 G0 w C0 ，可近似作为无耗长线分析。，可近似作为无耗长线分析。 一、传播特性一、传播特性 1. 1. 传播常数传播常数g g = = a + + j b 为一复数为一复数, , 表示行波每经过单位长度振幅表示行波每经过单位长度振幅和相位的变化。和相位的变化。=(无耗无耗) = = j
8、 b 衰减常数衰减常数a=0，相位常数相位常数 g = j b 代入式代入式(2-4b)得均匀无耗传输线的终端方程为均匀无耗传输线的终端方程为 2. 相速和相波长相速和相波长 1) 相速相速vp 相速相速vp 即波的等即波的等相位面的运动速度。相位面的运动速度。 w tb z =常数常数均匀无耗长线中波的相速均匀无耗长线中波的相速均匀无耗长线中波的相速均匀无耗长线中波的相速对均匀双导线，对均匀双导线，L0、C0代入得代入得=慢波慢波现象现象 2) 相波长相波长 lp 相波长相波长 lp ：行波在一个周期内等相位面沿传输方向：行波在一个周期内等相位面沿传输方向 移动的距离。移动的距离。均匀无耗双
9、导线，均匀无耗双导线，缩波现象缩波现象当介质为空气时，当介质为空气时， Z0表征了传输线固有的特性。表征了传输线固有的特性。 平行双线的平行双线的L0、C0代入上式可得：代入上式可得： 平行双线的特性阻抗计算公式：平行双线的特性阻抗计算公式：二、特性阻抗二、特性阻抗二、特性阻抗二、特性阻抗（无耗线无耗线） 特性导纳特性导纳Y0 :同轴线的特性阻抗计算公式：同轴线的特性阻抗计算公式：三、输入阻抗三、输入阻抗1. 输入阻抗的定义输入阻抗的定义2. Zin(z)2. Zin(z)的计算公式的计算公式的计算公式的计算公式 3. Zin(z)的性质的性质 (1) Zin(z)随位置随位置z而变而变，且与
10、负载且与负载 ZL有关有关； (2)无耗传输线的输入阻抗呈周期性变化无耗传输线的输入阻抗呈周期性变化，具有l/4变变换性和换性和l/2重复性重复性。代入代入(2-4e)(讲义 P13)得：得：4. 输入导纳输入导纳特性导纳特性导纳负载导纳负载导纳用于并联电路。用于并联电路。四、反射系数四、反射系数四、反射系数四、反射系数 从传输功率的观点来看，入射波和反射波的相对幅值从传输功率的观点来看，入射波和反射波的相对幅值是很重要的指标。反射波的幅度越小是很重要的指标。反射波的幅度越小, 传输到负载的功率传输到负载的功率就越大。可用反射系数就越大。可用反射系数G(z)来衡量线上波的反射情况。来衡量线上波
11、的反射情况。 1. 定义定义 电压反射系数：电压反射系数：电流反射系数：电流反射系数：代入式代入式(2-4a)得：得：2. 用反射系数用反射系数 G(z) 表示沿线电压、电流分布表示沿线电压、电流分布 电压反射系数与电流反射系数等模而相位相差电压反射系数与电流反射系数等模而相位相差 p ，通常采用便于测量的电压反射系数作为反射系数通常采用便于测量的电压反射系数作为反射系数G(z)。 3. G(z)与终端反射系数与终端反射系数 G2 的关系的关系把把 z =0 代入式代入式 (2-12a) 得终端反射系数得终端反射系数 G2(2-12d)代入式代入式(2-12a)得得式中式中 终端电压入射波终端
12、电压入射波，相位角为相位角为j1， 终端电压反射波终端电压反射波，相位角为相位角为j2。 f 2= j2 - j1 G2 的相位角。的相位角。式中式中 f = f 22 b z 为为G(z) 的相位角的相位角。图图 2-124.4. 反射系数与输入阻抗的关系反射系数与输入阻抗的关系反射系数与输入阻抗的关系反射系数与输入阻抗的关系五、驻波比与行波比五、驻波比与行波比五、驻波比与行波比五、驻波比与行波比 当当ZLZ0、即不匹配时即不匹配时，G20，可用可用 G 来反映失配来反映失配 程度程度。实际应用中，采用电压驻波比实际应用中，采用电压驻波比(VSWR)来衡量失配来衡量失配 程度。程度。 1.
13、驻波比驻波比r 代入得：代入得：2. 行波系数行波系数K六、无耗传输线的传输功率与功率容量六、无耗传输线的传输功率与功率容量六、无耗传输线的传输功率与功率容量六、无耗传输线的传输功率与功率容量1. 无耗传输线的传输功率无耗传输线的传输功率P(z)得得=式中式中, Pi (z)、Pr (z)分别为通过分别为通过 z 点处的入、反射波功率；点处的入、反射波功率；称为功率反射系数。称为功率反射系数。 对均匀无耗线对均匀无耗线, 通过线上任意点的传输功率都相同。通过线上任意点的传输功率都相同。为简便为简便, 在电压波腹点或电压波节点处计算传输功率在电压波腹点或电压波节点处计算传输功率(该该点的输入阻抗
14、点的输入阻抗Zin为纯阻为纯阻)。在电压波腹点在电压波腹点(即电流波节点即电流波节点)该点的该点的Zin 可见可见, 当无耗长线的耐压一定或所承受的电流一定时，当无耗长线的耐压一定或所承受的电流一定时，行波系数行波系数 K 越大越大(线上匹配越好线上匹配越好), 所能传输的功率也越大。所能传输的功率也越大。=2. 2. 功率容量功率容量功率容量功率容量 P Pbrbr 传输线上的电压、电流受击穿电压和最大载流量传输线上的电压、电流受击穿电压和最大载流量限制。常用限制。常用“功率容量功率容量 Pbr”来描写传输线是否处于容来描写传输线是否处于容许许的工作状态。的工作状态。 功率容量功率容量 Pbr ：在不发生电击穿的情况下，传输线：在不发生电击穿的情况下，传输线上上 允许传输的最大功率。设允许传输的最大功率。设 Ubr为击穿电压，由式为击穿电压，由式(2)得：得： 每一种传输线都具有一定的击穿电压值，它由传输线的结构、材料、填充介质等因素所决定。由(3)可见, Pbr 不仅与不仅与Ubr 有关有关, 还与行波系数还与行波系数K有关有关。 从功率的角度看，传输线的最佳工作状态是行从功率的角度看，传输线的最佳工作状态是行波工作状态。波工作状态。为了在传输大功率时不被击穿, 常取常取一个适当的值：一个适当的值：
