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1、上页下页铃结束返回首页主要内容：主要内容： 第六章第六章 微分方程微分方程 第五节第五节 二阶常系数齐次微分方程二阶常系数齐次微分方程一、二阶线性微分方程举例;二、二阶线性微分方程的解的结构;三、二阶常系数齐次线性微分方程.1上页下页铃结束返回首页一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例v二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为 yP(x)yQ(x)yf(x) 若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的 例1 设弹簧的弹性系数为c, 物体受到的阻力的大小与运动速度成正比, 比例系数为m. 则有自由振动的微分方程2上页下页铃结束返回首页一、二阶线性微分方程举例一、二阶
2、线性微分方程举例v二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为 yP(x)yQ(x)yf(x) 若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的 例1 设弹簧的弹性系数为c, 物体受到的阻力的大小与运动速度成正比, 比例系数为m.强迫振动的微分方程 如果振动物体还受到铅直干扰力FHsinpt的作用 则有3上页下页铃结束返回首页v共振现象 当 pk 时, 方程通解为 当 pk 时, 方程通解为 v无阻尼强迫振动方程 当干扰力的角频率 p 等于振动系统的固有频率 k 时,齐次通解自由振动非齐次特解 强迫振动强迫振动的振幅随时间 t 的增大而无限增大.6上页下页铃结束返回首页二、二阶线性微
3、分方程的解的结构二、二阶线性微分方程的解的结构 简要证明 这是因为 v定理1(齐次方程的解的叠加原理) 如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数 (C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2) C1y1P(x)y1Q(x)y1C2y2P(x)y2Q(x)y2000(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2)7上页下页铃结束返回首页v定理2(齐次方程的通解的结构) 常数变易法 设函数 y1(x)是方程 yP(x)yQ(x)y0 的一个
4、解 设 yu(x)y1(x)是方程 yP(x)yQ(x)y0 的解, 则 如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个线性无关的解 那么yC1y1(x)C2y2(x)是方程的通解 其中C1、C2是任意常数注: 函数y1(x)与y2(x) 线性无关, 是指8上页下页铃结束返回首页举例 已知cos x与sin x都是方程yy0的解 因为比值 cos x/sin xcot x不恒为零所以cos x与sin x在( )内是线性无关的 因此cos x与sin x是方程yy0的线性无关解 方程的通解为 yC1cos xC2sin x 举例 已知y1x与y2ex都是方程(x1)yxyy
5、0的解 因为比值ex/x不恒为常数 所以y1x与y2ex在( )内是线性无关的 因此y1x与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解 方程的通解为 yC1xC2ex v定理2(齐次方程的通解的结构) 如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个线性无关的解 那么yC1y1(x)C2y2(x)是方程的通解 其中C1、C2是任意常数注: 函数y1(x)与y2(x) 线性无关, 是指9上页下页铃结束返回首页举例 已知YC1cos xC2sin x是齐次方程yy0的通解 y*x22是非齐次方程yyx2的一个特解 因此 yC1cos xC2sin xx22是非齐次方程yyx2的
6、通解 v定理3(非齐次方程的通解的结构) 设y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解 Y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的通解 那么yY(x)y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解 10上页下页铃结束返回首页v定理4(非齐次方程的解的叠加原理) 简要证明 这是因为 y1*y2*P(x)y1*y2*Q(x)y1*y2* y1*P(x)y1*Q(x)y1*y2*P(x)y2*Q(x)y2* f1(x)f2(x) 设y1*(x)与y2*(x)分别是方程 yP(x)yQ(x)yf1(x)与yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解 那么y1*(x)y2*(x)是方程 yP
7、(x)yQ(x)yf1(x) f2(x)的特解 11上页下页铃结束返回首页三、二阶常系数齐次线性微分方程三、二阶常系数齐次线性微分方程上页下页铃结束返回首页 方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解 12上页下页铃结束返回首页v二阶常系数齐次线性微分方程 猜测 erx 是方程的解 将yerx代入方程ypyqy0得(r2prq)erx0由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解 分析 方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常
8、数 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 v特征方程13上页下页铃结束返回首页v特征方程的根与通解的关系有两个不相等的实根 r1、r2 方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况 简要证明 这是因为 14上页下页铃结束返回首页有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2 v特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况 提示15上页下页铃结束返回首页有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r1, 2i yex(C1cosxC2sinx) v特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况有两个相等的实根
9、 r1r2 设 y1e(i)x 和 y2e(i)x , 则 提示 欧拉公式: 16上页下页铃结束返回首页第一步 写出微分方程的特征方程r2prq0第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 求ypyqy0的通解的步骤 有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r1, 2i yex(C1cosxC2sinx) v特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况有两个相等的实根 r1r2 17上页下页铃结束返回首页因此微分方程的通解为yC1exC2e3x 例1 求微分方程y2y3y0的通解 解 微分方程的特征方程
10、为 r22r30 特征方程有两个不相等的实根r11 r23 即(r1)(r3)0 有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r1, 2i yex(C1cosxC2sinx) v特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况有两个相等的实根 r1r2 18上页下页铃结束返回首页特征方程有两个相等的实根r1r21 例2 求方程y2yy0的通解 解 微分方程的特征方程为 r22r10 即(r1)20 因此微分方程的通解为yC1ex C2xex 即y(C1C2x)ex 有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r1, 2i yex(C1cosxC2sinx) v特
11、征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况有两个相等的实根 r1r2 19上页下页铃结束返回首页 r22r50 特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x) 例3 求微分方程y2y5y 0的通解 解 微分方程的特征方程为 有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r1, 2i yex(C1cosxC2sinx) v特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况有两个相等的实根 r1r2 20上页下页铃结束返回首页课后练习课后练习 P331: 2、3、4； P340：1、2、3.21
