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1、第五、六节 复变函数及其极限与连续一、复变函数的概念二、复变函数的极限三、复变函数的连续性四、小结与思考2一、复变函数的概念一、复变函数的概念1.复变函数的定义复变函数的定义:32.单单(多多)值函数的定义值函数的定义:3.定义集合和函数值集合定义集合和函数值集合:44. 复变函数与自变量之间的关系复变函数与自变量之间的关系:例如例如, ,55.映射的概念映射的概念引入引入:6映射的定义映射的定义:7两个特殊的映射两个特殊的映射:8且是全同图形且是全同图形.910根据复数的乘法公式可知根据复数的乘法公式可知,11(如下页图如下页图)12 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中将第一图中两块阴影部
2、分映射成第二图中同一个长方形同一个长方形.13以原点为焦点以原点为焦点,开口相左的抛物线开口相左的抛物线.(图中红色曲线图中红色曲线)以原点为焦点以原点为焦点,开口相右的开口相右的抛物线抛物线.(图中蓝色曲线图中蓝色曲线)146. 反函数的定义反函数的定义:15根据反函数的定义根据反函数的定义,当反函数为单值函数时当反函数为单值函数时, 今后不再区别函数与映射今后不再区别函数与映射.16解解例例1 1还是线段还是线段.17例例1 1解解18例例1 1解解仍是扇形域仍是扇形域.19二、复变函数的二、复变函数的极限极限1.函数极限的定义函数极限的定义:注意注意: :202. 极限计算的定理极限计算
3、的定理定理一定理一证证根据极限的定义根据极限的定义(1) 必要性必要性.21(2) 充分性充分性.22证毕证毕说明说明23定理二定理二与实变函数的极限运算法则类似与实变函数的极限运算法则类似.24三、复变函数的连续性三、复变函数的连续性1. 连续的定义连续的定义:25定理三定理三例如例如,26定理四定理四27特殊的特殊的:(1) 有理整函数有理整函数(多项式多项式)(2) 有理分式函数有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的在复平面内使分母不为零的点也是连续的.28例例2 2证证在在z2处连续否？处连续否？结论：不连续结论：不连续30四、小结与思考四、小结与思考 复变函数以及映射的概念
4、是本章的一个重点复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.注意：注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样复变函数与一元实变函数的定义完全一样,只要将后者定义中的只要将后者定义中的“实数实数”换为换为“复数复数”就行就行了了. 通过本课的学习通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质续性的运算法则与性质. 注意注意:复变函数极限的定义与一元实变函数复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很但在实质上有很大的差异大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多它较之后者的要求苛刻得多.31思考题思考题1. “函
5、数函数”、“映射映射”、“变换变换”等名词有等名词有无区别？无区别？32思考题答案思考题答案 在复变函数中在复变函数中, 对对“函数函数”、“映射映射”、“变换变换”等名词的使用等名词的使用, 没有本质上的区别没有本质上的区别. 只是只是函数一般是就数的对应而言函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换一般而映射与变换一般是就点的对应而言的是就点的对应而言的.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .33例例2 2解解34所以象的参数方程为所以象的参数方程为35例例4 4证证 (一一)36根据定理一可知根据定理一可知,证证 (二二)3738例例5 5证证39根据定理一可知根据定理一可知,
