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1、1.1 变化率 与导数1谁创立了导数2导数是在怎样的背景之下产生的呢 十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科学家阿基米德（Archimedes，287-212BC）；第二：求非均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽利略（Galileo:15641642），牛顿(Newton:1642-1727)等提出来 背景背景 一、一、 变化率问题变化率问题吹气
2、球：吹气球：每次都吹入差不多大小每次都吹入差不多大小 的一口气的一口气气球变大的速度会怎样？气球变大的速度会怎样？也就是随着气球内空气容量增加，也就是随着气球内空气容量增加，气球的半径增加的越来越慢，从数气球的半径增加的越来越慢，从数学的角度如何描述这种现象？学的角度如何描述这种现象？1问题问题气球的体积气球的体积V与半径与半径r之间的函数关系是之间的函数关系是如果用体积如果用体积V来表示半径来表示半径r，则有，则有随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越来越慢，从数学的角度如何描述这种现象？越来越慢，从数学的角度如何描述这种现象？当空气容量当空气
3、容量V从从0增加到增加到1L时，时， 气球半径增加了气球半径增加了气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为当空气容量当空气容量V从从1L增加到增加到2L时，时， 气球半径增了气球半径增了气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时，气球的平均膨胀率时，气球的平均膨胀率是多少？是多少？在上述过程中，随着气球体积逐渐变在上述过程中，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了大，它的平均膨胀率逐渐变小了.思考思考 高台跳水高台跳水问题问题2水面的高度水面的高度h(单位：米单位：米)与起跳后的时间与起跳后的时间t（单位：秒）存（单位：秒）存在函数关系在函数关系h(
4、t)=-4.9t2+6.5t+10.在在0秒到秒到0.5秒时间段内的平均速度是多少，秒时间段内的平均速度是多少，在在1秒到秒到2秒时间段内呢秒时间段内呢hto 探究过程：如图是函数探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，所以，的图像，所以，虽然运动员在虽然运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度为为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态动员的运动状态 在在 时间段内呢时间段内呢定义定义:平均变化率平均变化率: 式子式子 称为称为函数函数
5、 y=f (x)从从x1到到 x2的平均变化率的平均变化率.令令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,则则3 定义定义注意：注意： 式子中式子中 x 、 y 的值可正、可负，的值可正、可负， 但但x的的值不能为值不能为0， y 的值可以为的值可以为0 变式变式思思 考考:观察函数观察函数 f (x) 的图象的图象, 平均变化率平均变化率表示什么表示什么?yxy = f (x)f (x2) f (x1)x1x2f (x1)f (x2)x2 x1O平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义就是曲线上就是曲线上两点对应割线的斜率两点对应割线的斜率随堂练习 平均速度平均速度 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢.
